摘要：壓縮感知磁共振成像旨在利用觀測的欠采樣k空間數(shù)據(jù)重建原始的磁共振圖像。近些年，在該圖像重建任務(wù)中，展開算法引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。然而，現(xiàn)有展開算法仍然存在重建質(zhì)量較低的問題。此外，由于先驗網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，設(shè)計的先驗網(wǎng)絡(luò)通常缺乏模型架構(gòu)可解釋性，因此證明先驗網(wǎng)絡(luò)滿足展開算法的收斂條件，例如Lipschitz條件，是具有挑戰(zhàn)性的。為解決這些問題，本文提出一種可顯式證明的梯度網(wǎng)絡(luò)，證明了其滿足Lipschitz條件，并分析了基于該梯度網(wǎng)絡(luò)的展開算法的收斂性。此外，本文提出一種基于梯度網(wǎng)絡(luò)的正則化模型，同時基于該模型構(gòu)建了相應(yīng)的重建優(yōu)化模型，并利用交替優(yōu)化方法進(jìn)行了求解，最終將展開算法構(gòu)建為深度展開網(wǎng)絡(luò)。仿真實驗結(jié)果表明，該深度展開網(wǎng)絡(luò)在多種采樣率下的平均峰值信噪比相較于DLMRI、NLR、BM3D-MRI、BM3D-AMP、ADMM-CSNet和IDPCNN算法分別高出2.62dB、1.59dB、1.61dB、2.05dB、0.51dB和0.53dB。此外，該深度展開網(wǎng)絡(luò)重建的膝關(guān)節(jié)圖像保留了圖像細(xì)節(jié)，取得了良好的視覺效果，證明所構(gòu)建的深度展開網(wǎng)絡(luò)的有效性。

關(guān)鍵詞：壓縮感知磁共振成像；梯度網(wǎng)絡(luò)；深度展開網(wǎng)絡(luò)；收斂性分析

中圖分類號：TP391.41""" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A""" DOI：10.3969/j.issn.1007-791X.2024.03.007

0""" 引言

磁共振成像（magnetic resonance imaging，MRI）以其良好的軟組織對比度、低輻射和非侵入性等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于臨床醫(yī)學(xué)、健康養(yǎng)生等領(lǐng)域。然而，傳統(tǒng)磁共振成像的數(shù)據(jù)采集過程需要消耗大量的時間，這限制了磁共振成像技術(shù)改進(jìn)，不利于醫(yī)療、康養(yǎng)產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展。近年來，基于壓縮感知的磁共振成像技術(shù)能夠通過欠采樣測量數(shù)據(jù)恢復(fù)高質(zhì)量圖像，大幅減少了掃描時間。該技術(shù)一經(jīng)提出就引起了廣大學(xué)者的關(guān)注與研究。

如何利用采集的測量數(shù)據(jù)重建原始的磁共振圖像是壓縮感知磁共振成像（compressive sensing magnetic resonance imaging，CSMRI）算法所要解決的問題。該問題是一個病態(tài)的圖像反問題，為解決該問題，傳統(tǒng)的算法通常最小化相應(yīng)的代價函數(shù)，該函數(shù)由數(shù)據(jù)保真項和正則化項組成。其中，數(shù)據(jù)保真項評估重建圖像與觀測值匹配的程度，正則化項包含有關(guān)特定任務(wù)的先驗知識。人們提出了各種手動構(gòu)造的先驗知識，如梯度稀疏性、過完備字典上的局部稀疏性和非局部相似性。這些技術(shù)在處理不同的圖像反問題時具有靈活性，并取得了令人滿意的效果。Ravishankar等人［1］提出了一種基于字典學(xué)習(xí)的自適應(yīng)稀疏表示模型，該模型從欠采樣的k空間數(shù)據(jù)中聯(lián)合優(yōu)化字典和圖像。Dong等人［2］通過研究相似圖像塊的低秩特性，提出了一個平滑的替代函數(shù)，有效地提高了重建速度與質(zhì)量。Qu等人［3］利用了圖像的非局部相似性設(shè)計了一種基于塊的非局部算子來稀疏化MR圖像。傳統(tǒng)基于模型的CSMRI算法具有可解釋性，但重建速度與質(zhì)量仍有待提升。此外，這些算法嚴(yán)重依賴人工設(shè)計的先驗知識，這不足以準(zhǔn)確描述原始圖像的底層分布。

