李振林

［摘 要］中考試題具有較高的研究價值。文章通過一道中考題回歸教材，從教材中找到其母題并進行深度研究，以鞏固學生的基礎(chǔ)知識，讓學生掌握解決問題的通法，深刻領(lǐng)悟數(shù)學思想方法，從而提高學生的解題能力和思維能力。

［關(guān)鍵詞］回歸教材；思維；素養(yǎng)；中考題

［中圖分類號］??? G633.6??????? ［文獻標識碼］??? A??????? ［文章編號］??? 1674-6058（2024）14-0014-04

“回歸教材悟本質(zhì)，立足思維提素養(yǎng)”是一個非常重要的教學理念。“回歸教材悟本質(zhì)”是教學的基本要求，“立足思維提素養(yǎng)”是教學的核心目標。教育的本質(zhì)不僅僅是傳授知識與方法，更重要的是培養(yǎng)思維和提升素養(yǎng)。在教學中，教師不僅要關(guān)注學生對知識的獲得，更要關(guān)注學生的全面化、個性化發(fā)展，注重培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。

從2023年起，廣西實行全區(qū)中考統(tǒng)一命題，這在一定程度上引領(lǐng)著全區(qū)初中課堂教學的基本走向?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，以核心素養(yǎng)為導向，使學生獲得“四基”。通過分析近幾年廣西中考數(shù)學試題發(fā)現(xiàn)，“切線的性質(zhì)與判定”“利用直角三角形求線段的長度”的考查較為集中。因此，在中考復(fù)習中，筆者通過一道中考題回歸到教材的基礎(chǔ)知識點，再借助教材例題的示范，引導學生經(jīng)歷模仿、遷移、提高的過程，掌握相關(guān)知識點和解題方法。在通法的探究過程中，學生的“四能”得以提升，高階思維得到培養(yǎng)。下面筆者針對一道中考題進行探討。

一、例題講解之通法

通法是指適用解決一類或幾類問題的方法。通法教學注重培養(yǎng)學生的思維能力和解題能力。在教材例題的講解過程中強調(diào)通法，有利于學生掌握知識本質(zhì)。通過通法的學習，學生可以把握知識點間的關(guān)聯(lián)，看透問題的本質(zhì)，形成一般的解題策略，提升解決問題的能力。

［例1］（人教版九年級上冊第二十四章第24.2節(jié)例1）如圖1，△[ABC]為等腰三角形，[O]是底邊BC的中點，腰AB與⊙O相切于點D。求證：AC是⊙O的切線。

分析：要證明[AC]是⊙O的切線，根據(jù)切線的判定定理，由點O作AC的垂線段OE，只需要證明OE是[⊙O]的半徑，而已知點D為切點，連接OD就是[⊙O]的半徑，因此只需要證明[OE=OD]即可。

切線的性質(zhì)與判定是初中幾何的重要知識點，它涉及幾何和代數(shù)的基礎(chǔ)知識。在解決切線問題時，首先需要了解圓的基本性質(zhì)，如圓周角定理、垂徑定理等，這些知識是解決切線問題的基礎(chǔ)；其次需要理解切線的定義、性質(zhì)和判定定理；最后需要運用代數(shù)方法進行計算，這可能涉及解方程組、不等式的證明等。比如在求切線的長時需要利用勾股定理求第三邊；在證明切線的性質(zhì)時需要應(yīng)用代數(shù)方法進行推導。

［通法歸納］圓的切線的兩種證明思路：一是作垂直證半徑；二是連半徑證垂直。

［例2］（人教版九年級下冊第二十七章第27.2節(jié)例2）如圖2，Rt△[ABC]中，[∠C=90°]，[AB=10]，[AC=8]，E是AC上一點，[AE=5]，[ED⊥AB]，垂足為D。求AD的長。

