摘要：本文以數(shù)列的極限為例，簡(jiǎn)單敘述了極限概念的產(chǎn)生過(guò)程，并借助數(shù)學(xué)家們探索極限理論的過(guò)程進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，結(jié)合人的認(rèn)知規(guī)律，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方式再現(xiàn)知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)課堂教學(xué)中融入知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程的重要性.

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限；高等數(shù)學(xué)；知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

極限理論是高等數(shù)學(xué)的核心概念，廣泛應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)及其他科學(xué)領(lǐng)域。注重極限理論的知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程，能夠幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念的演變與邏輯推理，促進(jìn)批判性思維與發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)［1］.

1極限理論發(fā)展過(guò)程

1.1我國(guó)古代極限思想萌芽

無(wú)線(xiàn)分割下的極限思想是微積分思想起源的關(guān)鍵［2］.我國(guó)有文獻(xiàn)記載的最早的無(wú)限分割思想是公元前3世紀(jì)以前，《莊子·天下篇》中說(shuō)：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”.我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽，基于（莊子）的無(wú)限分割思想，在《九章算術(shù)》的注文中，提出了《割圓術(shù)》的方法.劉徽用割圓術(shù)求出了內(nèi)接正3072邊形的面積，導(dǎo)出圓周率為3.1416［3］.南北朝時(shí)期的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家祖沖之又用劉徽的割圓術(shù)計(jì)算出了圓內(nèi)接正24576多邊形的面積，把圓周率的計(jì)算精確到了小數(shù)點(diǎn)后7位［4］.祖沖之的兒子祖暅同樣遵循劉徽的方法推導(dǎo)出了球體的體積［4］.

1.2西方極限理論發(fā)展進(jìn)程

1.2.1?;極限概念的萌芽

公元前5世紀(jì)，古希臘安提豐提出了一種與割圓術(shù)類(lèi)似的方法，即通過(guò)不斷加倍邊數(shù)的方式，用圓內(nèi)接正多邊形的面積來(lái)逼近圓的面積.公元前408—公元前355年歐多克斯提出了一種觀點(diǎn)，即對(duì)于兩個(gè)不同的量，如果從較大的量中減去大于其半的量，再?gòu)乃嗔恐袦p去大于其半的量，并不斷重復(fù)這一步驟，那么所剩下的量將會(huì)比原來(lái)較小的量要小，重大發(fā)展了安提豐用圓內(nèi)接正多邊形面積來(lái)逼近圓的面積這一方法.這種方法在17世紀(jì)時(shí)被人稱(chēng)為窮竭法，是近代極限理論的雛形，標(biāo)志著極限概念的輪廓已在古希臘問(wèn)世［3］.阿基米德在《圓的度量》中應(yīng)用窮竭法證明了球的表面積和體積相關(guān)的重要結(jié)論，例如在《論球與圓柱》中記載了，阿基米德用極限思想推導(dǎo)出了球體積為半徑立方和圓周率之積的34［4］.

1.2.2極限概念的發(fā)展

窮竭法在應(yīng)用時(shí)計(jì)算十分煩瑣，荷蘭的西蒙斯杰文大膽舍棄了窮竭法的形式歸謬法，斷言“如果兩個(gè)量的差在連續(xù)細(xì)分到一定程度后能小于任何已知的量，則二者必?zé)o差異”，這一做法使得算法變得簡(jiǎn)單易行，但邏輯上不夠嚴(yán)密.隨著解析幾何這門(mén)嶄新數(shù)學(xué)分支的發(fā)展，西方學(xué)者開(kāi)始用算術(shù)的方法研究幾何問(wèn)題.基于算術(shù)法的基礎(chǔ)，英國(guó)數(shù)學(xué)家瓦里斯首次引入了變量極限的概念，他認(rèn)為，“變量的極限可以逐漸接近一個(gè)常數(shù)，以至于它們的差異小于任何給定的量”.

