徐英姿

［摘 要］文章通過梳理教材，發(fā)現(xiàn)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中的常見工具——計數(shù)棒，并分析學生的學習起點，把握學生的認知水平，充分利用計數(shù)棒設(shè)計課堂教學內(nèi)容，讓課堂教學更精準，讓學生理解算理更深刻，使學生的計算素養(yǎng)得以提升。

［關(guān)鍵詞］計數(shù)棒；算理；算法；數(shù)與代數(shù)

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）14-0046-04

計算不能只是簡單的會算和算對，還需要懂得怎么算和這樣算的道理。筆者借助計數(shù)棒展開課堂教學研究，幫助學生在準確掌握算法的同時深化對算理的理解。

一、理一理：提煉算理的新內(nèi)涵

算理不能憑空想象，需要借助某種介質(zhì)進行解釋，找到算理的新內(nèi)涵。

（一）梳理——理解內(nèi)容編排意圖

計數(shù)棒在計算起始課程中被多次呈現(xiàn)（如圖1）。

計數(shù)棒在計算教學中是一個良好的媒介。教材中，計數(shù)棒在不同地方的呈現(xiàn)形式不同，代表的意義也不同，有時代表分，有時代表合。不過，教材使用計數(shù)棒的作用是一樣的，即能清晰地呈現(xiàn)計算的每個步驟，展現(xiàn)每個步驟的算理，從而總結(jié)出算法。由此可見，運用計數(shù)棒能夠促進算理和算法的互通，實現(xiàn)理法共贏。

（二）整理——把握知識內(nèi)在聯(lián)系

捕捉學生的現(xiàn)實起點，了解學生當前的知識儲備和能力儲備（如圖2），可以更好地開展算理教學，加大教學力度。

在知識儲備方面，學生已經(jīng)了解了四則運算的概念，明確了加是合起來，減是分出去，乘代表幾個幾，除代表平均分，并懂得了計算的基本規(guī)律，即運算法則。在能力儲備方面，學生已經(jīng)具備了基本的四則運算能力，能輕松地進行口算和筆算，同時能自主操作小棒。

（三）清理——把握學生思維梯度

中段學生的認知發(fā)展水平正在由具體形象階段過渡到抽象運算階段。中段學生雖然已經(jīng)具備了一定的認知能力和抽象思維能力，但在學習過程中仍需借助直觀形象的圖示輔助消化。教師要關(guān)注中段學生的認知發(fā)展現(xiàn)狀，了解學生現(xiàn)階段的思維梯度，從而設(shè)計適合學生的教學內(nèi)容（如圖3），讓學生既會算，又能理解其中的算理。

二、精一精：探索算理教學的新路徑

在課堂教學中運用計數(shù)棒，能讓學生初步感知算理、理解算理，并簡單運用算理。

（一）精準——定制算理課堂，深度融合

教師在課堂教學中運用計數(shù)棒解釋算理，能使計算教學課堂充滿活力，呈現(xiàn)動態(tài)的美感。

1.以“動”替“靜”：在課件動態(tài)中具象呈現(xiàn)

在課件中利用計數(shù)棒將計算過程中的抽象算理動態(tài)地呈現(xiàn)出來，能將抽象的算理變得具象化（如圖4）。

教學除法時，利用課件動態(tài)播放“42÷2”對應(yīng)的計數(shù)棒的分法，能清晰地呈現(xiàn)計算“42÷2”的過程，讓學生清楚地感知除法的算理。分小棒的過程其實就是列豎式的過程，動態(tài)展示豎式計算的實際過程，能使學生形象地理解每個步驟的算理并內(nèi)化。

2.以“合”替“散”：在微課整合中高效融入

微課能在相對較短的時間內(nèi)融入更多的算理知識，豐富解釋算理，從而使課堂更高效。教師可以將多個有關(guān)算理的散狀知識點進行整合并制作成微課（如圖5）。

