張俊

在新課改背景下，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維已成為數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)思維包括但不限于邏輯推理、問題解決、抽象思維和創(chuàng)造性思考等?；诖耍疚囊浴叭切蔚姆€(wěn)定性”為例，探討如何通過具體的教學(xué)實(shí)踐培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)思維。這一主題不僅關(guān)系到學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，更與學(xué)生的日常生活緊密相關(guān)，為教學(xué)提供了豐富的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用場景，有助于學(xué)生建立數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)原理的理解。

一、核心素養(yǎng)視域下初中數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵解讀

（一）數(shù)學(xué)思維是抽象的思維

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，通過抽象的過程，將具體的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，可以讓學(xué)生更加深入地理解和解決問題。數(shù)學(xué)思維涉及使用邏輯規(guī)則推導(dǎo)出新的信息或證明某些數(shù)學(xué)命題的過程。學(xué)生需要通過嚴(yán)密的邏輯推理，從已知的假設(shè)或條件出發(fā)，推斷出結(jié)論。在數(shù)學(xué)中，識別和利用模式是解決問題的關(guān)鍵策略之一，如識別數(shù)學(xué)問題中的規(guī)律、結(jié)構(gòu)或者關(guān)系，以及如何利用這些模式簡化問題或?qū)С鼋鉀Q方案。

比如，“三角形的穩(wěn)定性”這一知識通過將“穩(wěn)定性”的生活概念轉(zhuǎn)化為三角形的邊長和內(nèi)角的固定值，就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，這種思維方式有助于學(xué)生在解決問題時，既利用圖形的直觀感受，又依賴數(shù)學(xué)的精確性和邏輯性，達(dá)到更深入和全面的理解。邏輯推理是檢驗(yàn)結(jié)論正確性的基礎(chǔ)，學(xué)生可通過探究三角形任意兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，思考三角形的固定形狀和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的影響因素。將數(shù)學(xué)思維應(yīng)用于實(shí)際問題中，不僅可以解決問題，還能深化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解。如通過考察三角形的穩(wěn)定性，我們可以理解為什么在工程和建筑設(shè)計(jì)中三角形經(jīng)常被用作穩(wěn)定結(jié)構(gòu)?？梢姡瑪?shù)學(xué)不僅僅是抽象的符號和公式，更是一種連接現(xiàn)實(shí)世界和抽象概念的橋梁，數(shù)學(xué)思維的價值在于其提供了一種獨(dú)特的視角，使學(xué)生能夠用量化的方式去描述、理解并操作。

（二）數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)式思維

“數(shù)學(xué)式思維”是動態(tài)的過程，包括“用數(shù)學(xué)的眼光觀察事物”“用數(shù)學(xué)的語言描述事物”等。“用數(shù)學(xué)的眼光觀察事物”意味著學(xué)生需要發(fā)展一種能力，能夠在日常學(xué)習(xí)和生活中，識別出可以用數(shù)學(xué)方法分析和解決的問題。這種觀察力要求學(xué)生能夠看到數(shù)字、形狀、模式和關(guān)系背后的數(shù)學(xué)原理，以及這些原理是如何在現(xiàn)實(shí)世界中得以應(yīng)用的?！坝脭?shù)學(xué)的語言描述事物”則是指學(xué)生能夠使用數(shù)學(xué)符號、表達(dá)式和圖表等，準(zhǔn)確、有效地表達(dá)數(shù)學(xué)思想和解決問題的過程，這種描述不僅是數(shù)學(xué)交流的基礎(chǔ)，也是深化理解和創(chuàng)新思考的工具。通過數(shù)學(xué)描述，學(xué)生可以更清楚地構(gòu)建和分享自己的數(shù)學(xué)理解，同時也能更好地理解他人的數(shù)學(xué)思想。

“三角形的穩(wěn)定性”和它在生活中的應(yīng)用，如自行車設(shè)計(jì)，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練。教師引導(dǎo)學(xué)生觀察具體結(jié)構(gòu)（如圖1），并提出問題：“為什么這些結(jié)構(gòu)會選擇三角形設(shè)計(jì)？”以激發(fā)學(xué)生的好奇心，引導(dǎo)學(xué)生開始探索和思考。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)路徑