1.2.3極限概念的逐步形成

牛頓應(yīng)用無(wú)窮小的增量來(lái)計(jì)算留數(shù)的過(guò)程體現(xiàn)了極限過(guò)程，但當(dāng)時(shí)人們還沒(méi)明確無(wú)窮小的本質(zhì)，使得牛頓的做法產(chǎn)生了邏輯上的混亂，引發(fā)了數(shù)學(xué)的第二次危機(jī).自從瓦里斯提出了使用變量的視角來(lái)定義極限后，學(xué)者們逐漸對(duì)無(wú)窮小的本質(zhì)有了更明確的認(rèn)識(shí).萊昂哈德·歐拉（1707—1783）認(rèn)為，“無(wú)限小”或者“消逝的量”僅僅是趨近于零的量；而法國(guó)達(dá)朗貝爾（1717—1783）指出，無(wú)限大和無(wú)限小分別表示無(wú)限制地增大和無(wú)限制地減小［3］.達(dá)朗貝爾還認(rèn)為微分學(xué)的基礎(chǔ)應(yīng)建立在極限概念上.

1.2.4極限概念的確立

捷克斯洛伐克數(shù)學(xué)家波爾查諾，首次使用極限的概念來(lái)定義函數(shù)在某一區(qū)間上的連續(xù)性［3］.柯西在他的《分析教程》中，擺脫了幾何圖形和幾何量的限制，并給出了極限的定義：“如果代表某個(gè)變量的一系列數(shù)值趨向于某個(gè)固定的數(shù)值，那么這個(gè)固定值就被稱(chēng)為這個(gè)數(shù)值系列的極限”［3］，即我們現(xiàn)在定義極限的描述性定義.在柯西、戴德金解決了實(shí)數(shù)理論之后，魏爾斯特拉斯意識(shí)到，柯西采用直觀運(yùn)動(dòng)來(lái)描述極限概念，并以此作為微積分的基礎(chǔ)，不是十分嚴(yán)謹(jǐn)。因此，他提出一種新的動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)來(lái)定義極限，取代原有變量極限的靜態(tài)觀點(diǎn).具體來(lái)說(shuō)，他將柯西對(duì)極限的定性描述精確化為定量描述，以呈現(xiàn)極限的本質(zhì)含義，即“εδ”語(yǔ)言，由此，極限概念的嚴(yán)格化最終完成［3］.

2高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程的案例

下面簡(jiǎn)單展示對(duì)于數(shù)列的描述性定義和精確定義教學(xué)過(guò)程中應(yīng)用知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程設(shè)計(jì)的教學(xué)過(guò)程.

2.1數(shù)列極限的描述性定義

2.1.1問(wèn)題引入，注重知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程

問(wèn)題1：戰(zhàn)國(guó)時(shí)代哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》中引用過(guò)一句話(huà)“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，請(qǐng)從數(shù)量關(guān)系上來(lái)理解這句話(huà)？

設(shè)計(jì)意圖：遵循直觀性原則，讓學(xué)生初步嘗試從動(dòng)態(tài)變化的角度來(lái)觀察和分析問(wèn)題，并認(rèn)識(shí)到研究數(shù)列變化趨勢(shì)的必要性，為后續(xù)講解數(shù)列的描述性定義奠定基礎(chǔ).

問(wèn)題2：在不借助于圓的面積公式的前提條件下，思考如何計(jì)算半徑為1的圓的面積？

設(shè)計(jì)意圖：極限思想方法是在探求某些實(shí)際問(wèn)題的精確解答的過(guò)程中產(chǎn)生的［5］.通過(guò)采取問(wèn)題重現(xiàn)的方式教學(xué)，可以讓學(xué)生更準(zhǔn)確地體會(huì)極限思想，同時(shí)在思考問(wèn)題的過(guò)程中訓(xùn)練學(xué)生分析問(wèn)題的能力和解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想和極限這一新思想的產(chǎn)生過(guò)程.

問(wèn)題3：若艾賓浩斯遺忘規(guī)律滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)=et［0.0123·lnt］-0.0639，請(qǐng)問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，人們會(huì)全部遺忘［6］？

設(shè)計(jì)意圖：將高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科構(gòu)建聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，也讓學(xué)生體會(huì)高等數(shù)學(xué)的重要性，引起學(xué)生對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)的重視.