在微課中借助計數(shù)棒，用直觀的動畫和簡潔的語言快速地解釋算理。計數(shù)棒的應(yīng)用覆蓋面廣，如多位數(shù)乘一位數(shù)和多位數(shù)除以一位數(shù)等，都可以利用計數(shù)棒來展示分與合的過程，直觀地呈現(xiàn)其中蘊含的算理。

（二）精妙——定制解題思路，深度理解

計數(shù)棒與算式的結(jié)合是理解算理和掌握算法的關(guān)鍵。那么，如何將計數(shù)棒和算式結(jié)合起來呢？定制一套實用的圖式模板，將圖與式巧妙地結(jié)合起來，可以完美有效地溝通算理和算法，從而讓學生充分理解算理，掌握算法。

1.先圖后式——明理型

當一道算式既可以口算，又可以筆算時，教師可以先畫出正確的計數(shù)棒示意圖，再呈現(xiàn)大家都能看懂的數(shù)學語言——算式（如圖6），讓學生清晰明確地認識算理。

先圖后式的方法比較適合將抽象的算式具象化。在理解算理的過程中，學生需要先借助圖的幫忙，分析清楚計算步驟的來龍去脈，再列出相應(yīng)的口算式子，從而看明白最根本的算理，掌握算法。上述案例中，口算和筆算共進，在解決“14×3”時，用一幅計數(shù)棒圖，就既能解釋口算過程，又能解釋筆算過程，一圖多效，使學生對算理的理解更深刻。

2.先式后圖——驗證型

解釋算理時可以先用式子分步進行解釋，再利用計數(shù)棒驗證算理，即先式后圖（如圖7）。與先圖后式相比，先式后圖用逆向的解題思路引導學生進行學習，使學生更透徹地理解算理。

對于相對簡單的除法算式，很多學生會采用口算的思路進行理解，這時可以利用計數(shù)棒驗證口算思路中的算理。計數(shù)棒的驗證是與分步式子配套的，圖和算式完美契合，在驗證的同時能讓學生更深刻地理解算理。

三、拓一拓：增強算理的時效性

計數(shù)棒還可以應(yīng)用于運算律和計算規(guī)律等的算理理解和算法掌握中，從而拓寬學生的思路，完善評價體系。

（一）拓寬——承上啟下，激增動力

1.拓板塊，廣方法

在運算律中利用計數(shù)棒來解釋其道理（如圖8），能讓學生對算理的理解更透徹，在高段學習更難的算理時就可以得心應(yīng)手。

上述案例中，根據(jù)計數(shù)棒的擺法可知，3個12的和加上3個8的和，與3個12加8的和相等。這就說明了乘法分配律的內(nèi)涵。學生通過直觀形象的計數(shù)棒，深刻理解了乘法分配律的內(nèi)涵，靈活掌握了乘法分配律的運用技巧，從而在遇到類似的計算時能快速地遷移知識解題。

2.寬領(lǐng)域，深推理

計數(shù)棒還能用于推理和驗證一些計算規(guī)律。比如研究數(shù)的倍數(shù)特征時，很多學生都知道2，3，4，5等數(shù)的倍數(shù)特征，但是并不知道其中的道理。教師可以借助計數(shù)棒來進行推理（如圖9）。

用計數(shù)棒能形象生動地展現(xiàn)出數(shù)的倍數(shù)特征，讓學生吃透其中的精髓，形成深刻的記憶。當要驗證16，42等數(shù)是否為3的倍數(shù)時，學生就能靈活又準確地進行判斷。驗證更大的數(shù)，如100，200等數(shù)是否為3的倍數(shù)時，學生也能快速地解決。如此，學生便獲得了可生長的知識。