分析：方法一，通過證明△AED與△ABC相似，求[AD=AC·AE]／[AB]；方法二，通過三角函數(shù)得[cos A=ADAE=ACAB]。

在中學階段，求線段長度常用的方法主要有：（1）勾股定理。適用于直角三角形，通過已知的兩邊求出第三邊的長度。（2）相似三角形的性質(zhì)。如果兩個三角形相似，那么它們的對應(yīng)邊的比例是常數(shù)，可以通過已知的一邊和比例來求其他邊的長度。（3）三角函數(shù)。對于銳角或直角三角形，可以使用三角函數(shù)來求邊的長度，以及使用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)或正切函數(shù)來求某一邊的長度。（4）等面積法。兩個三角形等底等高則面積相等或者同底等高則面積相等。求線段長度的方法多種多樣，通常需要結(jié)合具體的幾何圖形和已知條件來選擇和運用。

［通法歸納］求線段長度常用的方法有：找直角三角形依據(jù)勾股定理列方程、找相似三角形對應(yīng)線段成比例、利用等角或同角的三角函數(shù)值相等、應(yīng)用等面積法等。

二、聚焦中考之真題

［真題］（2023年廣西初中學業(yè)水平考試數(shù)學試題第23題）如圖3，PO平分∠APD，PA與⊙O相切于點A，延長AO交PD于點C，過點O作[OB⊥PD]，垂足為B。

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為4，[OC=5]，求PA的長。

分析：第（1）問：證切線。方法一，利用角平分線的性質(zhì)證明線段相等，存在的問題是運用角平分線的性質(zhì)進行證明時條件不全，缺少另一個垂直條件。方法二，利用三角形全等的性質(zhì)證明線段相等，存在的問題是全等三角形的判定方法不對，或條件不全，或角表達不對。

平時的訓練題型經(jīng)常以“連半徑證垂直”出現(xiàn)，而“作垂直證半徑”較少。第（1）問打破了長期以來的固化問題模式。為了應(yīng)對這樣的改變，學生就要把握證明切線的兩個條件“半徑”和“垂直”，以及兩個解題思路“連半徑證垂直”和“作垂直證半徑”。學生只有明確問題的本質(zhì)，才能避免思維定式，從而準確地解決問題，激活創(chuàng)新思維。

［通法歸納］證明切線的兩種思路；一是連半徑證垂直，二是作垂直證半徑。

第（2）問：求線段。方法一，利用勾股定理，存在的問題是默認[PA=PB]，或者把5當作AC的長度，從而導致算錯或列出帶根號的方程。方法二，利用相似三角形或銳角三角函數(shù)，存在的問題是找錯三角形，找△OBC和△OBP。方法三，等面積法。找△OPC或△APC。存在的問題是找錯△OPC的高。方法四，延長BO，交[⊙O]于點[E]，使[OE=OC]，證△OBC ≌△OAE，P、A、E三點共線，在Rt△PBE中用勾股定理。存在的問題是默認P、A、E三點共線。方法五，AC與⊙O相交于點F，連接BF，[∠OBF=∠BOP]，[BF∥PO]，利用平行線分線段成比例的性質(zhì)定理。存在的問題是圖中線段多，易混淆。

第（2）問是求線段的長度，解法、思路較多，可以多解類比化歸。常見的解題思路有兩種：一是用勾股定理找到其他兩邊，列出方程求解；二是通過四邊的比例求第三邊，通過角相等找相似三角形或者利用相等角的三角函數(shù)值相等。這兩個思路是解決此類問題的通法。當然，還可以打開思路，拓展思維，通過三角形的等面積法、構(gòu)造全等三角形、代換線段、平行線構(gòu)造相似等實現(xiàn)方法的遷移。多種方法的出現(xiàn)，有利于學生分析方法的優(yōu)缺點，對圖形的特點、解題的方法進行對比，再通過方法反思讓思維從發(fā)散到集中，最終形成解決問題的一般路徑，完善通法。

［通法歸納］求線段長度最高效的方法有兩種：一是找直角三角形依據(jù)勾股定理列方程；二是找相似三角形對應(yīng)線段成比例。

三、同質(zhì)問題之模仿

在幾何證明中，經(jīng)常會遇到一些相似的問題，這些問題具有相同的本質(zhì)和解題思路，可以通過類比模仿，輕松掌握解題方法。同質(zhì)問題的模仿，不僅可以幫助學生掌握解題方法，還可以幫助學生深入理解幾何定理和性質(zhì)。通過比較不同問題的解法，學生可以發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系和共性，從而更好地理解幾何知識的本質(zhì)，培養(yǎng)思維能力和創(chuàng)新能力。在解決相似問題時，需要從不同的角度來思考，探索更多的解題思路和方法，通過不斷嘗試和創(chuàng)新，可以逐漸培養(yǎng)思維的靈活性。