（一）積極創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，鍛煉學(xué)生抽象思維

初中階段的學(xué)生正處在從具體的操作階段過渡到能夠進(jìn)行抽象邏輯思維的操作階段。在這一關(guān)鍵時期，教師通過實(shí)際情境的創(chuàng)設(shè)可以幫助學(xué)生更好地理解和掌握抽象的數(shù)學(xué)概念。這不僅鍛煉學(xué)生的抽象思維，還能促進(jìn)其批判性思維、創(chuàng)造性思維等高階思維能力的發(fā)展。通過解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題，學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)的實(shí)用價值，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動力。

在講解“三角形的穩(wěn)定性”時，教師可以采用情境引導(dǎo)法，集中學(xué)生的注意力，讓學(xué)生產(chǎn)生更多思考。首先確定目標(biāo)：學(xué)生能夠理解三角形穩(wěn)定性的原理、學(xué)生能夠通過實(shí)踐活動探索和理解幾何形狀的穩(wěn)定性、學(xué)生能夠?qū)⒂^察和實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論應(yīng)用到新的問題解決中。教師預(yù)先準(zhǔn)備好剪裁成不同大小的硬紙板條，用大頭針制作正方形、長方形和三角形三種形狀的模型。

教師：今天，我們將通過一個有趣的活動探索不同幾何形狀的穩(wěn)定性。你們認(rèn)為正方形、長方形和三角形哪個更穩(wěn)定呢？為什么？

學(xué)生根據(jù)直覺給出不同的答案，教師鼓勵多元思考，無需立即糾正。

學(xué)生：應(yīng)該是正方形有穩(wěn)定性，因?yàn)檫呴L相等，每個角也相等。

教師引導(dǎo)：觀察這些形狀，當(dāng)我嘗試改變它們的形狀時，你們覺得會發(fā)生什么？讓我們一起看一看。（教師依次演示正方形、長方形和三角形的變形情況）

學(xué)生：只有三角形沒有變化。

教師先不要告知學(xué)生答案，而是引導(dǎo)學(xué)生動手制作并嘗試變形，教師巡視，鼓勵學(xué)生分享觀察到的現(xiàn)象。

學(xué)生：長方形和正方形在拉動的過程中可以形成不同的平行四邊形。

學(xué)生：是的，但是無論我怎么移動，三角形并沒有變化。

相信這樣的導(dǎo)入環(huán)節(jié)可以很好地吸引學(xué)生的注意力，為接下來的順利教學(xué)奠定基礎(chǔ)。

（二）發(fā)揮信息技術(shù)優(yōu)勢，發(fā)展學(xué)生推理思維

信息技術(shù)，如動態(tài)幾何軟件，可以使學(xué)生通過視覺化的方式探索數(shù)學(xué)概念，使抽象的理論變得直觀易懂。這樣學(xué)生不僅能學(xué)到數(shù)學(xué)知識，還能通過探索、實(shí)踐和反思，深入理解數(shù)學(xué)概念和原理，發(fā)展深度學(xué)習(xí)能力。最重要的是，信息技術(shù)提供的豐富資源可以激發(fā)學(xué)生的好奇心，鼓勵學(xué)生提出問題、搜索信息、分析數(shù)據(jù)和得出結(jié)論，從而培養(yǎng)學(xué)生的推理思維。

在引導(dǎo)學(xué)生了解“為什么三角形具有穩(wěn)定性”這一過程時，教師可以用信息技術(shù)展示三角形的具體結(jié)構(gòu)，并通過變換顏色等形式讓學(xué)生的思維可視化。

教師播放關(guān)于三角形平面構(gòu)建的演示視頻，展示從三維到二維的過渡，強(qiáng)調(diào)每一條邊與其他兩邊的交點(diǎn)關(guān)系。

教師：請大家觀察這個三角形如何在三維空間中形成，并注意每條邊是如何與其他兩條邊相交的。（引導(dǎo)學(xué)生討論他們的觀察結(jié)果。）

學(xué)生：每兩條邊相交于一個點(diǎn)。

學(xué)生：每條邊與其他兩條邊分別相交于一點(diǎn)。

教師肯定學(xué)生的回答，然后再用專業(yè)語言概括，即“三角形每一條邊與其他兩邊都有且只有一個交點(diǎn)”。

教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生回憶之前的知識，提問：幾個點(diǎn)能確定一條直線？