2.1.2基于認(rèn)知，注重概念的形成過(guò)程

問(wèn)題4：?jiǎn)栴}1和問(wèn)題2在數(shù)量變化趨勢(shì)上有什么共同的特征？

設(shè)計(jì)意圖：采用“由具體到抽象，由特殊到一般”的教學(xué)方法，引入數(shù)列極限的描述性定義.

數(shù)列極限的描述性定義［7］：對(duì)于數(shù)列an，若當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)an能無(wú)限接近某一個(gè)常數(shù)a，則稱(chēng)此數(shù)列an為收斂數(shù)列，則稱(chēng)常數(shù)a稱(chēng)為數(shù)列an的極限，否則，稱(chēng)數(shù)列an是發(fā)散的.

2.2數(shù)列極限的精確定義

2.2.1實(shí)例分析，注重知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程

問(wèn)題5：（1）當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列（1+1n）n是不是無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)呢？

（2）當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列nn+1是不是無(wú)限接近于常數(shù)1.0001的呢［8］？

設(shè)計(jì)意圖：（1）讓學(xué)生明白，應(yīng)用數(shù)列極限的描述性定義來(lái)確定復(fù)雜數(shù)列如（1+1n）n的極限是否存在是比較困難的，所以需要定義數(shù)列極限的精確定義.同時(shí)，學(xué)生主動(dòng)思考這兩個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中也同步訓(xùn)練了學(xué)生應(yīng)用科學(xué)的思維方式來(lái)分析問(wèn)題，有助于培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)的思維方式和嚴(yán)密的邏輯思維，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

（2）學(xué)生通過(guò)觀察數(shù)列nn+1可以觀察出該數(shù)列的極限是1，通過(guò)讓學(xué)生思考極限為什么不可以是1.0001，從而讓學(xué)生體會(huì)到，雖然數(shù)列極限的描述性定義非常直白，易于理解，但是描述性定義中有些說(shuō)辭是比較含糊的，比如“無(wú)限增大”“無(wú)限接近”，缺乏數(shù)學(xué)嚴(yán)密性，不能作為科學(xué)論證的邏輯基礎(chǔ)［9］，我們需要用量化的方式來(lái)定義數(shù)列的極限.通過(guò)對(duì)具體問(wèn)題的具體分析，讓學(xué)生明確描述性定義中的模糊含義“無(wú)限增大”“無(wú)限趨近”如何來(lái)定量刻畫(huà)，從而總結(jié)出數(shù)列的精確定義.

2.2.2通過(guò)分析，注重概念的形成過(guò)程

通過(guò)解決上面問(wèn)題5提出的兩個(gè)問(wèn)題，逐步形成數(shù)列極限的精確性定義.第一個(gè)問(wèn)題通過(guò)多媒體展示可以直觀得到答案；第二個(gè)問(wèn)題采用師生問(wèn)答的形式，以數(shù)列nn+1為例，說(shuō)明該數(shù)列的極限是1，而不是1.0001為例，來(lái)使學(xué)生逐漸明確“無(wú)限增大”和“無(wú)限趨近”的定量描述.

師：若1.0001為數(shù)列nn+1的極限，需要滿(mǎn)足：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)nn+1能無(wú)限接近常數(shù)1.0001，那如何刻畫(huà)數(shù)列nn+1的第n項(xiàng)與常數(shù)1.0001的接近程度？

生：可以通過(guò)計(jì)算nn+1-1.0001的值來(lái)表示他們之間的接近程度.

師：好，那么怎么說(shuō)明，它們之間是無(wú)限接近的呢？

生：nn+1-1.0001的值無(wú)限接近于0.

師：當(dāng)nn+1-1.0001的值越小時(shí)，nn+1與1.0001是越來(lái)越接近，也就是說(shuō)nn+1-1.0001的值越小，我們認(rèn)為nn+1與1.0001的接近程度越高，所以nn+1與1.0001要實(shí)現(xiàn)無(wú)限接近，nn+1-1.0001的值需達(dá)到無(wú)限小才可以.那么大家思考一下無(wú)限小是不是比你能想象得到的任意非常小的正數(shù)都小呢？

生：是的.

