吳丹瀾 梁展弘 余懿 蔡博 鄭邦宏 王梓超 張紫玲

關(guān)鍵詞：物理神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；機(jī)器學(xué)習(xí)；波動(dòng)方程；救援；物理學(xué)

0引言

在當(dāng)今社會(huì)，由于全球氣候變化、生態(tài)環(huán)境破壞以及地殼運(yùn)動(dòng)活躍等因素的影響，自然災(zāi)害[1]的發(fā)生呈現(xiàn)出頻次增加、強(qiáng)度加劇的趨勢(shì)，包括地震[2]、洪水、臺(tái)風(fēng)、滑坡、森林火災(zāi)等多種災(zāi)害形式。這些災(zāi)害不僅對(duì)人民生命財(cái)產(chǎn)安全構(gòu)成嚴(yán)重威脅，而且對(duì)社會(huì)穩(wěn)定和經(jīng)濟(jì)發(fā)展也帶來(lái)了巨大挑戰(zhàn)。因此，在災(zāi)后救援工作中，如何快速、精準(zhǔn)地定位被困人員，提升傷員搜救效率，最大限度地減少因?yàn)?zāi)害造成的人員傷亡和經(jīng)濟(jì)損失，成為一個(gè)緊迫且重要的課題。

為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，國(guó)家救援隊(duì)伍積極采用先進(jìn)的科學(xué)技術(shù)手段，其中聲波類探測(cè)儀器在救援現(xiàn)場(chǎng)的應(yīng)用發(fā)揮了關(guān)鍵作用。這類儀器通常利用超聲波、地震波等物理原理，通過(guò)發(fā)送聲波并接收其反射信號(hào)來(lái)判斷廢墟下是否存在生存空間及生命跡象。它們能夠在復(fù)雜的環(huán)境下穿透障礙物，幫助救援人員確定被困者位置，極大地提高了搜救工作的成功率。

為進(jìn)一步提升此類探測(cè)設(shè)備的效能，科研人員正著重于優(yōu)化波動(dòng)方程求解算法的研究與應(yīng)用。波動(dòng)方程是描述聲波或地震波傳播的基本數(shù)學(xué)模型，其精確求解有助于更準(zhǔn)確地模擬現(xiàn)實(shí)情況中的聲波傳播路徑和衰減特性，從而提高探測(cè)結(jié)果的精度。通過(guò)深度開發(fā)和應(yīng)用高精度的波動(dòng)方程[3]數(shù)值計(jì)算方法，可以顯著增強(qiáng)聲波類探測(cè)儀器的功能性能，使得在面對(duì)各類自然災(zāi)害時(shí)，救援行動(dòng)能夠更加迅速、高效，真正體現(xiàn)“時(shí)間就是生命”的救災(zāi)原則。

1我國(guó)目前的救援能力現(xiàn)狀

隨著全球氣候變化和人類活動(dòng)的不斷增加，自然災(zāi)害的發(fā)生頻率和規(guī)模也在不斷擴(kuò)大，而我國(guó)也面臨著越來(lái)越嚴(yán)峻的救援挑戰(zhàn)。

一般來(lái)說(shuō)，在事故發(fā)生后，救援隊(duì)伍會(huì)立刻投入救援當(dāng)中，但因被困人員一般被埋在數(shù)米厚的泥土下，導(dǎo)致搜救工作面臨著巨大困難。而此時(shí)生命探測(cè)儀器則成為不可或缺的救援工具，像遇到滑坡、地震等災(zāi)害時(shí)，救援人員通常難以憑肉眼判斷被困人員的具體位置，但活著的人都有生命特征，身體會(huì)有溫度、呼吸、心跳，會(huì)產(chǎn)生二氧化碳?xì)怏w，而這些就是生命探測(cè)儀器判斷幸存者位置的依據(jù)。

針對(duì)不同體征，生命探測(cè)儀[4]可分為聲波探測(cè)儀、雷達(dá)探測(cè)儀、紅外探測(cè)儀、光學(xué)探測(cè)儀等不同種類。但這些裝備也有其局限性，如聲波探測(cè)儀無(wú)法區(qū)分人和其他動(dòng)物，且會(huì)受到噪聲等干擾。

