“秦子同學為什么會在這兒？”

學校體育館里，秦子正搓手準備攀上巖壁，突然聽到身后傳來荒白教授的聲音，于是轉頭說：“教授，我試試新線路?！?/p>

教授搓著手上的鎂粉，說：“秦子同學，現(xiàn)在這個時間，你應該在高數(shù)課堂上吧？”

秦子笑了一聲，回頭緊了緊安全帶，說：“沒有必要?！笨伤麆傄l(fā)力，就被教授拽了回來。教授問：“什么沒有必要？”

秦子一臉不耐煩地說：“我說去上高數(shù)課沒有必要。”

教授搖頭道：“秦子同學，這句話不像一個大學生該說的?！?/p>

“我不是數(shù)學專業(yè)的學生，又不搞物理和精算，我學高數(shù)干嗎？別說高等數(shù)學，依我看，數(shù)學這玩意兒其實學到初中水平就夠了?！鼻刈犹ь^看了一眼教授，又補充道：“是是是，我知道您能說會道，更高層次的數(shù)學在各行各業(yè)都有什么意義，您能隨口說幾個小時，所以我僅就個人情況表態(tài)。我說我自己，在今后的人生中，數(shù)學學到初中水平就夠了?！?/p>

教授卻說：“不，不夠，秦子同學不能就這么放棄對自己的要求。即使不談社會應用，光是在個人成長方面，數(shù)學也是極有價值的?！?/p>

秦子問：“有什么價值？”

教授說：“很多，比如，學數(shù)學能擴充你的詞匯量?！?/p>

秦子“哼”了一聲，說：“這叫什么價值？我要是想擴充詞匯量，去背詞典不行嗎？”

“不行，有些詞語只能在學習數(shù)學的過程中積累，因為那些詞語蘊含的其實是一套復雜的思維方式乃至世界觀，而這是背詞典所做不到的?！苯淌谝贿呎f，一邊摘下眼鏡擦了擦，“秦子同學，你知道第一次數(shù)學危機嗎？”

秦子搖頭道：“數(shù)學危機不知道，我就知道《生化危機》?！?/p>

教授沒有理睬秦子的打岔，繼續(xù)說：“公元前470年前后，數(shù)學差點兒完蛋了?！?/p>

“數(shù)學完蛋？什么意思？”

“就是說，數(shù)學作為一門學科在理論上出現(xiàn)了重大矛盾，就仿佛大家在一起編一個故事，但編著編著，大家驚訝地發(fā)現(xiàn)這個故事圓不回來了?！?/p>

秦子一聽這個，臉上就露出了看熱鬧不嫌事大的笑容?！澳唧w說說，數(shù)學怎么就完蛋了？”

教授說：“公元前5世紀，古希臘有一個影響力很大的學派，叫畢達哥拉斯學派。這個學派雖然以學術成就聞名于世，比如發(fā)現(xiàn)了勾股定理，但是也搞一些神秘主義和政治活動，所以這個學派的領袖畢達哥拉斯的身份很復雜，他既是學術領袖，又像是‘教主’和‘幫派老大’。”

秦子說：“嚯，這身份還挺酷。所以，是畢達哥拉斯引發(fā)了數(shù)學危機？”

“不，是他的學生引發(fā)的，但畢達哥拉斯也需要為此負責。在公元前5世紀，畢達哥拉斯聲稱，世間的一切數(shù)都可以被歸納為整數(shù)和整數(shù)之比，而數(shù)也恰恰是世界的本源，是一切事物運轉的根本原則?！?/p>

“我怎么覺得神神秘秘的，真有點兒教主的勁頭了。”

“確實，那時候數(shù)學理論還非常淺陋，而且科學遠未昌明，所以人們在研究抽象概念時，很容易滑到神秘主義的旋渦里去。另外，因為當時的數(shù)學主要是古希臘人對生產(chǎn)實踐的總結歸納，這使得畢達哥拉斯的理論基礎，即世間一切數(shù)都可以用整數(shù)和整數(shù)之比來表示，也是符合直覺和經(jīng)驗的，大家看不出有什么破綻。”

秦子問：“后來呢？到底是什么引發(fā)了危機？”

“后來，畢達哥拉斯有個學生，名叫希伯斯，他發(fā)現(xiàn)了一件非?？膳碌氖隆苯淌谡f到這兒，嗓音都低沉了下來。

秦子也慢慢湊過去，小聲問：“到底是什么可怕的事？”

教授說：“他發(fā)現(xiàn)，一個邊長為1的正方形，其對角線長度無法用整數(shù)或整數(shù)之比表示?！?/p>

秦子聽完，肩膀都快聳到耳朵上邊去了，攤開雙手，道：“邊長為1的正方形的對角線長度？那不就是根號2嗎？”

教授說：“是的，但是當時的古希臘還沒有人知道根號是什么東西，更沒有無理數(shù)的概念，所以，正方形的對角線長度引發(fā)了一些人的恐慌?！?/p>

“恐慌？”

“是的，特別是畢達哥拉斯本人，簡直惶惶不可終日，因為正方形對角線的長度問題是他無論如何都無法解釋清楚的?？梢哉f，他之前的所有理論都因為這個小小問題崩塌了。這就是第一次數(shù)學危機?！?/p>

秦子說：“那趕緊把理論改一改，圓回來不就行了？”

