曹捍東

［摘 要］軌跡法是研究幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的一種重要方法。《“定角定積”尋軌跡 變換構(gòu)圖顯思路》［1］一文中對(duì)“定角定積”類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行了探究，但對(duì)“定角”等于0度時(shí)（即反演變換）的情形沒(méi)能展開(kāi)探究。文章對(duì)“反演變換”條件下的軌跡進(jìn)行探求，在構(gòu)造相似三角形時(shí)有獨(dú)特的“構(gòu)圖”方式，是《“定角定積”尋軌跡 變換構(gòu)圖顯思路》一文的補(bǔ)充與拓展。

［關(guān)鍵詞］反演變換；軌跡；定角定積

［中圖分類(lèi)號(hào)］??? G633.6??????? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］??? A??????? ［文章編號(hào)］??? 1674-6058（2024）14-0024-03

不在一定結(jié)構(gòu)中“生長(zhǎng)”的碎片化知識(shí)，難以“組裝”成解決壓軸問(wèn)題的“強(qiáng)大武器”。解題教學(xué)中融入結(jié)構(gòu)化思想很重要。能表達(dá)知識(shí)整體結(jié)構(gòu)、體現(xiàn)一致性、表現(xiàn)生長(zhǎng)性、尋找通性通法的解題教學(xué)往往能取得事半功倍的教學(xué)效果。2023年深圳中考數(shù)學(xué)試卷首次出現(xiàn)“定角定積”類(lèi)問(wèn)題，引發(fā)了教師的思考。本文在解題延伸部分涉及的“反演變換”條件下的軌跡探求，雖可歸為“定角定積”軌跡探求的特例，但其探究方法具有獨(dú)特性。

一、試題呈現(xiàn)

［2023年深圳中考數(shù)學(xué)第22題第（3）問(wèn)］如圖1，在平行四邊形ABCD中，[∠A=60°]，[AB=6]，[AD=5]，點(diǎn)E在[CD]上，且[CE=2]，點(diǎn)F為[BC]上一點(diǎn)，連接[EF]，過(guò)[E]作[EG⊥EF]交平行四邊形ABCD的邊于點(diǎn)G，若[EF·EG=73]時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AG的長(zhǎng)。

二、試題分析

該題重點(diǎn)考查特殊四邊形的性質(zhì)、相似三角形、解直角三角形等主干知識(shí)，綜合性強(qiáng)，有較大難度，對(duì)學(xué)生幾何構(gòu)造能力、分析與解決問(wèn)題的能力等有較高的要求。該題的解法雖然比較多，但一般都需進(jìn)行較為復(fù)雜的構(gòu)圖。那么有沒(méi)有能體現(xiàn)通性通法，讓學(xué)生“撥云見(jiàn)日”的方法呢？

通過(guò)分析不難發(fā)現(xiàn)，主、從動(dòng)點(diǎn)F、G始終受兩個(gè)條件約束：（1）線段[GE]和[EF]的夾角是[90°]；（2）[EF·EG=73]，為定值。

那么，能否先去探求從動(dòng)點(diǎn)G的軌跡呢？筆者的這個(gè)想法和國(guó)內(nèi)學(xué)者郭源源在《“定角定積”尋軌跡 變換構(gòu)圖顯思路》一文中的“定角定積尋軌跡”思路不謀而合，該問(wèn)題在文中被稱(chēng)為“定角定積”模型。

思路：先探求從動(dòng)點(diǎn)G的軌跡，再探求這個(gè)軌跡與平行四邊形各邊的交點(diǎn)情況。

三、教學(xué)功能分析

該題宜在九年級(jí)總復(fù)習(xí)中進(jìn)行教學(xué)，適合以專(zhuān)題的形式為學(xué)有余力的學(xué)生開(kāi)展教學(xué)，比如可開(kāi)展“動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓”專(zhuān)題教學(xué)、“‘定角定積尋軌跡”專(zhuān)題教學(xué)等。需要說(shuō)明的是：（1）雖然初中學(xué)段并沒(méi)有“軌跡”之說(shuō)，但“交軌法”的應(yīng)用卻早有滲透；（2）雖然“軌跡”一詞常被“動(dòng)點(diǎn)路徑”所取代，但其實(shí)質(zhì)并未改變。因此，開(kāi)展上述專(zhuān)題教學(xué)很有必要。開(kāi)展專(zhuān)題教學(xué)對(duì)拓寬學(xué)生解題視野、使學(xué)生掌握通性通法很有幫助。