師：那這樣的話(huà)，大家認(rèn)為多小的數(shù)才是非常小的正數(shù)呢？

生A：教師我覺(jué)得0.00001已經(jīng)是很小的正數(shù)了.

師：好，A同學(xué)覺(jué)得0.00001是很小的數(shù)，那么nn+1-1.0001的值可以小于0.00001嗎？

生：不可以，nn+1-1.0001的值總是大于0.00001的.

師：對(duì)，因?yàn)閚n+1-1.0001的值總是大于0.00001，所以nn+1-1.0001的值不可能做到無(wú)限接近0，因而數(shù)列nn+1的極限不是1.0001.那接下來(lái)大家思考一下nn+1-1的值可以小于0.00001嗎？

生：可以，只要就n>99999就可以得到nn+1-1<0.00001.

師：對(duì)，完全正確，那么有沒(méi)有比0.00001更小的數(shù)呢？

生B：有，比如說(shuō)0.000001.

師：好，那么nn+1-1的值可以小于0.000001嗎？

生：可以，只要n>999999就可以實(shí)現(xiàn).

師：對(duì)，那我們?cè)傧胍幌?，有沒(méi)有比0.000001還小的數(shù)呢？

生：有.

師：對(duì)，有，而且有很多.那么是不是任意給定一個(gè)很小的數(shù)，我們記為ε，nn+1-1的值可以小于這個(gè)任意給定的ε嗎？

生：應(yīng)該可以.

師：有一部分同學(xué)不確定是不是可以實(shí)現(xiàn)nn+1-1<ε，那么我們簡(jiǎn)單計(jì)算一下.

nn+1-1<ε1n+1<εn>1ε-1

所以我們只需要滿(mǎn)足取的n是大于1ε-1的整數(shù)，就可以實(shí)現(xiàn)nn+1-1<ε了.

師：說(shuō)明了任意給出一個(gè)很小的距離ε，我們可以找到某一項(xiàng)N，使得N項(xiàng)之后的任意一項(xiàng)都滿(mǎn)足nn+1-1<ε，也就是說(shuō)第N項(xiàng)之后的任意一項(xiàng)與1之間的接近程度可以小于我們?nèi)我馊《ǖ摩?，所?就是數(shù)列nn+1在n趨于無(wú)窮大時(shí)的極限.根據(jù)我們上面的分析過(guò)程，數(shù)列nn+1的極限是1，也可以描述為“對(duì)任意給定的正數(shù)ε，存在正整數(shù)N=1ε-1，只要n>N時(shí)，恒有nn+1-1<ε.”將這個(gè)定義一般化，我們就得到了數(shù)列極限的精確定義.

數(shù)列極限ε-N的定義［3］：設(shè)xn為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)n>N，不等式xn-a<ε都成立，那么就稱(chēng)常數(shù)a是數(shù)列xn的極限，或者稱(chēng)數(shù)列xn收斂于a，記為limn→∞xn=a或xn→a（n→∞）.

結(jié)語(yǔ)

高等數(shù)學(xué)這門(mén)課程在其他學(xué)科中的應(yīng)用是十分廣泛的，在授課過(guò)程中注重體現(xiàn)知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程，將有利于學(xué)生理解知識(shí)的本質(zhì)和實(shí)際應(yīng)用.本文以數(shù)列的極限為例，簡(jiǎn)單介紹了極限概念的發(fā)展過(guò)程，并結(jié)合認(rèn)知規(guī)律，通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方式，重現(xiàn)極限概念的形成過(guò)程，在學(xué)生主動(dòng)思考問(wèn)題的過(guò)程中有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

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項(xiàng)目基金：由河南省社科聯(lián)批準(zhǔn)的高校數(shù)學(xué)教師課程思政素養(yǎng)提升研究項(xiàng)目資助（SKL2023950）

*通訊作者：劉霄霄（1994—），女，河南焦作人，碩士，助教，研究方向：不動(dòng)點(diǎn)理論。

作者簡(jiǎn)介：肖亞（1995—）男，河南駐馬店人，碩士，助教，研究方向：博弈論。