［問題］如圖4，在△ABC中，D是AC邊上一點，以AD為直徑的⊙O與邊BC相切于點E，且[AB=BE]。

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若[BE=3]，[BC=7]，求⊙O的半徑長。

分析：連接半徑OE，依據(jù)切線的性質(zhì)有90°，再連接BO，構(gòu)造全等三角形，從而通過“連半徑證垂直”解決切線問題。求圓的半徑時，可通過證明半徑所在的三角形為直角三角形，再用勾股定理求解；也可以通過半徑所在的三角形相似，用相似三角形的比例線段求解。

［通法歸納］求切線最常見的方法——“連半徑證垂直”。求線段長度可找直角三角形，用勾股定理求解或通過證三角形相似，用相似三角形的比例線段求解。

基于以上通法的學習，提供同質(zhì)問題的模仿題目，從已知條件、圖形的變化，讓學生感受到用通法成功解題的喜悅，進一步引發(fā)學生深度思考，加深學生對通法的理解，使學生掌握基本的解題技能。

四、變式問題之遷移

初中幾何證明題重在培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和空間想象能力。在幾何證明教學中，一些教師會給學生呈現(xiàn)一系列有梯度的例題和習題，讓學生去模仿，以掌握基本的幾何證明方法。這種教學會導致學生只會機械地套用公式和定理，而缺乏對幾何證明本質(zhì)的理解。因此，教師需要采用變式問題教學方法。

幾何證明的變式問題是指對原有問題進行一些變式，如改變條件、結(jié)論或圖形，從而形成新的問題。幾何證明的變式問題可分為三類：一是條件的變式。改變幾何圖形的已知條件，比如將等腰三角形變?yōu)榈妊苯侨切位虻冗吶切?；二是結(jié)論的變式。改變幾何圖形的結(jié)論，比如將求證兩角相等變?yōu)榍笞C兩線段相等或求證兩角的關(guān)系；三是圖形的變式。改變幾何圖形的形狀或位置，比如將平行四邊形變?yōu)榫匦位蛘叫巍?/p>

［問題］如圖5，AB與⊙O相切于點B，AO交⊙O于點C，AO的延長線交⊙O于點D，E是[BCD]上不與B、D重合的點，[∠A=30°]，點[F]在AB的延長線上，且[AF=2AB]。

（1）求證：DF與⊙O相切。

（2）若[OD=3] ，求DF的長。

分析：1.“連半徑證垂直”的變式，同樣是切線的證明，但涉及的知識點更多，知識點的聯(lián)系更豐富，有切線的性質(zhì)和判定、圓周角定理、等腰三角形和含30度角的直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的構(gòu)造等。常規(guī)解法是構(gòu)造三角形全等，證明90度角，進而得證垂直。通過線段的倍數(shù)關(guān)系，聯(lián)系中線的性質(zhì)，判定三角形為直角三角形，從而證明垂直。

2.“利用直角三角形求線段的長度”的變式，解題思路更廣，可以用勾股定理、三角函數(shù)、相似三角形，方法靈活多樣，知識點聯(lián)系密切，讓學生更熟悉解題思路，鞏固解題通法，實現(xiàn)思維優(yōu)化。

五、綜合問題之解決

數(shù)學綜合問題的解決往往需要綜合運用數(shù)學概念、解題技巧和解題經(jīng)驗。因此，教師要確保學生對數(shù)學基礎(chǔ)知識的扎實掌握，要加強學生的思維訓練，使學生學會找出問題的關(guān)鍵信息，識別所關(guān)聯(lián)的知識點，構(gòu)建清晰的解題思路，找到解題的方法。

［例1］如圖6，在⊙O外有一定點P，過點P作一條直線與⊙O相切，并證明所作直線是⊙O的切線。（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）

