總體百分位數(shù)的估計是新教材增加的內(nèi)容，直觀上比較容易理解，它把一組按大小排列的數(shù)據(jù)分成相應(yīng)百分比的兩部分，一組數(shù)據(jù)的第p 百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（1-p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值。幾種常用的百分位數(shù)：第25百分位數(shù)（又稱下四分位數(shù)或第一四分位數(shù)），第50百分位數(shù)（又稱中位數(shù)或第二四分位數(shù)），第75百分位數(shù)（又稱上四分位數(shù)或第三四分位數(shù)），第1百分位數(shù)，第5百分位數(shù)，第95百分位數(shù)，第99百分位數(shù)。

題型一：由原始數(shù)據(jù)求百分位數(shù)

計算一組原始數(shù)據(jù)（n 個數(shù)據(jù)）的第p 百分位數(shù)的一般步驟：第1步，從小到大排列原始數(shù)據(jù);第2步，計算i=n×p%;第3步，若i 不是整數(shù)，大于i 的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j 項數(shù)據(jù)，若i 是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i 項和第（i+1）項的數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

例 1 “幸福指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間[0，10]內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高?，F(xiàn)隨機(jī)抽取6位小區(qū)居民，他們的“幸福指數(shù)”分別為5，6，7，8，9，5，則這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)是（ ）。

A.7 B.7.5

C.8 D.6.5

解：該組數(shù)據(jù)從小到大排列為5，5，6，7，8，9。因為6×50%=3，所以這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是第三位數(shù)與第四位數(shù)的平均值，即6+7／2 =6.5。應(yīng)選D。

評注：本題主要考查百分位數(shù)的概念與應(yīng)用。

例 2 數(shù)據(jù)2.2，3.6，3.7，4.1，4.4，4.5，x，6.1的第65百分位數(shù)是4.5，則實數(shù)x 的取值范圍是（ ）。

A.[4.5，+∞） B.[4.5，6.1）

C.（4.5，+∞） D .[4.5，6.1]

解：因為8×65% =5.2，所以這組數(shù)據(jù)的第65 百分位數(shù)是第6 項數(shù)據(jù)4.5，所以x≥4.5。應(yīng)選A。

評注：本題容易受思維定式的影響，誤認(rèn)為x 在4.5與6.1之間，從而錯選B或D。

例3 （多選題）某班級體溫檢測員對一周內(nèi)甲、乙兩名同學(xué)的體溫進(jìn)行了統(tǒng)計，其結(jié)果如圖1所示，則下列說法正確的是（ ）。

A.乙同學(xué)體溫的極差為0.4℃

B.乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定

C.乙同學(xué)體溫的眾數(shù)為36.4℃，50%分位數(shù)與平均數(shù)相等

D.甲同學(xué)體溫的第70百分位數(shù)為36.5℃

解：由圖可知，乙同學(xué)體溫的極差為36.5-36.3=0.2 ℃，A 錯誤。從折線圖可以看出，乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定，B 正確。乙同學(xué)的體溫從低到高依次為36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，可得眾數(shù)為36.4℃，平均數(shù)為36.4℃，而50%分位數(shù)即中位數(shù)是第4項36.4℃，所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)相等，C 正確。甲同學(xué)的體溫從低到高依次為36.2℃，36.2℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，由70%×7=4.9，可知數(shù)據(jù)的第70 百分位數(shù)為第5 項數(shù)據(jù)36.5℃，D正確。應(yīng)選BCD。

評注：從折線圖中找出原始數(shù)據(jù)，可得數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)。

題型二：根據(jù)頻率分布直方圖、頻率分布表估計樣本數(shù)據(jù)的第p 百分位數(shù)

根據(jù)頻率分布表、頻率分布直方圖估算百分位數(shù)的一般步驟：第1步，確定第p 百分位數(shù)所在區(qū)間[a，b），即確定小于a 和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比分別為fa %，fb%，且滿足fa %

例4 某商場為了制定合理的停車收費政策，需要了解顧客的停車時長（單位：min）?，F(xiàn)隨機(jī)抽取了到訪該商場顧客的100輛車進(jìn)行調(diào)查，將數(shù)據(jù)分成6組，即（0，100]，（100，200]，（200，300]，（300，400]，（400，500]，（500，600]，整理得到頻率分布直方圖，如圖2所示。

（1）求樣本中停車時長在區(qū)間（400，500]上的頻率。

（2）為了吸引顧客，該商場準(zhǔn)備給停車時長較短的車輛提供免費停車服務(wù)。若使該服務(wù)能夠惠及20%到訪顧客的車輛，請你根據(jù)頻率分布直方圖，給出確定免費停車時長標(biāo)準(zhǔn)的建議。

解：（1）設(shè)（400，500]上的頻率為x，由頻率分布直方圖中所有頻率之和為1，可得（0.0002+0.0014+0.0016+0.0031+0.0034）×100+x=1，所以x=0.03，所以樣本中停車時長在區(qū)間（400，500]上的頻率為0.03。

（2）確定免費停車標(biāo)準(zhǔn)能夠惠及20%到訪顧客的車輛，即求該數(shù)據(jù)的20% 分位數(shù)。因為（0，100]的頻率為0.14lt;20%，且（0，200]的頻率為0.45gt;20%，所以20%分位數(shù)位于（100，200]之間，所以100+ （0.2-0.14／0.45-0.14）×100≈119.4，即該組數(shù)據(jù)的20%分位數(shù)約為119.4。

若要能夠惠及20%到訪顧客的車輛，可確定免費停車時長為2h。

評注：由于頻率分布表和頻率分布直方圖中不能體現(xiàn)原始數(shù)據(jù)，在估算第p 百分位數(shù)時，根據(jù)累計頻率先確定第p 百分位數(shù)所在的區(qū)間，再把區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)看成均勻分布，根據(jù)公式計算得出第p 百分位數(shù)的估計值。

例5 從某地區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)用電量都在50 至350kW·h之間，將數(shù)據(jù)分組后得到的頻率分布表，如表1所示，估計此地區(qū)月均用電量的第80百分位數(shù)是（ ）。

A.230 B.235

C.240 D.245

解：設(shè)該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為x。

因為0.12+0.18+0.3lt;0.8，0.12+0.18+0.3+0.25gt;0.8，所以該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)位于區(qū)間[200，250）內(nèi)，則0.12+0.18+0.3+（x-200／50） ×0.25=0.8，解得x=240。

應(yīng)選C。

評注：本題考查百分位數(shù)的應(yīng)用。解題時，先確定第80百分位數(shù)所在的區(qū)間，再從累計頻率角度建立等量關(guān)系，此解法與例4中的估算第p 百分位數(shù)的原理相同。

作者單位：1.河南省鄢陵縣第一高級中學(xué)

2.河南省光山二高

（責(zé)任編輯 郭正華）