在聲波探測(cè)儀[5]中，捕獲聲波的震動(dòng)通過(guò)波動(dòng)方程去解析出是否為幸存者心跳、呼吸、移動(dòng)等發(fā)出的微弱聲音，波動(dòng)方程解的精確程度即可影響到儀器的精準(zhǔn)程度，改進(jìn)波動(dòng)方程可以從軟層面提高儀器的精確度。除此之外，改進(jìn)波動(dòng)方程也可以增加儀器對(duì)干擾聲波的抗干擾能力。生命探測(cè)儀的普及應(yīng)用不斷擴(kuò)大，顯著提升了搜救工作的速度、準(zhǔn)確性以及安全性。與此同時(shí)，中國(guó)積極推動(dòng)國(guó)家救援體系[6]的完善，加強(qiáng)了緊急救援裝備的建設(shè)。

1.1聲波檢測(cè)儀

在災(zāi)害救援中，聲波檢測(cè)儀器以其無(wú)損、快速、準(zhǔn)確的探測(cè)能力，為救援人員提供了重要的生命跡象信息和災(zāi)害現(xiàn)場(chǎng)的詳細(xì)情況。

首先，聲波檢測(cè)儀器通過(guò)發(fā)出聲波并接收反射回來(lái)的聲波，能夠探測(cè)到被掩埋或困在廢墟下的人員。

這種儀器能夠穿透混凝土、土壤、水等介質(zhì)，為救援人員提供被困人員的準(zhǔn)確位置信息，從而加快救援速度，減少救援人員的盲目挖掘和搜尋時(shí)間。

其次，聲波檢測(cè)儀器還廣泛應(yīng)用于災(zāi)害現(xiàn)場(chǎng)的結(jié)構(gòu)安全監(jiān)測(cè)。在地震、泥石流等災(zāi)害發(fā)生后，建筑物和橋梁等結(jié)構(gòu)可能存在安全隱患。聲波檢測(cè)儀器通過(guò)檢測(cè)結(jié)構(gòu)內(nèi)部的損傷和裂縫，能夠評(píng)估結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和安全性，為救援人員提供重要的決策依據(jù)。

而波動(dòng)方程作為描述聲波傳播的基礎(chǔ)理論，對(duì)于理解和優(yōu)化聲波檢測(cè)儀的性能至關(guān)重要。通過(guò)深入研究波動(dòng)方程及其在聲波傳播中的應(yīng)用，可以不斷優(yōu)化聲波檢測(cè)儀的性能，為災(zāi)害救援工作提供更準(zhǔn)確、可靠的技術(shù)支持。

2波動(dòng)方程

2.1波動(dòng)方程概念

波動(dòng)方程或稱波方程（WaveEquation）是一種描述自然界中各種波動(dòng)現(xiàn)象的二階線性偏微分方程，主要描述自然界中的各種波動(dòng)現(xiàn)象[8]，例如機(jī)械波，包括聲波、光波、引力波、無(wú)線電波、水波、和地震波[9]等。波動(dòng)方程抽象自聲學(xué)、波動(dòng)光學(xué)[10]、電磁學(xué)、電動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、廣義相對(duì)論[11]等領(lǐng)域。波動(dòng)方程的一般形式為：

式（1）中，u是關(guān)于位置x和時(shí)間t的標(biāo)量函數(shù)，表示波的位移或振幅；v是波的傳播速度，是一個(gè)常數(shù)。

波動(dòng)方程的物理意義是：任意一點(diǎn)的加速度（即時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)）與該點(diǎn)周圍的曲率（即位置的二階導(dǎo)數(shù)）成正比，比例系數(shù)為波速的平方。這反映了波的傳播規(guī)律，即波是由局部的振動(dòng)通過(guò)相鄰的點(diǎn)的相互作用而向外擴(kuò)散的。

2.2一般求解波動(dòng)方程相關(guān)方法

波動(dòng)方程的求解方法有多種，如分離變量法[12]、特征線法[13]、傅里葉變換法[14]等，它們分別適用于不同的方程形式、初始條件和邊值條件。

1）分離變量法（SeparationofVariablesMethod）。

分離變量法是一種將偏微分方程化為常微分方程的方法。它的基本思想是將波動(dòng)方程的解表示為兩個(gè)或多個(gè)變量的函數(shù)的乘積，例如y（x，t）=X（x）T（t），然后將這個(gè)形式代入波動(dòng)方程。通過(guò)分離變量，得到兩個(gè)或多個(gè)常微分方程，分別求解這些常微分方程，再根據(jù)初始條件和邊界條件確定常數(shù)，最后將各個(gè)分量的解疊加得到波動(dòng)方程的解。這種方法僅適用于齊次邊界條件的情況，例如熱傳導(dǎo)方程、波動(dòng)方程。