分析：如圖7，連接[OP]，作線段OP的中點A，以A為圓心，以AO為半徑作⊙A，與⊙O交于Q和R兩點，連接PQ、PR、OQ、OR，則∠OQP和∠ORP為直角。依據(jù)切線的判定定理，直線PQ、PR分別是⊙O的切線。直徑對應(yīng)的圓周角為直角，作以O(shè)P為直徑的圓，那么兩圓的交點就是過點P的直線與⊙O相切時的切點。

［通法歸納］“連半徑證垂直”的變式遷移，題型變?yōu)樽鲌D證明題，構(gòu)造直徑所對的圓周角是直角，關(guān)鍵是找到圓心。

［例2］如圖8，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠CAB的平分線交BC于點D，交⊙O于點E，連接EB，作∠BEF=∠CAE，交AB的延長線于點F。

（1）求證：EF是⊙O的切線。

（2）若[BF=10]，[EF=20]，求AD的長。

分析：第（1）問是“連半徑證垂直”通法的鞏固提升，通過角的代換證明[∠OEF=90°]。第（2）問中存在的數(shù)量關(guān)系較多，應(yīng)從復(fù)雜的圖形中捕捉到基本圖形，把握相關(guān)知識點：圓的基本性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的性質(zhì)和判定、等角的三角函數(shù)。通過證明△BEF與△EAF相似，先求出[AF=40]，[AB=30]；再通過在Rt△ABE中用勾股定理求線段BE、AE；接著用同角或等角的三角函數(shù)或相似關(guān)系，求出線段DE；最后求線段[AD=AE-DE]。

［通法歸納］線段AD所在的三角形不是直角三角形，不能直接求，可轉(zhuǎn)換成直角三角形的邊，間接求。

六、教學回顧之啟示

（一）回歸教材悟本質(zhì)

2023年廣西初中學業(yè)水平考試是《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》頒布和“雙減”實施后的第一次學業(yè)水平考試，有很多試題來源于教材中的例題和習題。在今后的教學中，教師要深度挖掘教材的例題、習題的知識網(wǎng)絡(luò)關(guān)系，注重例題研究，引導學生對教材的習題進行由淺入深的剖析、變式。一個基礎(chǔ)知識點的掌握，可以通過多層次的例題、真題以及同質(zhì)問題、變式問題和綜合問題來實現(xiàn)。教師可通過對問題涉及的知識點進行整理關(guān)聯(lián)，構(gòu)成知識體系，再將問題涉及的方法進行歸納總結(jié)，形成解題通法，最后將問題涉及的思想進行提煉推廣，提升學生的數(shù)學思維品質(zhì)，實現(xiàn)學生思維的高階發(fā)展。

（二）立足思維提素養(yǎng)

讓學生經(jīng)歷一題多解、多解歸一的探索過程，形成解題的通法、模型，逐步把握問題的本質(zhì)，通過思維訓練，明確解題思路，掌握解題方法。解題教學不僅要講解法、通法，還要讓學生掌握解決同類問題的方法，達到“做一題、會一類、通一片”的學習效果。學生思維品質(zhì)的提升不是一朝一夕就可以完成的，在以后的教學中教師應(yīng)當加強通法教學，培養(yǎng)學生的思維能力和數(shù)學核心素養(yǎng)。

綜上可知，在踐行“回歸教材悟本質(zhì)，立足思維提素養(yǎng)”教育理念的過程中，教師要注重引導學生認真閱讀教材，理解教材的本質(zhì)內(nèi)容，同時注重培養(yǎng)學生的思維能力，提高學生的綜合素養(yǎng)，為學生未來的發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。另外，教師要不斷探索新的教學理念和方法，緊跟時代步伐，為學生提供更加優(yōu)質(zhì)、高效的教育服務(wù)。

［?? 參?? 考?? 文?? 獻?? ］

[1]? 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]? 朱杰，易良斌.依據(jù)課程標準命題 指向核心素養(yǎng)評價：2022年浙江省初中數(shù)學學業(yè)考試部分地區(qū)試題評析[J].中學數(shù)學教學，2023（3）：66-70.

[3]? 張春莉，李思奇.試論基于學業(yè)質(zhì)量標準的考試評價[J].湖北教育（教育教學），2023（5）：5-7.

[4]? 陳殿光.基于信息化的初中數(shù)學“四基”教學實踐研究[D].上海：上海師范大學，2017.

（責任編輯??? 黃春香）