基于深度學(xué)習(xí)的CSMRI算法因其在解決圖像重建問題上的有效性而備受關(guān)注。通過使用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來隱含地學(xué)習(xí)先驗知識，即深度先驗知識，能夠更準(zhǔn)確地描述圖像分布?；谏疃认闰炛R的算法較傳統(tǒng)的算法重建質(zhì)量好、速度快。Hashimoto等人［4］提出了一種迭代重建算法，該算法利用U-Net架構(gòu)和k空間校正實現(xiàn)更好的重建。Ran等人［5］提出了一種用于MRI的雙域卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，以并行與交互的方式結(jié)合圖像域和k空間域的信息，探索圖像域與k空間域的潛在關(guān)系。Hossain等人［6］利用全密集連接和注意力機(jī)制改進(jìn)U-Net結(jié)構(gòu)，并結(jié)合一種新的欠采樣模式實現(xiàn)了更高效的MR重建。以上基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的算法采用端到端訓(xùn)練的方式，具有較快的重建速度與較高的重建質(zhì)量。但由于網(wǎng)絡(luò)往往憑借經(jīng)驗設(shè)計，網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)不可解釋，導(dǎo)致算法的收斂性難以分析。利用深度先驗知識且具有可解釋性的算法是即插即用（plug-and-play，PnP）算法，該算法利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的表示能力，不再需要手動制作先驗知識。研究表明，將重建算法與深度高斯去噪器集成，可以在各種成像任務(wù)中實現(xiàn)最先進(jìn)的性能。這歸功于它能夠通過用深度高斯去噪器替代近端算子，以此結(jié)合模型驅(qū)動和數(shù)據(jù)驅(qū)動算法的優(yōu)勢。然而，PnP算法通常需要預(yù)先訓(xùn)練深度高斯去噪器。

為解決上述問題，將迭代算法展開成深度網(wǎng)絡(luò)的深度展開技術(shù)得到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。這種算法不再需要對去噪器進(jìn)行預(yù)訓(xùn)練，通常將傳統(tǒng)優(yōu)化問題分解為兩個獨(dú)立的子問題。其中一個子問題可以使用閉式解或梯度下降法求解。另一個子問題，即預(yù)訓(xùn)練圖像先驗知識，可以通過可訓(xùn)練的網(wǎng)絡(luò)隱式地解決［7-8］。Schlemper等人［9］提出了展開的半二次分裂法來加速M(fèi)R圖像重建。Yang等人［7］通過展開交替方向乘子法（alternating direction method of multipliers，ADMM），將傳統(tǒng)的基于模型的壓縮感知算法與數(shù)據(jù)驅(qū)動的深度學(xué)習(xí)算法進(jìn)行結(jié)合，從欠采樣的測量數(shù)據(jù)中進(jìn)行圖像重建。而Hou等人[10]通過迭代去噪和投影兩個步驟，進(jìn)行了快速靈活的圖像重建。

展開算法通常不顯式最小化一個代價函數(shù)，而是依賴于隱式正則化，這限制了可解釋性和數(shù)值控制。如果將PnP算法展開，PnP算法的收斂證明可以推廣到分析相應(yīng)展開算法的穩(wěn)定性。具體而言，收斂的PnP算法導(dǎo)致穩(wěn)定的展開算法，隨著迭代次數(shù)的增加，展開算法的性能逐漸變得更加穩(wěn)定。

在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，PnP算法面臨幾個限制。當(dāng)處理非強(qiáng)凸數(shù)據(jù)保真度項時，它們無法提供收斂性證明。盡管在使用非擴(kuò)張去噪器［11-14］或有界去噪器［15-18］時可以建立收斂性，但研究表明對深度去噪網(wǎng)絡(luò)施加Lipschitz條件會影響其去噪性能，從而影響相應(yīng)PnP算法的整體有效性。使用有界去噪器的PnP算法收斂性需要在噪聲強(qiáng)度遞減條件下進(jìn)行參數(shù)微調(diào)，在實際應(yīng)用中存在挑戰(zhàn)。此外，在使用非擴(kuò)張去噪器或有界去噪器的情況下，相應(yīng)的PnP算法可以收斂到一個固定點，然而，具體是哪一點仍然不清楚。