“沒那么簡單?！苯淌跀[擺手，“畢達哥拉斯對于自己的數(shù)學理論有一種宗教式的狂熱崇拜，不容褻瀆，所以當他發(fā)現(xiàn)希伯斯指出了自己理論的問題所在時，他要求自己的學生閉嘴，不許對外界透露這件可怕的事?！?/p>

“但他的學生還是對外披露了這個秘密，對吧？”

“是的，在歷史傳說里，畢達哥拉斯也因此陷入狂怒之中，命人把這個背叛自己的學生扔進大海淹死了?！?/p>

秦子倒吸了一口涼氣。“好家伙，古希臘‘學閥’還能直接殺人滅口呢?！?/p>

教授說：“雖然希伯斯被殺了，但他揭露的問題卻已然為公眾所知，所以古希臘人不得不硬著頭皮去應對。正是吸取了這場危機的慘痛教訓后，古希臘學者才明白，來自生活的經(jīng)驗和直覺是不可靠的，嚴謹?shù)倪壿嬐评聿攀钦嬷幕?，這也在后世成為自然科學的基本原則。所以，如今有很多專家表示科學孕育自‘兩?！幕垂畔ＥD和希伯斯?！?/p>

秦子點了點頭，道：“但您說了這么多，我依然沒看出數(shù)學對個人能力的提升有什么幫助?！?/p>

教授說：“維特根斯坦說過一句名言，語言的邊界即世界的邊界。你可以將其理解為：如果一個概念對于某人是無法言說的，那么在此人的世界觀里，這個概念即是不存在的?！?/p>

秦子說：“教授，您說得太抽象了，我沒明白。”

教授說：“結合剛才的例子來看，在第一次數(shù)學危機爆發(fā)時，畢達哥拉斯的腦海中還沒有無理數(shù)和根號2這樣的詞，這使得他根本無法描述正方形對角線的長度，因為他腦內是沒有相應概念的?！?/p>

秦子低著頭，捏著下巴，一邊思考一邊說：“好像是啊……無法用詞語表達出來的概念，就很難對其進行分析推理，有種大腦使不上勁兒的感覺?！?/p>

教授點頭道：“這樣的例子在當代也有。1987年，有個人類學家深入菲律賓雨林中的矮黑人部落，他發(fā)現(xiàn)這些矮黑人的文明水平依然處于石器時代，語言中沒有3以上的數(shù)詞?！?/p>

秦子問：“他們只能數(shù)到3嗎？”

教授點點頭?！叭祟悓W家曾問一個矮黑人女性有幾個孩子，那個女性的孩子超過了3個，于是她就不知道該怎么表達了，只能依次說出孩子的名字。凡是大于3的數(shù)字，他們都無法理解，所以這些原住民無法使用大面值貨幣，在和外界做交易時只能以物換物，這便是難以理解、不能言說的概念?！?/p>

秦子說：“我大概明白您的意思了，但我依然覺得這些離我很遠，畢竟我能數(shù)到3以上。”

教授又一次搖起頭來。“然而，在數(shù)學的世界中，并不只有整數(shù)和無理數(shù)的概念，還有很多詞是完全超出生活經(jīng)驗范圍的，如果沒有學習過相應的數(shù)學知識以掌握相應詞語，人們就很難甚至無法表達一些概念。”

秦子問：“您能舉幾個例子嗎？”

教授說：“當然。比如，你如何靠日常用語表達補集這個概念？”

“嗯……這個我知道，大概是一定范圍內的元素組合中……某一個相對小范圍內的元素之外所有其他元素的總和？”秦子說完這一大串，忍不住喘了口氣。

教授笑道：“且不說你剛才的表達是否嚴謹，就光說這么長一串啰唆的話，費勁不費勁？麻煩不麻煩？你不妨再說說，逆否是什么意思？周延是什么意思？共軛、遞歸、期望、離散、積分又都是什么意思？”

秦子紅著臉張了張嘴，但什么都沒說出來，腦門兒上還浮出一層虛汗。

教授攤開雙手，說：“就算你能給出一個不甚嚴謹，甚至啰唆的解釋，在思考中，如果不能把復雜抽象且自帶前提和限制條件的概念壓縮成簡單詞語，那么人的大腦內存將很快被占滿，思考和推理就會變成一件特別低效且痛苦的事。特別是那些根本沒接觸過的數(shù)學詞語所對應的概念，你根本就不能理解，就像菲律賓熱帶雨林中的矮黑人原住民不能理解8是什么意思一樣?！?/p>

秦子吸了一口氣，點了點頭。

教授抬起頭看著高高的巖壁，說：“做個類比的話，思考一個復雜問題就好像攀巖，而一個個數(shù)學詞語就仿佛巖壁上的凸起。如果沒有這些數(shù)學詞語，你就仿佛在爬一面光滑的玻璃墻，有一種大腦使不上勁的感覺，而有了這些數(shù)學詞語，你就可以踩著它們、摳著它們，以讓自己的大腦充分發(fā)力，進退有據(jù)，在巖壁上又快又穩(wěn)地攀爬。秦子同學，如果一個人在思考時又快又穩(wěn)，那我們通常會用一個詞來形容此人?！?/p>

秦子問：“聰明？”

教授點頭道：“所以，回去上數(shù)學課?！?/p>

（蒹葭摘自中信出版集團《教授與年輕人》）