四、教學(xué)實(shí)施

（一）引例

如圖2，線段EP平行于直線l，EH垂直于直線l于點(diǎn)H，點(diǎn)F是直線l上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，[EG⊥EF] （G、E、F按順時(shí)針排列），且[EG·EF=PE·EH]，問(wèn)：點(diǎn)G的軌跡是什么？

解：點(diǎn)G的軌跡是以PE為直徑的圓。理由：連接GP，則易得[∠GEP=∠HEF]，又[EG·EF=PE·EH]，∴[EGEH=PEEF]，∴[△GEP ]∽[△HEF]，∴[∠EGP=∠EHF=90°]，∴點(diǎn)[G]的軌跡是以[PE]為直徑的圓。

（二）思路分析

引例與上述問(wèn)題有什么聯(lián)系呢？

首先，要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E到CB的距離[EH=3]；其次，構(gòu)造一條平行于CB的線段EP，且使得[EP=7]（如圖3），則[EP·EH=73=GE·EF]，至此兩個(gè)問(wèn)題就關(guān)聯(lián)起來(lái)了。

如圖4，由引例知，若動(dòng)點(diǎn)F是在直線CB上運(yùn)動(dòng)，則滿足[GE·EF=PE·EH]的動(dòng)點(diǎn)G的軌跡是以EP為直徑的圓O。

如圖5，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)F是在邊CB上運(yùn)動(dòng)，所以其軌跡只是⊙O的一段弧。當(dāng)點(diǎn)F分別與點(diǎn)C、B重合時(shí)，利用作圖可以判斷點(diǎn)G的軌跡是[MPN]。

現(xiàn)又要求，點(diǎn)G要在?ABCD的邊上，因此點(diǎn)G 應(yīng)是[MPN]與?ABCD的邊之交點(diǎn)，如圖6所示（其中[G0E]因與CD邊疊合，與邊之交點(diǎn)意義不合，故[G0]應(yīng)舍去）。

以上，就是交軌法的具體運(yùn)用。不難發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：（1）在線段AD上，是否存在一點(diǎn)G，使[∠PGE=90°]？（2）在線段AB上，是否存在一點(diǎn)G，使[∠PGE=90°]？

這兩個(gè)問(wèn)題是大家熟知的存在性問(wèn)題。這種轉(zhuǎn)化，既體現(xiàn)了“以生考熟”的命題意圖，又把貌似不同的兩種情況中的一致性體現(xiàn)了出來(lái)。

（三）具體求解

第1種情況：當(dāng)點(diǎn)G在AD邊上時(shí)，如圖7所示，易得四邊形APEQ是矩形，且[QE=AP=23]，設(shè)[AG=x]，則[GQ=7-x]，利用[△GEQ ]∽[△PGA]，可得[x23=237-x]（或利用勾股定理列方程），解得[x1=3]，[x2=4]，所以[AG=3]或4。

第2種情況：當(dāng)點(diǎn)G在AB邊上時(shí)，如圖8，設(shè)[AG=x]，則[GN=4-x]，又[OG=OE=72]，則[ON=32]，[MN=34]，[OM=343]，于是[GM=4-x+34=194-x]。由勾股定理得[GM=722-3342=134]，所以[194-x=134]，所以[x=32]，即[AG=32]。

由前面的分析可知，不存在點(diǎn)G在CD邊或CB邊上的情形。

綜上，[AG=3]或4或[32] 。

（四）解題反思

以上我們對(duì)一個(gè)包含有特殊的“定角定積”的問(wèn)題進(jìn)行了研究，其中使用了一個(gè)關(guān)鍵性的方法——軌跡法。具體地講，我們?cè)趯?duì)“點(diǎn)”進(jìn)行“搜索”時(shí)，使用了如下方法：先放寬或拋開(kāi)其中的一些約束條件，去研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再依次增加條件以“縮小范圍”，最后“交軌定點(diǎn)”。這種確定點(diǎn)的位置的方法在作圖問(wèn)題中也常用到，具有通性通法的特征。

上例還表明，當(dāng)從動(dòng)點(diǎn)軌跡的角度看待該問(wèn)題時(shí)，可以更好地看清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，看到一致性，從而更容易找到通性通法，并能借此打開(kāi)思路，化生為熟，讓問(wèn)題獲得簡(jiǎn)明的解法。

（五）拓展延伸

下面我們把上述“定角定積”問(wèn)題中的定角改為0度，而“定積”條件保持不變，看會(huì)發(fā)生怎樣的情形？（注：從變換角度看，這種變換叫作反演變換[2]）

1.主動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)

［例1］如圖9，[A（10，0）]，B（0，2）是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)，⊙A的半徑為5，點(diǎn)P是⊙A上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段OP上的一點(diǎn)，且滿足[OP·OQ=20]，則線段BQ長(zhǎng)度的最小值為?????????? 。