與有界去噪器和非擴(kuò)張去噪器不同，使用梯度去噪器［19-20］的PnP算法在不需要對數(shù)據(jù)保真度項或正則化項施加額外條件的情況下，可以收斂到一個穩(wěn)定點。梯度去噪器通過在由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)化的函數(shù)上進(jìn)行梯度下降操作來進(jìn)行去噪，相應(yīng)PnP算法通常假設(shè)數(shù)據(jù)保真度項是適當(dāng)?shù)摹⑾掳脒B續(xù)的和凸的，而正則化項具有Lipschitz梯度。盡管使用梯度去噪器可以保證PnP算法的收斂性，但顯式證明梯度去噪器滿足Lipschitz條件仍然是一個挑戰(zhàn)。

為了解決上述問題，本文構(gòu)建了一個可顯式證明梯度網(wǎng)絡(luò)的架構(gòu)，并將該架構(gòu)用于展開算法。該展開算法有效地緩解了與有界去噪器和非擴(kuò)張去噪器相關(guān)的限制，從而消除了逐漸降低噪聲強(qiáng)度和強(qiáng)凸性要求的需要。本文的主要貢獻(xiàn)總結(jié)如下：構(gòu)建了能夠顯式證明滿足Lipschitz條件的梯度網(wǎng)絡(luò)，給出了具體的證明，并將構(gòu)建的梯度網(wǎng)絡(luò)用于壓縮感知磁共振成像。首先，基于緊標(biāo)架表示模型，構(gòu)建了梯度網(wǎng)絡(luò)，證明了其滿足Lipschitz條件，并分析了基于該梯度網(wǎng)絡(luò)的展開算法可以收斂到所設(shè)計代價函數(shù)的一個穩(wěn)定點；其次，基于該梯度網(wǎng)絡(luò)設(shè)計了正則化模型，并構(gòu)建了壓縮感知磁共振成像優(yōu)化模型；再次，利用交替優(yōu)化方法對優(yōu)化模型進(jìn)行了求解；最后，將展開算法構(gòu)建為深度展開網(wǎng)絡(luò)，并在多種采樣率下驗證了深度展開網(wǎng)絡(luò)的有效性。該深度展開網(wǎng)絡(luò)能夠提高磁共振成像的圖像重建質(zhì)量，為臨床影像診斷等醫(yī)學(xué)檢查手段提供有效信息，對于提高醫(yī)療和康養(yǎng)產(chǎn)業(yè)的服務(wù)質(zhì)量，促進(jìn)大健康產(chǎn)業(yè)的高質(zhì)量發(fā)展具有重要價值。

1""" 梯度網(wǎng)絡(luò)

則稱去噪器Dσ為梯度去噪器。

定義1給出了Lipschitz條件，定義2給出了梯度去噪器的具體定義。本文中將滿足梯度去噪器定義的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)稱為梯度網(wǎng)絡(luò)。

為了保證收斂性，基于梯度去噪器的PnP算法通常假設(shè)數(shù)據(jù)保真度項是適當(dāng)、下半連續(xù)和凸的，而正則化項g是可微的，且其梯度滿足Lipschitz條件，在實際應(yīng)用中這種假設(shè)通常是合理的。它無需額外條件即可收斂到穩(wěn)定點，簡化了PnP算法設(shè)計和實施，提高了適用性?；谔荻热ピ肫髟O(shè)計梯度網(wǎng)絡(luò)可以放寬數(shù)據(jù)保真項的強(qiáng)凸性要求，只需凸性即可，擴(kuò)大了展開算法的應(yīng)用范圍。同時，無需對梯度網(wǎng)絡(luò)施加額外的Lipschitz條件，有助于展開算法保持整體性能。此外，由于無需在噪聲強(qiáng)度遞減條件下進(jìn)行參數(shù)微調(diào)，展開算法在實際應(yīng)用中更加可靠。

2""" 可顯式證明的梯度網(wǎng)絡(luò)

2.1""" 基于單層緊標(biāo)架的梯度網(wǎng)絡(luò)