分離變量法的求解缺點(diǎn)是適用范圍有限，普適性不強(qiáng)。它不能適用于非齊次邊界條件的情況，也難以處理非線性或非均勻的波動(dòng)方程。

2）特征線法（CharacteristicLineMethod）。特征線法是一種利用波動(dòng)方程的特征方程來(lái)求解的方法。它的基本思想是找出一族曲線，在這族曲線上，波動(dòng)方程退化為常微分方程。然后在這些曲線上求解波動(dòng)方程，再將這些曲線上的解拼接起來(lái)得到整個(gè)區(qū)域上的解。這種方法適用于一階偏微分方程或可以化為一階偏微分方程的情況，例如波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式uξη=0，其中ξ=x+at，η=x-at。特征線法在非線性以及非均勻的波動(dòng)方程求解中也存在一些問(wèn)題，特征線可能會(huì)相交或斷裂，導(dǎo)致解的不連續(xù)或不唯一。此外，特征線法要求初始條件不是沿著特征線給定，否則會(huì)導(dǎo)致解的不確定或不存在。對(duì)于多維的波動(dòng)方程，特征線法可能會(huì)涉及復(fù)雜的邊界條件，難以處理。

3）傅里葉變換法（FourierTransformMethod）。傅里葉變換法是一種將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的方法。它的基本思想是將波動(dòng)方程的解表示為傅里葉級(jí)數(shù)或傅里葉變換的形式，例如y（x，t）=∫Y（k，t）eikxdk，然后將這個(gè)形式代入波動(dòng)方程。通過(guò)傅里葉變換，得到一個(gè)關(guān)于Y（k，t）的代數(shù)方程，求解這個(gè)代數(shù)方程，再通過(guò)傅里葉逆變換得到波動(dòng)方程的解。

這種方法適用于非齊次邊界條件或無(wú)窮區(qū)域的情況。其缺點(diǎn)是需要對(duì)波動(dòng)方程的解進(jìn)行傅里葉變換和傅里葉逆變換，這可能會(huì)引入誤差或失真。對(duì)于非線性或非均勻的波動(dòng)方程，傅里葉變換法可能不適用或難以實(shí)現(xiàn)。

3基于PINN的波動(dòng)方程求解方法

3.1PINN基本原理及求解方法

波動(dòng)方程是現(xiàn)代科學(xué)[15]和工程建設(shè)[16]領(lǐng)域中涉及較廣的自然物理問(wèn)題。根據(jù)在科學(xué)研究和工程建設(shè)中的各類初始條件和邊界條件，可以將其抽象成以物理信息為特征的偏微分方程[17]，并可以通過(guò)各類測(cè)量檢測(cè)手段獲取偏微分方程中相應(yīng)的物理數(shù)據(jù)[18]。這些物理數(shù)據(jù)信息可以用來(lái)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[19]，從而求解或發(fā)現(xiàn)偏微分方程的解或參數(shù)。

PINN的核心思想是將偏微分方程的形式和參數(shù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一部分，然后通過(guò)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方式來(lái)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使其能夠逼近偏微分方程的解，或者發(fā)現(xiàn)偏微分方程的參數(shù)。PINN可以用來(lái)處理一些傳統(tǒng)數(shù)值方法難以解決的復(fù)雜的非線性偏微分方程，或者一些缺乏足夠觀測(cè)數(shù)據(jù)的反問(wèn)題。PINN也可以用來(lái)探索一些未知的物理規(guī)律[20]或現(xiàn)象，從數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)出微分方程的形式或系數(shù)。該研究基于PINN的求解物理學(xué)問(wèn)題方法流程圖如圖1所示。

偏微分方程的物理信息可以用來(lái)指導(dǎo)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)。物理信息的一般表現(xiàn)形式是偏微分方程特征的初始條件和邊值條件，以及偏微分方程的某些特殊形式。將偏微分方程的物理信息分為規(guī)律信息和數(shù)值信息，并提出通過(guò)調(diào)節(jié)不同的訓(xùn)練采樣平衡度和訓(xùn)練強(qiáng)度平衡度，以建立具有偏微分方程解的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，最終逼近偏微分方程的所有數(shù)值解。

