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        反比例函數(shù)的奇妙世界

        2024-08-09 00:00:00王瑞琦
        初中生世界·八年級(jí) 2024年8期
        關(guān)鍵詞:反比例原點(diǎn)象限

        反比例函數(shù),用簡(jiǎn)潔而優(yōu)美的形式表達(dá)著兩個(gè)變量之間的反比例關(guān)系。它告訴我們,在某些情況下,當(dāng)一個(gè)量增加時(shí),另一個(gè)量則會(huì)相應(yīng)地減少,兩者之間存在一種微妙的平衡。它的圖像,是一條雙曲線,無限延伸卻永不相交,展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱之美,也讓我們感受到了規(guī)律的嚴(yán)謹(jǐn)與奇妙。

        今天我給大家分享一下反比例函數(shù)的三條常用性質(zhì)和六個(gè)模型,簡(jiǎn)稱“三頭六臂”。

        “三頭”包括反比例函數(shù)的不變性,即一“乘”不變,xy=k,|k|越大,函數(shù)圖像離原點(diǎn)越遠(yuǎn);增減性,即同一象限用增減,不同象限看符號(hào);對(duì)稱性,即關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,關(guān)于直線y=±x對(duì)稱。

        “六臂”,即有6種模型,具體如下:

        模型1:一點(diǎn)兩垂直(如圖1)

        其中S矩形OABC=[k];

        S△OAB=S△OBC

        =[12]S矩形OABC=[12][k]。

        模型2:三角化梯(1)(如圖2)

        S△OCD=S梯形ABCD。

        證明:∵S△OCD=S四邊形OBCD-S△OBC,

        S梯形ABCD=S四邊形OBCD-S△OAD,

        又∵S△OBC=S△OAD,

        ∴S△OCD=S梯形ABCD。

        模型3:三角化梯(2)(如圖3)

        S△OAB=S梯形ACDE。

        證明:利用反比例函數(shù)的幾何意

        義,得S△OAB=S△OAE-S△OBE=S△OAE-S△OCD

        =S梯形ACDE。

        模型4:對(duì)稱點(diǎn)垂直三角形(如圖4)

        S△ABC=[k]。

        證明:S△ABC=S△OAB+S△OBC

        =[12][k]+[12][k]=[k]。

        模型5:平行模型(如圖5)

        CE∥BD。

        證明:∵S△BCE=S△BCO=[12][k],

        S△DEC=S△DEO=[12][k],

        ∴S△BCE=S△DEC。

        ∴CE∥BD。

        模型6:線段相等(如圖6)

        AB=CD。

        證明:∵S△BEF=S△BFO=[12][k],

        S△CEF=S△CEO=[12][k],

        ∴S△BEF=S△CEF,得EF∥AD。

        ∴四邊形ABFE和四邊形CDFE為平行四邊形。

        ∴AB=EF,CD=EF。

        ∴AB=CD。

        利用反比例函數(shù)的幾何意義和一些模型,結(jié)合幾何圖形和反比例函數(shù)的常用性質(zhì),解題過程會(huì)很簡(jiǎn)便,解題速度也會(huì)得到提升。

        教師點(diǎn)評(píng)

        王瑞琦同學(xué)在解決反比例函數(shù)問題后總結(jié)了三條常用性質(zhì)和六個(gè)模型。模型是對(duì)某類題系統(tǒng)地簡(jiǎn)化和概括得到的,可見該同學(xué)在學(xué)習(xí)過程中滲透了模型思想??偨Y(jié)模型是對(duì)解題的進(jìn)一步深化,是透過現(xiàn)象看到本質(zhì)的過程。

        (指導(dǎo)教師:崔建平)

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