傳統(tǒng)的深度學(xué)習(xí)算法通常缺乏可解釋性，這使得提供理論證明非常具有挑戰(zhàn)性。基于模型驅(qū)動的網(wǎng)絡(luò)具有可解釋性，將基于模型驅(qū)動的框架結(jié)合進(jìn)深度學(xué)習(xí)算法中可以增強(qiáng)可解釋性并促進(jìn)理論分析。為了構(gòu)建一個在數(shù)學(xué)上可顯式證明的梯度網(wǎng)絡(luò)，本節(jié)將傳統(tǒng)的稀疏表示模型展開成一個網(wǎng)絡(luò)。

緊標(biāo)架在稀疏表示模型中被廣泛使用，在圖像重建問題領(lǐng)域中具有重要的應(yīng)用。在給定閾值ε的情況下，通過單層緊標(biāo)架W對圖像進(jìn)行濾波可以表示為

針對圖像重建問題，在緊標(biāo)架的基礎(chǔ)上構(gòu)建顯式的正則化項：

WTsoft（Wx，ε）。TGNet主要包含兩個模塊，即特征提取模塊和特征選擇模塊。

特征提取模塊：殘差網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的是輸入與輸出之間的差值，這種學(xué)習(xí)方式簡化了學(xué)習(xí)過程，在許多研究中被證明是有效的?；谶@一思想，設(shè)計了特征提取模塊。該模塊通過引入跳躍連接，直接將原始輸入信息傳遞到非線性層的輸出，有效保留了輸入信息的關(guān)鍵特征。隨著網(wǎng)絡(luò)深度的增加，模型能夠獲得更高的準(zhǔn)確性，捕獲更復(fù)雜的特征。

特征選擇模塊：基于通道注意力機(jī)制，設(shè)計了特征選擇模塊，旨在通過衡量各個通道特征的重要性來增強(qiáng)或抑制不同通道的信息。該模塊首先通過空間全局平均池化得到通道特征，然后經(jīng)過下采樣層和上采樣層計算每個通道的權(quán)重系數(shù)，將這些權(quán)重系數(shù)與原始特征相乘得到縮放后的新特征，實質(zhì)上重新加權(quán)分配了不同通道的特征。下采樣和上采樣層均利用1×1卷積實現(xiàn)，下采樣層采用Relu激活函數(shù)，上采樣層采用Sigmoid激活函數(shù)。在略微增加計算量的情況下，這種方法能顯著提升性能。

引入TGNet不僅增強(qiáng)了信息在網(wǎng)絡(luò)中的傳遞，還顯著提高了網(wǎng)絡(luò)的表示能力。通過自適應(yīng)生成閾值，梯度網(wǎng)絡(luò)能更好地適應(yīng)圖像重建任務(wù)。

2.2""" 梯度網(wǎng)絡(luò)理論分析

為確保展開算法的收斂性，梯度網(wǎng)絡(luò)需要滿足Lipschitz條件。引理1給出了構(gòu)建的梯度網(wǎng)絡(luò)滿足Lipschitz條件的證明，根據(jù)引理1的結(jié)論，定理1證明了構(gòu)建的正則化項具有Lipschitz梯度。

引理1和定理1的證明見附錄A。

3""" 基于梯度網(wǎng)絡(luò)的深度展開算法及其收斂性分析

3.1""" 模型構(gòu)建及求解

CSMRI的采樣模型可以數(shù)學(xué)建模為

3.2""" 算法總結(jié)與深度展開網(wǎng)絡(luò)

本文將所設(shè)計的基于可證明梯度網(wǎng)絡(luò)的深度展開網(wǎng)絡(luò)命名為CSMRI-PG。圖2展示了具有T次迭代的深度展開網(wǎng)絡(luò)的整體架構(gòu)。其中，先驗?zāi)K代表式（14）中求解z的步驟，目的是通過濾波網(wǎng)絡(luò)處理x，獲得干凈的重建圖像。為了實現(xiàn)這一點，本文構(gòu)建了一個基于梯度網(wǎng)絡(luò)的先驗網(wǎng)絡(luò)。數(shù)據(jù)模塊代表式（14）中求解x的步驟，為數(shù)據(jù)子問題提供一個閉式解，主要目標(biāo)是保證重建圖像和觀測圖像之間的高保真度。