1）PINN深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)（DeepNeuralNet?work，DNN）。多層次的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，也稱為深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DNN），是深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，本質(zhì)上是一種特征學(xué)習(xí)方法，在自然語(yǔ)言[21]和語(yǔ)音[22]、圖像識(shí)別[23]、圖像和視頻數(shù)據(jù)處理[24]、科學(xué)計(jì)算等領(lǐng)域效果明顯。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練一般使用DNN。DNN通常由多個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層組成，包括輸入層、多個(gè)隱藏層和輸出層。每一層都包含多個(gè)神經(jīng)元，這些神經(jīng)元通過(guò)權(quán)重連接形成網(wǎng)絡(luò)。

在PINN中常用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是DNN，主要是因?yàn)镈NN具有靈活性，具有強(qiáng)大的表示學(xué)習(xí)能力，可以靈活地學(xué)習(xí)和逼近復(fù)雜的非線性映射關(guān)系[25]。這使得它們適用于各種不同類型的問(wèn)題，包括涉及物理方程的問(wèn)題。DNN能夠自動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)的特征和模式，而PINN的目標(biāo)之一就是從數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)物理方程。深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的層次結(jié)構(gòu)使得它們能夠逐步提取和組合數(shù)據(jù)中的抽象特征，有助于更好地捕捉物理規(guī)律。在求解一維波動(dòng)方程的時(shí)候證明了DNN的這兩個(gè)特點(diǎn)，對(duì)物理定律的結(jié)合也很好，使模型更好地適應(yīng)真實(shí)世界的復(fù)雜物理過(guò)程。

該研究認(rèn)為波動(dòng)方程的求解過(guò)程如圖2所示。架構(gòu)圖的左側(cè)是一個(gè)DNN，它由2個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)、4個(gè)隱藏層和1個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)組成。輸入節(jié)點(diǎn)分別表示波動(dòng)方程的自變量X和T，分別代表空間和時(shí)間。輸出節(jié)點(diǎn)表示波動(dòng)方程的因變量u，代表波動(dòng)的幅度。隱藏層是由40個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的全連接層，每層都使用了RectifiedLinearUnit（ReLU）作為激活函數(shù)。ReLU是一種常用的非線性激活函數(shù)，使用ReLU的好處是其不存在梯度消失問(wèn)題，可以提升神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂速度，減少參數(shù)的相互依賴，緩解過(guò)擬合問(wèn)題。

架構(gòu)圖的右側(cè)是3種不同的損失函數(shù)，它們分別表示波動(dòng)方程的物理約束[26]。PartialDifferentialEquationLoss（PEDLoss）表示偏微分方程的損失，它衡量了DNN輸出的U是否滿足波動(dòng)方程的形式。BoundaryConditionsLoss（BCLoss）表示邊界條件的損失，它衡量了DNN輸出的U是否滿足波動(dòng)方程的邊界條件。InitialConditionLoss（ICLoss）表示初始條件的損失，它衡量了DNN輸出的U是否滿足波動(dòng)方程的初始條件。這三種損失函數(shù)都是基于平方誤差的，它們的和構(gòu)成了總的損失函數(shù)，用于優(yōu)化DNN的參數(shù)。最后通過(guò)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方式訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)損失函數(shù)輸出值的最小化。

2）波動(dòng)方程代入PINN。在PINN中，物理方程通常被嵌入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過(guò)程中，以提高模型對(duì)物理系統(tǒng)行為的理解。根據(jù)以上論述，將波動(dòng)方程代入PINN進(jìn)行求解的步驟主要體現(xiàn)如下。

將式（1）波動(dòng)方程的方程形式、規(guī)律信息和數(shù)值信息，構(gòu)建一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，將該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的空間坐標(biāo)定義為x和時(shí)間t為輸入，將輸出波函數(shù)的估計(jì)值u?（x，t）作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出，然后將波動(dòng)方程作為損失函數(shù)的一部分。該損失函數(shù)包括波動(dòng)方程的結(jié)構(gòu)損失、邊值條件損失、初值條件損失和真實(shí)數(shù)據(jù)條件損失。波動(dòng)方程對(duì)應(yīng)于時(shí)間二階導(dǎo)數(shù)和空間二階導(dǎo)數(shù)，如式（2）所示：

