姚沁依

摘要：函數(shù)主要是研究?jī)蓚€(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以通過解析式法、列表法和圖象法進(jìn)行研究，從這個(gè)角度入手，二次函數(shù)的學(xué)習(xí)只要牢記表達(dá)式，記住一些特殊點(diǎn)、特殊直線，學(xué)會(huì)畫函數(shù)圖象，會(huì)求函數(shù)表達(dá)式，即掌握了二次函數(shù)學(xué)習(xí)方法.本文中從正確認(rèn)識(shí)二次函數(shù)入手，進(jìn)而在二次函數(shù)解題技巧中一步步理解概念，掌握學(xué)習(xí)方法.

關(guān)鍵詞：中學(xué)生；學(xué)習(xí)方法；二次函數(shù)

新課標(biāo)提出核心理念“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，并要求將“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”和“數(shù)學(xué)教學(xué)”合成一體，實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一，發(fā)揮學(xué)生的主體性，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.

在中考中，二次函數(shù)知識(shí)所占比重較大，約為25%～40%，很多壓軸題都是圍繞二次函數(shù)出題，而且二次函數(shù)的專題較多，如相似三角形的存在性問題、最值問題、等腰三角形的存在性問題等.對(duì)于初中生而言，二次函數(shù)具有一定的抽象性，學(xué)習(xí)難度偏大，常常感到困惑和無(wú)從下手.再加上很多教師不太注重概念的講解，對(duì)概念學(xué)習(xí)一帶而過，未做深入剖析，導(dǎo)致學(xué)生極易出現(xiàn)概念理解不深刻、死記硬背、解題正確率偏低的情況.在這種情況下，學(xué)生需要進(jìn)一步掌握二次函數(shù)的學(xué)習(xí)方法，改變思維，提高對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，深入理解二次函數(shù)的基本概念、形式等內(nèi)容，發(fā)展數(shù)形結(jié)合能力.

1 正確認(rèn)識(shí)二次函數(shù)

根據(jù)二次函數(shù)的三種解析式全面正確地認(rèn)識(shí)二次函數(shù).

1.1 一般式

二次函數(shù)的一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）.

對(duì)稱軸：直線x=-b2a.

頂點(diǎn)坐標(biāo)：-b2a，4ac-b24a.

開口方向和最大值、最小值：a>0時(shí)，開口向上，函數(shù)值y在對(duì)稱軸處取最小值4ac-b24a；a<0時(shí)，開口向下，函數(shù)值y在對(duì)稱軸處取最大值4ac-b24a.

1.2 頂點(diǎn)式

二次函數(shù)的頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k（a≠0）.

需要注意的是，頂點(diǎn)式需要明確頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k）或者已知對(duì)稱軸時(shí)才可以應(yīng)用.此外，要求學(xué)生會(huì)將一般式利用配方法進(jìn)行配方，然后得到頂點(diǎn)式.

對(duì)稱軸：直線x=h.

頂點(diǎn)坐標(biāo)：（h，k）.

開口方向和最大值、最小值：a>0時(shí)，開口向上，函數(shù)值y在對(duì)稱軸處取最小值k；a<0時(shí)，開口向下，函數(shù)值y在對(duì)稱軸處取最大值k.

1.3 交點(diǎn)式

二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0，且x1，x2為常數(shù)）.

這里x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，已知拋物線和x軸的交點(diǎn)及拋物線上另一點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，通常先將函數(shù)解析式設(shè)為y=a（x-x1）（x-x2），然后將另一點(diǎn)坐標(biāo)代入求出待定系數(shù)a.

對(duì)稱軸：直線x=x1+x22.

頂點(diǎn)坐標(biāo)：x1+x22，-a（x1-x2）24.

開口方向和最大值、最小值：a>0時(shí)，開口向上，函數(shù)值y在對(duì)稱軸處取最小值-a（x1-x2）24；a<0時(shí)，開口向下，函數(shù)值y在對(duì)稱軸處取最大值-a（x1-x2）24.

2 二次函數(shù)解題技巧

2.1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，對(duì)學(xué)生形成基本數(shù)學(xué)思想具有良好推動(dòng)效果.盡管這是解題的關(guān)鍵，但是不能死記硬背，而應(yīng)利用觀察法、比較法，根據(jù)圖象研究其性質(zhì)，并分析不同圖象之間的關(guān)系.對(duì)于二次函數(shù)，首先要求能夠熟練畫出函數(shù)圖象，其次是了解頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、開口方向及增減性.