3.3""" 收斂性分析

一般來說，展開算法的收斂需要數(shù)據(jù)保真項l（x；y）具有強(qiáng)凸性，這對于某些圖像重建任務(wù)并不適用。為建立針對CSMRI任務(wù)的收斂性，關(guān)于數(shù)據(jù)保真項l（x；y），假設(shè)它是適當(dāng)?shù)?、下半連續(xù)的和凸的。設(shè)計了一個正則化項，并顯式證明其具有L-Lipschitz梯度。在不對l（x；y）和g（x）施加額外假設(shè)的情況下，定理2建立了針對CSMRI任務(wù)的收斂性。

引理2、引理3、定理2、定理3和定理4可分別參考文獻(xiàn)[19]Lemma1、Lemma2、Theorem1、Theorem2和Proposition1得證。

4""" 實驗結(jié)果及分析

4.1""" 實驗條件與參數(shù)設(shè)置

本文從MRNet數(shù)據(jù)集中分別選取了4000，500，30張不同的膝關(guān)節(jié)圖片作為訓(xùn)練、驗證和測試數(shù)據(jù)集，其中每張MR圖片大小為256×256，通過對原始MR圖像進(jìn)行二維離散傅里葉變換來模擬k空間數(shù)據(jù)。本文采用0.05、0.1、0.2和0.3的采樣率進(jìn)行偽徑向采樣。本文的模擬實驗在NVIDIAGTX3090GPU的平臺上使用PyTorch框架進(jìn)行。

在所有實驗中，將參數(shù)τ、η和γ初始化為0.5、0.9和0.1，學(xué)習(xí)率設(shè)為2×10-4，階段T設(shè)置為8，總的訓(xùn)練輪數(shù)設(shè)為50，批量大小為1，以實現(xiàn)在重建性能和計算復(fù)雜性之間的平衡。

4.2""" 壓縮感知核磁共振圖像重建效果

表1展示了本文所提出的CSMRI-PG算法與目前較為流行的CSMRI算法在不同采樣率下的平均峰值信噪比（peak signal-to-noise ratio，PSNR）和結(jié)構(gòu)相似性（structure similarity index measure，SSIM）結(jié)果。為確保比較的公平性，本文所有CSMRI算法都采用了統(tǒng)一的初始估計，即零填充圖像。將CSMRI-PG算法與現(xiàn)有的CSMRI算法進(jìn)行了比較，包括DLMRI[1]、NLR[2]、BM3D-MRI[21]、BM3M-AMP[22]、ADMM-CSNet[7]和IDPCNN[10]。如表1所示，基于NLR、BM3D-MRI和BM3D-AMP的算法在PSNR指標(biāo)上優(yōu)于DLMRI算法。由于深度學(xué)習(xí)算法的使用，IDPCNN在重建質(zhì)量方面處于較高的水平。通過將傳統(tǒng)基于模型的CS方法和數(shù)據(jù)驅(qū)動的深度學(xué)習(xí)算法相結(jié)合，ADMM-CSNet算法可以實現(xiàn)更高的PSNR和SSIM值。本文所提出的CSMRI-PG算法由于使用了基于梯度網(wǎng)絡(luò)的正則化項，其平均PSNR值最高，相較于DLMRI、NLR、BM3D-MRI、BM3M-AMP、ADMM-CSNet和IDPCNN算法分別高出2.62dB、1.59dB、1.61dB、2.05dB、0.51dB和0.53dB。

為了進(jìn)一步評估CSMRI算法的有效性，圖3和圖4展示這些算法的重建MR圖像，并且給出了每個重建圖像與原始圖像之間的差異。從圖中可以明顯看出，DLMRI算法重建的圖像存在較多的偽影且丟失了很多細(xì)節(jié)?；贜LR、BM3D-MRI和BM3D-AMP的算法可以減輕某些偽影，獲得優(yōu)于DLMRI算法的重建質(zhì)量，但重建圖像細(xì)節(jié)仍然較差。相較于前述算法，ADMM-CSNet和IDPCNN算法展現(xiàn)出更優(yōu)秀的重建性能，但重建細(xì)節(jié)仍有待提升。本文提出的CSMRI-PG算法不僅有效地保留了大部分細(xì)節(jié)，還顯著減少了噪聲，獲得了最好的重建視覺質(zhì)量。