隨后，需要收集有關(guān)系統(tǒng)行為的數(shù)據(jù)，包括邊界條件和初始條件，并將這些數(shù)據(jù)運(yùn)用到梯度下降或其他優(yōu)化算法以實(shí)現(xiàn)最小化損失函數(shù)，從而調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，得到波動(dòng)方程最逼近的解。在這個(gè)過(guò)程中，需要用真解去驗(yàn)證PINN的解集是否正確，由于真解表示波動(dòng)方程u在空間x和時(shí)間t上的變化，在幾個(gè)時(shí)間戳上進(jìn)行說(shuō)明，分別是t在初始狀態(tài)、1s、2s、4s時(shí)的狀態(tài)，可以看到u的波形如圖3～圖6所示。

將波動(dòng)方程的一般形式代入PINN求解后的計(jì)算解，圖7所示。

其中，?2u為關(guān)于空間?x2和時(shí)間?t2的解函數(shù)。

波動(dòng)方程描述了一維空間中的波動(dòng)現(xiàn)象，其中u（x，t）是波函數(shù)，表示波動(dòng)在空間x和時(shí)間t上的變化。該方程表達(dá)了波動(dòng)的傳播速度v對(duì)波動(dòng)的空間和時(shí)間演化的影響。在常規(guī)波動(dòng)方程的求解過(guò)程中，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DeepNeuralNetwork，DNN）的任務(wù)是學(xué)習(xí)函數(shù)u（x，y），使其滿足上述波動(dòng)方程，并同時(shí)滿足初始條件和邊界條件。通過(guò)優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，使得輸出的解盡可能地逼近真實(shí)的波動(dòng)方程解。在圖7中，可以看出PINN解在t=0，1，2，4時(shí)的波形u（x，y）跟真解上對(duì)應(yīng)時(shí)刻的u的波形形狀是擬合的，說(shuō)明PINN的訓(xùn)練效果和結(jié)果都是正確的。

3.2波動(dòng)方程代入PINN實(shí)驗(yàn)調(diào)試分析

波動(dòng)方程是描述波動(dòng)現(xiàn)象的一種偏微分方程，在改良聲波應(yīng)用上有很大的作用。根據(jù)上述解波動(dòng)方程的理論，可以將其中的方程代入為聲波方程，聲波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過(guò)程等同于聲波傳播[27]的反問(wèn)題。在地球物理學(xué)中，通過(guò)在地表激發(fā)地震波、記錄相應(yīng)的地震響應(yīng)信號(hào)、建立反問(wèn)題模型并數(shù)值求解該問(wèn)題來(lái)確定地下結(jié)構(gòu)的屬性。在聲波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，給定輸入和輸出層條件后，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反問(wèn)題的求解可以確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)權(quán)重系數(shù)[28]，這些系數(shù)的數(shù)量通常非常龐大[21]。根據(jù)聲波方程的特點(diǎn)修改其初始條件和邊界條件，將物理方程修改為聲學(xué)方程，確保正確計(jì)算聲學(xué)方程的各個(gè)導(dǎo)數(shù)，并設(shè)置符合聲學(xué)問(wèn)題求解需求的損失函數(shù)。

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，本研究添加了0.05的噪聲模擬真實(shí)數(shù)據(jù)，然后構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，定義損失函數(shù)，計(jì)算離散點(diǎn)之間的間隔，使用中心差分法計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)和二階偏導(dǎo)數(shù)，將得到的近似導(dǎo)數(shù)與聲波方程進(jìn)行比較，最后輸出結(jié)果。在圖8中可以看出三個(gè)損失函數(shù)的折線圖現(xiàn)象。在相同條件下，初始條件（IC）、邊界條件（BC）、偏微分方程（PDE）三個(gè)損失函數(shù)的數(shù)據(jù)集數(shù)越多，則誤差越小，當(dāng)超過(guò)10000個(gè)例子時(shí)，誤差快速下降。

調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果，使其更好地?cái)M合聲波方程，需要根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整優(yōu)化器和超參數(shù)，以及訓(xùn)練時(shí)長(zhǎng)和迭代次數(shù)，從而完成從波動(dòng)方程到聲波方程的替換。

