李玲

探究式教學是數(shù)學新課標中提出的一項新的教學模式，它重視學生的主體地位，注重師生之間的互動，在數(shù)字化賦能模式下其優(yōu)勢更為明顯，能為學生帶來更加豐富的學習體驗。本文借助數(shù)字化教育技術(shù)工具開展“圓與圓的位置關(guān)系”教學，旨在讓學生主動探究，學會學習。

一、教材分析

“圓與圓的位置關(guān)系”是人教A版（2019）選擇性必修第一冊第二章“直線和圓的方程”中的內(nèi)容，是學習直線和圓的方程中最為基礎(chǔ)和重要的部分。圓與圓的位置關(guān)系是點與圓、直線與圓的位置關(guān)系的延伸，是學生學習幾何知識和解析幾何的重要基礎(chǔ)。

二、數(shù)字化賦能下探究教學的意義

教師通過數(shù)字化信息技術(shù)工具實現(xiàn)高中數(shù)學探究教學實踐，不僅可以培養(yǎng)學生的數(shù)學興趣，促進學生數(shù)學建模能力的發(fā)展，而且可以促進學生信息素養(yǎng)的培養(yǎng)。引入數(shù)字化高中數(shù)學智能課程可以為學生帶來具體的、實用的學習體驗，吸引學生主動參與數(shù)學探究活動。所以，數(shù)字化賦能下的高中數(shù)學探究教學可以很好地滿足當代高中生的學習發(fā)展需要，有助于學生主動探索數(shù)學知識并掌握課堂知識。

三、教學過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，導入新課

1.動畫情境，激趣引入

師：同學們，大家都知道日環(huán)食吧?，F(xiàn)在，如果我們從數(shù)學的角度把太陽和月亮看作是兩個圓，那么通過月亮和太陽的運動，就形成了兩個圓與圓的位置關(guān)系。

（通過微視頻呈現(xiàn)日環(huán)食的全過程，以及圓與圓的位置關(guān)系圖形，如圖1所示。）

（設(shè)計意圖：用日環(huán)食這一天文現(xiàn)象激發(fā)學生對新知主動探索的興趣。用數(shù)字化短視頻將日環(huán)食圖文并茂地呈現(xiàn)在學生面前，可以觸發(fā)學生的視覺感受，再通過情境的轉(zhuǎn)化導入新知，這樣學習效果更佳。）

2.逐層演示，揭示概念

師：大家仔細觀察微視頻中兩個圓運動變化產(chǎn)生的位置關(guān)系。

（正常速度播放微視頻）

生1：兩個圓慢慢靠近但還沒有接觸之前，它們屬于外離關(guān)系。

生2：當圓與圓接觸，它們只有一個交點時，這兩個圓屬于外切關(guān)系。

生3：當兩個圓有兩個交點時，這兩個圓屬于相交關(guān)系。

生4：當小圓徹底融入大圓，有且只有一個交點時，兩圓關(guān)系屬于內(nèi)切。

生5：當小圓徹底融入大圓中且沒有交點時，兩圓內(nèi)含。

師：大家看一下兩個圓運動時的動作回放。

（用微視頻慢播放呈現(xiàn)五種位置關(guān)系，如圖2所示。）

（設(shè)計意圖：通過微視頻讓學生進行自主觀察、探索并得出圓與圓的五種位置關(guān)系、五種位置關(guān)系的特點性質(zhì)，讓學生逐步構(gòu)建知識體系。）■

圖2

（二）探究本質(zhì)，得出新知

探究一：圓與圓位置關(guān)系的判定

師：通過前面的學習，我們?nèi)绾闻卸▓A與圓的位置關(guān)系是外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含呢？

生1：觀察兩個圓之間是否有交點，如果沒有交點，那就是外離或者內(nèi)含；如果有交點，那就是外切、相交或內(nèi)切。

師：外離、內(nèi)含該如何判定？外切、相交、內(nèi)切又該如何判定？我們能否通過數(shù)量關(guān)系來判斷位置關(guān)系呢？

生2：我們可以通過兩個圓的圓心距和半徑來判定。如果圓心距大于兩個圓的半徑之和，那么兩圓外離；如果圓心距等于兩個圓的半徑之和，那么兩圓外切；如果圓心距小于兩圓半徑之和那么兩圓相交、內(nèi)切或內(nèi)含。

師：那么又出現(xiàn)了一個新的問題，圓心距小于半徑之和時又該怎樣判斷兩圓是相交、內(nèi)切還是內(nèi)含呢？下面我們一起探索影響圓與圓位置關(guān)系的數(shù)量因素。出示用代數(shù)的方法來判斷圓與圓的位置關(guān)系的圖表（見表1）：

師：假設(shè)兩個圓C1和C2的半徑分別為r1、r2，圓心距為d，那么兩個圓的位置關(guān)系如表2所示。

（設(shè)計意圖：通過教師提問學生探究，教師再提問學生再探究的方式，激發(fā)學生主動探究的積極性。學生在探究過程中發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題并獲得自主學習能力的提升。）