（二）拓聯(lián)——內(nèi)外兼修，激發(fā)毅力

教師可以引導學生利用計數(shù)棒將算理內(nèi)化成解題的思想，形成個性化解題思維，進而遷移應(yīng)用到其他方面。

1.拓“內(nèi)部”思維，舉一反三

對算理的理解本身就是一種計算思維的體現(xiàn)，學生在學會了用計數(shù)棒表示算理的同時，也要運用類比推理，舉一反三，用點子圖來表示算理（如圖10-1、圖10-2），將算理融會貫通。

點子圖常用于理解多位數(shù)乘多位數(shù)的豎式，學生經(jīng)過用計數(shù)棒理解算理后，看到點子圖時就能輕松理解，并能運用數(shù)形結(jié)合的思想，在點子圖中圈一圈、標一標類推算理。數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學中十分重要的數(shù)學思想方法，在運用之前更需要具備圖式轉(zhuǎn)碼的能力。在深刻理解算理后，學生就能將這種思想方法內(nèi)化為自身的技能，在以后解題答題時自然地運用。

2.聯(lián)“外部”評價，形成素養(yǎng)

教師用擺一擺、畫一畫等方式靈活演繹算理，并對算理的理解進行評價（如圖11），讓算理成為學生自身的計算素養(yǎng)。

在演繹算理時，通過畫計數(shù)棒來解釋“35×2”這個算式的過程，學生就變成了實踐者。片段2中，結(jié)合課內(nèi)外探究不同的計算方法，教師用不同的計數(shù)棒來呈現(xiàn)，做到了理法之間的融會貫通。借助計數(shù)棒，教師引導學生順其自然地寫出“30×2”和“5×2”兩個算式，學生從簡單的圖中清楚地看到計算過程。同時，對學生的實踐做出簡要的評價，能引起學生對算理的重視。

（三）拓展——明理知法，激發(fā)活力

跳出常規(guī)的算理運用范圍，教師可以將算式和算理結(jié)合，給予它豐富多樣的情境，使原本枯燥的算理理解變得生動活潑。此外，將算理運用到其他難度更大的式子中，擺脫計數(shù)棒，運用圖形的面積等來詮釋算理，能使數(shù)形結(jié)合更精彩。

1.拓情境，有“生”有“色”

創(chuàng)建適合圖、式子的文字情境關(guān)系，將原本沒有色彩的算理，在情境的加持下變得五彩繽紛，富有生機。比如“10×11”，這個算式本身只有計數(shù)棒和分步式子能賦予它意義，但是加上相應(yīng)的情境以后，它的內(nèi)涵會更豐富。

其實看計數(shù)棒編情境有點類似語文的看圖說話，只不過這幅圖是呈現(xiàn)算理的計數(shù)棒，需要看懂的是計數(shù)棒中藏著的算理是幾個幾，如此才能編情境，否則就會出現(xiàn)文不對題的情況。同一個乘法算式“10×11”，既可以看成是10個11，也可以看成是11個10，因此需要借助計數(shù)棒來闡述算理。從不同的角度看待問題，所編出的情境自然就不同，這樣可以練就更高一層的算理理解能力。

2.展運用，有“形”有“數(shù)”

其實除了在加減乘除的計算中需要理解算理，很多數(shù)學題的理解方法都和算理密不可分。比如在解釋完全平方公式的時候，教師往往會將數(shù)與形結(jié)合起來，讓學生從圖中展望算理，記憶公式（如圖13）。

用圖形的面積來解釋算理，是不脫離算理本質(zhì)，在形中找到數(shù)的“影子”，用算理與圖形結(jié)合的方式來解釋公式。從圖形到算理到公式，算理成為兩者的聯(lián)系。

升級算理的運用，改變只能用點子圖、計數(shù)棒來表示加減乘除的基本含義的模式，增加了用圖形面積來明確公式中的算理的方法，延伸算理的真正內(nèi)涵，獲得了解決計算問題的多種新方法。

總之，在小學數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中利用計數(shù)棒來進行教學，能把算理清晰地呈現(xiàn)出來，從而使學生掌握算法，提高計算能力。

（責編 吳美玲）