畫二次函數(shù)圖象時(shí)，首先運(yùn)

用配方法將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，明確圖象開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)利用對(duì)稱性和描點(diǎn)的方式畫出y=ax2+bx+c的草圖.畫圖時(shí)要抓住五個(gè)要點(diǎn)：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、與x軸交點(diǎn)、與y軸交點(diǎn).但是實(shí)際上，這個(gè)“五要點(diǎn)法”在解題過程中沒有太大作用.如何正確畫出二次函數(shù)的圖象才有用？這就需要先了解二次函數(shù)表達(dá)式中a，b，c和拋物線之間的關(guān)系.

在二次函數(shù)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向與開口大小.

（1）a>0時(shí)，拋物線開口向上（與y軸正向一致）.

（2）a<0時(shí)，拋物線開口向下（與y軸負(fù)向一致）.

（3）|a|越大，拋物線開口越小.

（4）|a|越小，拋物線開口越大.

系數(shù)a與b共同決定對(duì)稱軸的位置，簡(jiǎn)稱為“同左異右”，b=0時(shí)對(duì)稱軸為y軸.

系數(shù)c決定拋物線與y軸的交點(diǎn).

解題時(shí)，求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合a，b的取值范圍就可以畫出對(duì)解題有幫助的函數(shù)圖象.

例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為C（0，2），直線DB交y軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)P（43，-6）.求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo).

解：畫出草圖，如圖1所示.

因?yàn)閽佄锞€頂點(diǎn)為C（0，2），所以

設(shè)拋物線解析式為y=ax2+2（a≠0）.

由點(diǎn)P（43，-6）在拋物線上，得

a（43）2+2=-6，解得a=-16.

所以，拋物線的解析式為

y=-16x2+2.

令y=0，得-16x2+2=0，解得

x1=-23，x2=23.

所以點(diǎn)A（-23，0），B（23，0）.

設(shè)直線DP解析式為y=kx+b，則有

23k+b=0，43k+b=-6，解得k=-3，b=6.

所以直線DP的解析式為y=-3x+6，令x=0，則y=6.

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，6）.

2.2 二次函數(shù)的應(yīng)用

在二次函數(shù)解析式的求解中，待定系數(shù)法是必考點(diǎn)，一般可分為四個(gè)小步驟：（1）設(shè)解析式，（2）找點(diǎn)坐標(biāo)，（3）代入解析式解方程，（4）還原.

由于二次函數(shù)解析式有三種形式，因此設(shè)解析式時(shí)需要注意，已知頂點(diǎn)可設(shè)頂點(diǎn)式，已知與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)設(shè)交點(diǎn)式，其余情況設(shè)一般式.如果不能理解這四個(gè)步驟，解題就會(huì)漫無(wú)目的，必定“山重水復(fù)疑無(wú)路”；如果能夠理解這四點(diǎn)，就可以熟練應(yīng)用，思路也越來(lái)越清晰，必定“柳暗花明又一村”.

例2王經(jīng)理到老李的果園內(nèi)一次性采購(gòu)蘋果，倆人商量：王經(jīng)理的采購(gòu)價(jià)y（單位：元/t）和采購(gòu)量x（單位：t）之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2中折線段ABC所示（不包含端點(diǎn)A，但是包含端點(diǎn)C）.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）已知老李種植蘋果的成本是2 800元/t，那么王經(jīng)理的采購(gòu)量是多少時(shí)，老李在這次買賣中所獲利潤(rùn)w最大？最大為多少？

解：（1）根據(jù)圖象可知，當(dāng)0＜x≤20時(shí)，y=8 000.

當(dāng)20

將B（20，8 000），C（40，4 000）代入y=kx+b，得

8 000=20k+b，4 000=40k+b，

解得k=-200，b=12 000，則y=-200x+12 000.

所以y=8 000（0＜x≤20），

-200x+12 000（20

（2）根據(jù)以上解析式式以及老李種植蘋果的成本為2 800元/t，當(dāng)20＜x≤40時(shí)，

w=（-200x+12 000-28 00）x

=-200x2+9 200x

=-200（x-23）2+105 8000，

當(dāng)x=23時(shí)，w最大=105 800（元）.

故王經(jīng)理的采購(gòu)量為23 t時(shí)，老李在這次買賣中所獲利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為105 800元.

反思：這道題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，首先結(jié)合圖象分段求出解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)解析式求最值.

總之，在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，需要先了解二次函數(shù)的概念與性質(zhì)，掌握定義、圖象、頂點(diǎn)、軸對(duì)稱等，學(xué)會(huì)觀察圖象和利用方程來(lái)解題.

參考文獻(xiàn)：

牛徐進(jìn).六步法提升初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)圖像的有效教學(xué).科學(xué)咨詢（教育科研），2021（2）：276277.