探究二：習題訓練，強化鞏固

師：將兩個相交的圓的方程x2+y2+Dix+Eix+Fi=0（i=1，2）相減，可以得到一條直線方程，那么這條直線方程具有什么特殊性？

生：兩圓相減得到一條直線方程，那么它會經(jīng)過兩個圓的交點，所以該直線為兩圓公共弦所在的直線。

（設(shè)計意圖：通過練習題拓展學生思維，讓學生轉(zhuǎn)換思維，形成舉一反三的能力，達到學以致用的目的。）

（三）內(nèi)化鞏固，拓展探究

1.判一判

師：圓是軸對稱圖形，那么兩個圓共同組成的圖形也是軸對稱圖形嗎？

生1：是的，它們的對稱軸就是兩個圓圓心的連線。

師：經(jīng)過兩個圓心的線稱為連心線，兩個圓心間線段的長度為圓心距。

師：如果兩個圓相切，那么切點與連接線的位置關(guān)系如何？

（讓學生畫一畫）

生2：切點會在這條連接線上。

師：非常正確，所以我們得到了“如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上”這一數(shù)學性質(zhì)。

（設(shè)計意圖：學生通過判斷、動手、動腦獲得正確答案，這樣既可以鍛煉學生自主解決問題的能力，又可以提高學生的邏輯思維能力。）

2.玩一玩

教師設(shè)計課堂游戲競賽，將班組學生分成若干小組，每小組由兩人組成，各成員要相互配合，確定所得答案的正確性及解題過程及步驟的規(guī)范性。分組時采用“幫帶”原則，按照“組內(nèi)異質(zhì)，組間同質(zhì)”分配小組，保證每個小組都能水平相當、能力相近、公平競爭。

具體設(shè)計如下：先用多媒體呈現(xiàn)例題，得到例題之后每個小組有5分鐘的時間來解答，解答完成之后直接讓學生提交。計算機通過大數(shù)據(jù)處理對提交的答案給予判定。哪一組提交的答案既快又準確，給哪一組加一分。一共設(shè)置例題5道，滿分5分，用時25分鐘。

（設(shè)計意圖：一是通過例題對課堂所講知識進行強化和鞏固；二是借助數(shù)字化信息技術(shù)工具組織課堂游戲，讓課堂變得生動有趣；三是通過科學合理分組探究，幫助全班學生共同進步。）

3.練一練

師：前面我們學習了兩圓不相等情況下的位置關(guān)系，如果兩圓半徑相等，兩個圓的位置關(guān)系會有幾種？

生1：（學生自主畫圖）四種：外離、外切、相交、重合，因為兩圓半徑相同時它們內(nèi)切和內(nèi)含時會重合。

（教師用多媒體進行動畫展示）

（設(shè)計意圖：讓學生觸類旁通，用常規(guī)方法解決個別問題。）

師：如果兩圓是內(nèi)含關(guān)系，兩圓的圓心在同一個位置上（圓心重合），那么圓心距為多少？

生2：圓心距為0。

（多媒體展示圖形）

（設(shè)計意圖：設(shè)計這種探究類問題，主要是為了讓學生掌握特殊情況下的特殊條件，避免出現(xiàn)忽視條件而結(jié)題的錯誤。）

師：如果兩個圓的半徑為5+t和5-t（0＜t＜5），圓心距為2t，那么兩圓的位置關(guān)系是怎樣的？

生3：如果圓心距為2t，那么2t=（5+t）-（5-t），所以兩圓為內(nèi)切關(guān)系。

（設(shè)計意圖：從已知圓心距來求兩個圓的位置關(guān)系，用反向思維來推斷確定位置關(guān)系，解題效率更快。）

師：兩圓外切時圓心距為12，內(nèi)切時圓心距為4，求這兩個圓的半徑分別為多少。

生4：假設(shè)兩個圓的半徑分別為r1、r2則：

外切時圓心距為r1+r2=12.............A

內(nèi)切時圓心距為r1-r2=4................B

A+B=2r1=16，所以，r1=8，r2=4.

因此，這兩個圓的半徑分別為8和4。

（設(shè)計意圖：如果學生的思維只停留在前兩部分，那么將很難得到解。這一練習題型的設(shè)計不僅是對前兩個題型的鞏固和延伸，還是對學生思維轉(zhuǎn)化能力的鍛煉。）

（四）課堂總結(jié)，完善認識

本節(jié)課我們學習了圓與圓的五種位置關(guān)系，以及每個位置關(guān)系的判定方式，借助數(shù)字化信息技術(shù)工具組織了一系列課堂探究活動；并對通過相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系來判定圓與圓的位置關(guān)系，做了一些較為基礎(chǔ)的練習題，旨在加強學生對本節(jié)基礎(chǔ)知識的掌握，為以后的學習奠定了基礎(chǔ)。

四、教學反思

優(yōu)點：本課以深度學習為理論基礎(chǔ)，以現(xiàn)代信息技術(shù)工具為課堂輔助，以問題為導向，以學生自主探究為主要方式，注重在實踐中應(yīng)用、在應(yīng)用中強化，構(gòu)建了數(shù)字化賦能下的高效高中數(shù)學課堂教學設(shè)計，讓學生能在“真實”的學習情境中通過自主探究、合作探究等方式深入了解了圓與圓的位置關(guān)系，并能運用理論知識解決實際問題。

不足：在課時設(shè)計上留給學生自主探究和發(fā)現(xiàn)的時間太少。為減輕學生課后學習的壓力，教師應(yīng)充分利用好數(shù)字化工具，以提高課堂教學容量和效率，給學生更多的課余時間去完成一些具有探索性的數(shù)學學習任務(wù)。

（作者單位：山西省太原市晉陽街山西省實驗中學）

編輯：蔚慧敏