4.3""" 消融實驗

為了驗證所提出梯度網(wǎng)絡(luò)中閾值生成網(wǎng)絡(luò)TGNet對重建結(jié)果的影響，本文進(jìn)行了相應(yīng)的消融實驗，分別針對TGNet以及特征提取模塊內(nèi)部殘差模塊的數(shù)量進(jìn)行相應(yīng)的對比試驗。實驗中，所有其他超參數(shù)保持不變。實驗結(jié)果如表2所示，其中（a）為使用TGNet時的基準(zhǔn)測試結(jié)果，（b）為使用可訓(xùn)練參數(shù)替代TGNet時的測試結(jié)果，（c）為將殘差模塊減少至1個時的測試結(jié)果。測試結(jié)果說明，本文所構(gòu)建的TGNet可以有效根據(jù)輸入生成閾值常數(shù)，相較于使用可訓(xùn)練參數(shù)測試的平均PSNR值高出2.02dB。特征提取模塊的使用可以有效增強(qiáng)圖像特征的提取，有助于提高圖像重建質(zhì)量。

5""" 結(jié)論

本文構(gòu)建了一種可顯式證明的梯度網(wǎng)絡(luò)，并將其成功地融入展開算法的設(shè)計中，以解決CSMRI圖像重建問題。通過研究基于梯度網(wǎng)絡(luò)的正則化模型，進(jìn)一步構(gòu)建了相應(yīng)的重建優(yōu)化模型，并利用交替優(yōu)化方法進(jìn)行了求解。最終，將展開算法構(gòu)建為深度展開網(wǎng)絡(luò)，實現(xiàn)了高質(zhì)量的圖像重建。在理論上，本文顯式證明了所構(gòu)建的梯度網(wǎng)絡(luò)滿足Lipschitz條件，確保了展開算法能夠收斂到所設(shè)計代價函數(shù)的一個穩(wěn)定點，從而增強(qiáng)了展開算法的可靠性和穩(wěn)定性。實際的CSMRI實驗結(jié)果表明，所構(gòu)建的深度展開網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出卓越性能，能夠提高磁共振成像的圖像重建質(zhì)量，為臨床影像診斷等醫(yī)學(xué)檢查手段提供有效信息，對于提升康養(yǎng)旅游、醫(yī)療服務(wù)效率和質(zhì)量，促進(jìn)大健康產(chǎn)業(yè)高質(zhì)量發(fā)展具有重要價值。

附錄A

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Compressive sensing magnetic resonance imaging algorithms based on explicitly provable gradient networks

LI Lingyan""""" XU Wenyuan LIU Zheng"""" SHI Baoshun" WANG Fang

Abstract：Compressive sensing magnetic resonance imaging （CSMRI） aims to reconstruct the original magnetic resonance image using under-sampled k-space data. In recent years， the unrolled algorithm attracts significant attention from scholars in the field of CSMRI image reconstruction. However， current unrolled algorithms still face the challenge of achieving high-quality reconstructions. Moreover， due to the intricate structure of prior networks， the designed prior network often lacks model architecture interpretability， making it challenging to demonstrate that the prior network satisfies the convergence conditions of the unrolled algorithm， such as the Lipschitz condition. To address these issues， this paper introduces an explicitly provable gradient network， demonstrates its satisfaction of the Lipschitz condition， and analyzes the convergence of the unrolled algorithm based on this gradient network. Furthermore， a regularization model based on the gradient network is proposed， and an associated reconstruction optimization model is formulated based on this model， which is solved using the alternating optimization approach. Lastly， the unrolled algorithm is constructed as a deep unrolled network. Simulation results show that compared to DLMRI， NLR， BM3D-MRI， BM3D-AMP， ADMM-CSNet， and IDPCNN algorithms， the deep unrolled network exhibits an average peak signal-to- noise ratio improvement of 2. 62 dB， 1. 59 dB， 1. 61 dB， 2. 05 dB， 0. 51 dB， and 0. 53 dB across various sampling rates. Furthermore， the knee joint images reconstructed by the deep unrolled network effectively preserve image details and achieve good visual outcomes， thus validating the efficacy of the constructed deep unrolled network.

Keywords： compressive sensing magnetic resonance imaging; gradient network; deep unrolled network; convergence analysis