在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，調(diào)試神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)選擇合適的隱藏層和每層的神經(jīng)元個(gè)數(shù)非常重要。這個(gè)過(guò)程需要不斷調(diào)試，并需要大量數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整，以獲得理想的誤差值。在聲波方程替換波動(dòng)方程中，最困難的部分是修改邊界條件，因?yàn)樾枰槍?duì)不同的場(chǎng)景進(jìn)行不同的邊界修改。這是未來(lái)的研究方向，即如何自適應(yīng)地確定邊界條件。另外，由于邊界條件的影響，即使方程解的誤差很小，最終生成的解集也可能與實(shí)際解不對(duì)應(yīng)。表1顯示了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)調(diào)試數(shù)據(jù)。

ICLoss（初始條件損失）表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在模擬系統(tǒng)初始狀態(tài)（t=0時(shí)刻）時(shí)的誤差，通過(guò)比較神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在初始時(shí)刻的位移與真實(shí)初始條件值之間的均方誤差來(lái)計(jì)算。

BCLoss（邊界條件損失）表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在邊界上滿足約束條件的程度，通過(guò)比較神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在給定空間和時(shí)間邊界上的位移與真實(shí)邊界條件值之間的均方誤差來(lái)計(jì)算。

PDELoss（偏微分方程損失）表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在偏微分方程上的擬合誤差，即在系統(tǒng)內(nèi)部滿足物理方程的程度，通過(guò)比較神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)采樣點(diǎn)上滿足偏微分方程的程度，即通過(guò)比較波動(dòng)方程的時(shí)間和空間偏導(dǎo)數(shù)之間的均方誤差來(lái)計(jì)算。

這三個(gè)損失項(xiàng)的綜合構(gòu)成了總體的損失函數(shù)（Loss）。通過(guò)最小化這些損失，優(yōu)化算法試圖調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，使其能夠較好地逼近真實(shí)的波動(dòng)方程解并滿足初始條件、邊界條件和偏微分方程。表中顯示誤差值都很小，但對(duì)于方程解來(lái)說(shuō)，誤差肯定是越小越好。經(jīng)過(guò)不斷嘗試，發(fā)現(xiàn)當(dāng)DNN的隱藏層數(shù)量為5，神經(jīng)元數(shù)量為50時(shí)，取得的誤差最小。

4結(jié)論

該研究提出了物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（PINN）應(yīng)用于波動(dòng)方程求解的方法，降低了波動(dòng)方程應(yīng)用的難度。在解波動(dòng)方程的過(guò)程中，該研究嘗試將其應(yīng)用于聲波方程，并通過(guò)數(shù)值算例表明，波動(dòng)方程在解決聲波問(wèn)題上發(fā)揮著重要作用。研究也證明了深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DNN）在物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用具有靈活性和廣泛性。通過(guò)調(diào)整隱藏層的層數(shù)和神經(jīng)元個(gè)數(shù)，可以使方程的解集擬合。然而，訓(xùn)練過(guò)程中可能導(dǎo)致過(guò)度擬合，使得解無(wú)法形成。因此，在調(diào)試過(guò)程中，ICLoss、BCLoss和PDELoss之間存在最優(yōu)權(quán)衡。

在波動(dòng)方程中，PDELoss的影響相對(duì)于其他兩個(gè)損失更為顯著。因此，在調(diào)試的過(guò)程中，著重調(diào)節(jié)了PDELoss，以達(dá)到總損失的最小值。實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)DNN的隱藏層數(shù)量為5，神經(jīng)元數(shù)量為50時(shí)，取得的Loss最小，對(duì)于提高波動(dòng)方程求解精度具有重大意義。相比波動(dòng)方程的傳統(tǒng)解法，這一方法有著顯著的改進(jìn)。然而，受到邊界條件影響，聲波方程[29]的圖形與真解的對(duì)應(yīng)關(guān)系存在一定問(wèn)題。因此，邊界條件的自適應(yīng)修改仍然是未來(lái)研究的重要技術(shù)方向。

未來(lái)的深入研究將集中在進(jìn)一步優(yōu)化物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在波動(dòng)方程中的真實(shí)數(shù)據(jù)應(yīng)用上，特別是在邊界條件[30]的自適應(yīng)和誤差最小化方面。此外，還將探索這些網(wǎng)絡(luò)在處理更復(fù)雜的偏微分方程中的更具體應(yīng)用，希望通過(guò)持續(xù)創(chuàng)新和突破，為社會(huì)安全和應(yīng)急救援響應(yīng)能力的提升做出更大的貢獻(xiàn)。