思路一：“定積”變“定比”，“反演”變“相似”。

解法一：（1）如圖10，作射線OP交⊙A于點(diǎn)C，設(shè)⊙A交[x]軸于點(diǎn)E、F，連接PE、AC、CF，則易得[△OPE] ∽[△OFC]，則[OP·OC=OE·OF=5×15=75]，又[OP·OQ=20]，所以[OCOQ=7520=154]。

評(píng)注：從幾何變換的角度看，O、Q、C三點(diǎn)共線，且[OCOQ] 為定值，這說(shuō)明存在一個(gè)以O(shè)為中心的位似變換。因此，當(dāng)點(diǎn)[C]在⊙A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q必在另一個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)。

（2）確定圓心位置及半徑

在OA上取點(diǎn)D，使[ODOA=OQOC=415]（即取[OD=83] ），則△OQD ∽△OCA，所以[QDCA=415]。

又[AC=5]，所以[QD=43]，即點(diǎn)Q在以[D83，0] 為圓心，[43]為半徑的⊙D上運(yùn)動(dòng)。

（3）化為熟悉的問(wèn)題（點(diǎn)圓最值）

顯然，BD=[22+832=103]，又[BQ+QD≥BD]（等號(hào)成立時(shí)，B、Q、D三點(diǎn)共線），所以[BQ≥BD-QD=103-43=2]，所以BQ的最小值為2。

思路二：從特殊位置入手，形成初步猜測(cè)；依等積式構(gòu)造相似求解。

解法二：如圖11，設(shè)⊙A與[x]軸的兩個(gè)交點(diǎn)為[C（5，0）]，[D（15，0）]。

圖11

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q位于點(diǎn)E處，則由[OP·OQ=20]（此時(shí)[OP=OC=5]），所以[OQ=4]，即[E（4，0）]。

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q位于點(diǎn)F處，同理，得[F43，0]。

下證：[∠FQE=90°]。由[OP·OQ=OC·OE]，易得△OQE ∽△OCP，所以[∠OQE=∠OCP]，即[∠1+∠3=∠2+∠4]，同理△OQF ∽△ODP，所以[∠1=∠2]，所以[∠3=∠4=90°]，點(diǎn)Q在以EF為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)。

下同解法一。

2.主動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)

［例2］如圖12，點(diǎn)A是直線[l]外一定點(diǎn)，點(diǎn)P是直線[l]上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是射線AP上的一點(diǎn)，且滿足[AP·AQ=k] （[k>0]且為常數(shù)），試探求點(diǎn)Q的軌跡。

思路：構(gòu)造等積式，得相似。

解：如圖13，過(guò)點(diǎn)A作[AH⊥l]，垂足為H，則AH為定長(zhǎng)，設(shè)[AH=a]。在射線AH上取點(diǎn)C，使[AC=ka]，則[AH·AC=k=AP·AQ]，易得△AHP ∽△AQC， 所以[∠AQC=∠AHP=90°]，所以點(diǎn)Q在以AC為直徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)（不包括點(diǎn)A）。

五、教學(xué)啟示

隨著新課標(biāo)的提出，“堅(jiān)持素養(yǎng)立意，凸顯育人導(dǎo)向”“適當(dāng)提高應(yīng)用性、探究性和綜合性試題的比例”等新要求在各地中考試卷中落地生根。這讓“機(jī)械刷題”的傳統(tǒng)做法越來(lái)越?jīng)]有“市場(chǎng)”?！巴ㄐ酝ǚā苯虒W(xué)，能讓學(xué)生更好地建構(gòu)具有連續(xù)性、關(guān)聯(lián)性、一致性的知識(shí)整體結(jié)構(gòu)；“拓展與延伸”教學(xué)則體現(xiàn)了知識(shí)在整體結(jié)構(gòu)中的生長(zhǎng)性。教師需領(lǐng)悟的是：不在一定結(jié)構(gòu)中“生長(zhǎng)”的碎片化知識(shí)，難以“組裝”成解決壓軸問(wèn)題的“強(qiáng)大武器”。

［?? 參?? 考?? 文?? 獻(xiàn)?? ］

[1]? 郭源源.“定角定積”尋軌跡 變換構(gòu)圖顯思路[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（11）：40-42.

[2]? 梁紹鴻.初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究：平面幾何［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2008.

（責(zé)任編輯??? 黃春香）

［基金項(xiàng)目］本文系廣東省教育研究院中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究專(zhuān)項(xiàng)課題“‘雙減背景下 AI賦能中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性的實(shí)踐研究”（立項(xiàng)編號(hào)：GDJY-2022-M-b60）研究成果。