眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)和頻數(shù)是統(tǒng)計數(shù)據(jù)的重要特征數(shù)，主要描述數(shù)據(jù)的集中趨勢。

一、眾數(shù)

例1 為了弘揚體育精神，某校組織秋季運動會，在一項比賽中，學生甲進行了8組投籃，得分分別為10，8，5，8，7，9，6，8，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為____。

解：因為數(shù)據(jù)10，8，5，8，7，9，6，8中出現(xiàn)次數(shù)最多的是8，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8。

評注：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

二、中位數(shù)

例2 （1）一個樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為13，14，19，x，23，27，28，31，中位數(shù)為22，則x=____。

（2）某工廠對一批新產品的長度（單位：mm）進行檢測，圖1是檢測結果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計這批產品的中位數(shù)為（ ）。

A.20 B.25

C.22.5 D.22.75

解：（1）由中位數(shù)的定義可得x+23/2 =22，則x=21。

（2）易得中位數(shù)在第3組。設中位數(shù)為x，則0.02×5+0.04×5+0.08×（x-20）=0.5，解得x=22.5。應選C。

評注：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)叫作這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的頻率分布直方圖的面積應該相等。

三、平均數(shù)

例3 （1）一組觀察值4，3，5，6出現(xiàn)的次數(shù)分別是3，2，4，2，則樣本的平均數(shù)為（ ）。

A.4.55 B.4.5

C.12.5 D.1.64

（2）已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn 的均值x=5，則樣本數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，…，2xn +1的均值為____。

解：（1）由題意得樣本的平均數(shù)為（4×3+3×2+5×4+6×2）/（3+2+4+2）≈4.55。應選A。

（2）由條件知x=（x1+x2+…+xn）/n =5。所以所求的均值x0=（2x1+1+2x2+1+…+2xn +1）/n=（2（x1+x2+…+xn）+n）/n=2x+1=2×5+1=11。

評注：如果給定的一組數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn ，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x=1n（x1 +x2+…+xn）。

四、百分位數(shù)

例4 （1）一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為，第86百分位數(shù)為____。

（2）將高三某班60名學生參加某次數(shù)學模擬考試所得的成績（成績均為整數(shù)）整理后畫出頻率分布直方圖，如圖2所示，則此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)約為____。（結果保留兩位小數(shù)）

解：（1）因為75%×20=15，所以第75百分位數(shù)為第15個數(shù)據(jù)與第16個數(shù)據(jù)的平均值，即為14+15/2 =14.5。

因為86%×20=17.2，所以第86百分位數(shù)為第18個數(shù)據(jù)，即為17。

（2）由頻率分布直方圖可知，分數(shù)在120分以下的學生所占的比例為（0.01+0.015+0.015+0.03）×10×100% =70%，分數(shù)在130分以下的學生所占的比例為（0.01+0.015+0.015+0.03+0.0225）×10×100%=92.5%，所以80% 分位數(shù)一定位于區(qū)間[120，130）內。

因為120+（ 0.8-0.7/0.925-0.7）×10≈124.44，所以此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)約為124.44。

評注：25%，50%，75%這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)，其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)。

五、頻數(shù)

例5 （1）在樣本的頻率分布直方圖中，共有9個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他8個小長方形的面積和的25，且樣本容量為140，則中間一組的頻數(shù)為（ ）。

A.28 B.40

C.56 D.60

（2）一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.125，則該組樣本的頻數(shù)為（ ）。

A.2 B.4

C.6 D.8

解：（1）設中間一組的頻數(shù)為x。因為中間一個小長方形的面積等于其他8個小長方形的面積和的2/5，所以其他8組的頻數(shù)和為5/2x。由x +5/2x =140，解得x =40。應選B。

（2）因為頻率= 頻數(shù)/樣本容量，所以頻數(shù)=頻率×樣本容量=0.125×32=4。應選B。

評注：頻率分布直方圖的縱坐標是頻率/組距，每一組對應的小矩形的高與頻率成正比，且每個小矩形的面積等于這一組對應的頻率，所有小矩形的面積之和為1。

感悟與提高

一個單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲及50歲以上的有95人。為了解這個單位職工與身體狀態(tài)有關的某項指標，要從中抽取100名職工作為樣本，職工年齡與這項指標有關，應該怎樣抽?。?/p>

提示：該抽樣為比例分配的分層隨機抽樣，抽取步驟如下。

①按年齡將500名職工分成三層，不到35歲的職工;35歲至49 歲的職工;50 歲及50歲以上的職工。② 由抽樣比為100/500=1/5，可知在不到35歲的職工中抽取125×1/5=25（人）;在35歲至49歲的職工中抽取280×1/5=56（人）;在50歲及50歲以上的職工中抽取95×1/5=19（人）。③ 各層按隨機數(shù)法抽取樣本。④ 匯總每層抽樣，組成容量為100的樣本。

作者單位：湖北省巴東縣第三高級中學

（責任編輯 郭正華）