事件是研究概率問(wèn)題的基本單位，求解概率問(wèn)題要熟記八個(gè)“事件”，要弄清各自的特征。

一 、基本事件

例1 已知集合M = {-2，3}，N ={-4，5，6}，從這兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，則這個(gè)試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)為_(kāi)___。

解：由題意得試驗(yàn)的基本事件空間Ω ={（-2，-4），（-2，5），（-2，6），（3，-4），（3，5），（3，6），（-4，-2），（-4，3），（5，-2），（5，3），（6，-2），（6，3）}，所以這個(gè)試驗(yàn)的基本事件總數(shù)是12。

評(píng)注：基本事件的兩個(gè)特點(diǎn)：任何兩個(gè)基本事件是互斥的;任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

二、不可能事件

例2 在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取3 件產(chǎn)品，其中不可能事件為（ ）。

A.3件都是正品

B.至少有1件次品

C.3件都是次品

D.至少有1件正品

解：因?yàn)?5件產(chǎn)品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品。應(yīng)選C。

評(píng)注：不可能事件的概率為P（A）=0。

三、隨機(jī)事件

例3 以下事件中的隨機(jī)事件是（ ）。

A.標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100 ℃，必會(huì)沸騰

B.走到十字路口，遇到紅燈

C.長(zhǎng)和寬分別為a，b 的矩形，其面積為ab

D.實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根

解：對(duì)于A，標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃必會(huì)沸騰，是必然事件，A 錯(cuò)誤。對(duì)于B，走到十字路口，遇到紅燈，是隨機(jī)事件，B正確。對(duì)于C，長(zhǎng)和寬分別為a，b 的矩形，其面積為ab，是必然事件，C 錯(cuò)誤。對(duì)于D，實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根，是必然事件，D錯(cuò)誤。應(yīng)選B。

評(píng)注：隨機(jī)事件是在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件。在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生不能事先確定，但在大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下，隨機(jī)事件的發(fā)生呈現(xiàn)一定的規(guī)律性。

四、互斥事件

例4 某人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）。

A.至多有一次中靶

B.兩次都中靶

C.兩次都不中靶

D.只有一次中靶

解：因?yàn)槭录爸辽儆幸淮沃邪小焙汀皟纱味疾恢邪小钡慕皇录遣豢赡苁录运鼈優(yōu)榛コ馐录?。?yīng)選C。

評(píng)注：判斷事件是否互斥的兩個(gè)步驟：確定每個(gè)事件包含的結(jié)果;確定是否有一個(gè)結(jié)果發(fā)生會(huì)意味著兩個(gè)事件都發(fā)生，若是，則兩個(gè)事件不互斥，否則就是互斥的。

五、對(duì)立事件

例5 從1，2，…，9中任取兩個(gè)數(shù)，①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù);②至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù);③至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù);④至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)。在上述事件中的對(duì)立事件是（ ）。

A.① B.②④

C.③ D.①③

解：從1，2，…，9中任取兩個(gè)數(shù)，有以下三種情況：兩個(gè)奇數(shù);兩個(gè)偶數(shù);一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)。至少有一個(gè)奇數(shù)包含兩個(gè)奇數(shù)、一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，其對(duì)立事件顯然是兩個(gè)偶數(shù)。應(yīng)選C。

評(píng)注：若A∩B 為不可能事件，A ∪B 為必然事件，則事件A 與B 互為對(duì)立事件。若事件A 與B 互為對(duì)立事件，則A∪B 為必然事件。對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件。

六、相互獨(dú)立事件

例6 一袋中裝有5個(gè)白球，3個(gè)黃球，在有放回的摸球中，用A1 表示第一次摸到白球，A2 表示第二次摸到白球，則事件A1 與A2 是（ ）。

A.相互獨(dú)立事件

B.不相互獨(dú)立事件

C.互斥事件

D.對(duì)立事件

解：由題意得A2 表示“第二次摸到的不是白球”，即A2 表示“第二次摸到的是黃球”。因?yàn)椴捎糜蟹呕氐拿颍悦看问欠衩近S球或白球互不影響，所以事件A1 與A2 是相互獨(dú)立事件。應(yīng)選A。

評(píng)注：兩個(gè)事件相互獨(dú)立，是指它們其中一個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響。一般地，兩個(gè)事件不可能既互斥又相互獨(dú)立。必然事件Ω 與任意一個(gè)事件相互獨(dú)立;不可能事件?與任意事件相互獨(dú)立。

七、和事件（并事件）

例7 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn)的概率都是1/6，記事件A 為“出現(xiàn)奇數(shù)”，事件B 為“向上的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3”，則P（A∪B）= ____。

解：記事件“出現(xiàn)1點(diǎn)”“出現(xiàn)2點(diǎn)”“出現(xiàn)3點(diǎn)”“出現(xiàn)5點(diǎn)”分別為A1，A2，A3，A4。由題意知這四個(gè)事件彼此互斥，則A ∪B =A1∪A2∪A3∪A4，故P （A ∪B）=P （A1∪A2∪A3∪A4）=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3。

評(píng)注：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A 發(fā)生或事件B 發(fā)生，則稱此事件為事件A 與B的和事件（并事件）。在概率的加法公式P（A∪B）=P（A）+P （B）-P （A ∩B）中，易忽視只有當(dāng)A ∩B =?，即A，B 互斥時(shí)，P（A∪B）=P（A）+P （B），此時(shí)P （A ∩B）=0。

八、積事件（交事件）

例8 從某大學(xué)數(shù)學(xué)系圖書室中任選一本書，設(shè)A =“數(shù)學(xué)書”，B =“中文版的書”，C=“2022年后出版的書”。

（1）A∩B∩C 表示什么事件？

（2）在什么條件下，有A∩B∩C=A？

（3）C?B 表示什么意思？

（4）如果A =B，那么是否意味著圖書室中的所有數(shù)學(xué)書都不是中文版的？

解：（1）A ∩B ∩C=“2022年或2022年前出版的中文版的數(shù)學(xué)書”。

（2）在“圖書室中所有數(shù)學(xué)書都是2022年后出版的且為中文版”的條件下，才有A ∩B∩C=A。

（3）C?B 表示2022年或2022年前出版的書全是中文版的。

（4）是。A=B 意味著圖書室中的非數(shù)學(xué)書都是中文版的，且所有的中文版的書都不是數(shù)學(xué)書。同時(shí)A=B 又可轉(zhuǎn)化為B=A，因而也可以解釋為圖書室中所有數(shù)學(xué)書都不是中文版的，且所有不是中文版的書都是數(shù)學(xué)書。

評(píng)注：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A 發(fā)生且事件B 發(fā)生，則稱此事件為事件A 與B的積事件（交事件）

感悟與提高

下列事件中，必然事件的是（ ）。

A.10人中至少有2人生日在同一個(gè)月

B.11人中至少有2人生日在同一個(gè)月

C.12人中至少有2人生日在同一個(gè)月

D.13人中至少有2人生日在同一個(gè)月

提示：因?yàn)橐荒暧?2個(gè)月，所以無(wú)論10、11、12個(gè)人都有不在同一月生日的可能，只有13個(gè)人肯定至少有2 人在同一月生日。應(yīng)選D。

作者單位：湖北省巴東縣第一高級(jí)中學(xué)

（責(zé)任編輯 郭正華）