學(xué)生：兩點(diǎn)確定一條直線。

教師：什么叫確定？

學(xué)生：這兩個點(diǎn)會確定直線的位置，直線不再移動。

這樣一來，學(xué)生通過“已知兩點(diǎn)能確定一條線”的結(jié)論不難推導(dǎo)出“三角形的三邊永遠(yuǎn)在一個平面上”的結(jié)論。

接著教師引導(dǎo)：現(xiàn)在，讓我們利用剛才學(xué)到的知識來解決一些數(shù)學(xué)問題。

之后，教師再通過提供一些練習(xí)題，讓學(xué)生嘗試應(yīng)用三角形平面特性解決問題，如證明題或?qū)嶋H應(yīng)用題。這一過程中，學(xué)生不僅能夠直觀地理解三角形的平面性質(zhì)，還能夠通過觀察、討論和實(shí)踐，發(fā)展幾何推理能力。

（三）合理組織小組探討，強(qiáng)化學(xué)生邏輯思維

小組討論可以讓學(xué)生從不同的角度理解數(shù)學(xué)概念和原理，幫助彼此解決難題，從而達(dá)到深度理解的效果。在討論和解決數(shù)學(xué)問題的過程中，學(xué)生需要邏輯清晰地表達(dá)自己的想法，同時評估和反思其他小組成員的觀點(diǎn)，這一過程有助于強(qiáng)化學(xué)生的邏輯思維。需要注意的是，教師要合理劃分小組，確保每個小組內(nèi)成員的能力相對均衡，避免能力差距過大導(dǎo)致部分學(xué)生參與度下降，還要設(shè)計(jì)合適的探討任務(wù)，既不能過于簡單，缺乏挑戰(zhàn)性，也不能過于復(fù)雜，超出學(xué)生的能力范圍。教師應(yīng)充當(dāng)引導(dǎo)者和協(xié)調(diào)者的角色，適時提供必要的指導(dǎo)支持和及時有效的反饋，鼓勵學(xué)生積極參與，同時也對小組活動的效果進(jìn)行評價，以便調(diào)整和改進(jìn)教學(xué)策略。

學(xué)生推理出三角形的穩(wěn)定性后，教師可以繼續(xù)讓學(xué)生討論“三角形的三條邊在同一平面內(nèi)不能移動，那么在其他平面內(nèi)會不會移動、旋轉(zhuǎn)呢？”進(jìn)而強(qiáng)化學(xué)生對這一特性的理解。先將學(xué)生分成小組，每組4～5人，給每個小組分配同樣的任務(wù)和材料，包括教材、硬紙板條、大頭針等。學(xué)生使用材料嘗試構(gòu)建三角形，探索固定一邊時其他邊的變化情況。

學(xué)生：如果我們固定這一邊，看看其他兩邊能否向空間內(nèi)扭轉(zhuǎn)？

學(xué)生：可以用書本作為參照物，嘗試模擬這個過程。

學(xué)生：無論怎樣嘗試，三角形的形狀都不會改變，這說明三角形確實(shí)具有穩(wěn)定性。

教師：固定一邊后三角形的形狀會發(fā)生怎樣的變化？

學(xué)生：我們發(fā)現(xiàn)三角形的其他兩邊不能自由轉(zhuǎn)動，這表明三角形在任何情況下都保持穩(wěn)定。

通過自己動手實(shí)踐和交流討論，學(xué)生對于“三角形具有穩(wěn)定性”有了更深刻的理解，記憶會更加牢固，應(yīng)用也會更加靈活。

在活動結(jié)束后，教師應(yīng)反思學(xué)生的參與度、探索過程中的邏輯思維表現(xiàn)以及小組合作的效率。

（四）立足實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生辯證思維

在現(xiàn)實(shí)生活中，三角形因其獨(dú)特的穩(wěn)定性被廣泛應(yīng)用于建筑、工程、設(shè)計(jì)等領(lǐng)域。學(xué)生在日常生活中會接觸到這一概念，如自行車框架、橋梁結(jié)構(gòu)、屋頂設(shè)計(jì)等。通過關(guān)聯(lián)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)內(nèi)容變得更加生動，更容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過探索三角形穩(wěn)定性在不同條件下的變化和應(yīng)用，學(xué)生可以學(xué)會從多個角度分析和理解問題，培養(yǎng)辯證思維。當(dāng)然，教師要選擇與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)密切相關(guān)的例子，必要的時候?qū)滩闹械陌咐M(jìn)行更換，確保所有學(xué)生都能夠理解和參與。在討論和探索過程中，教師還應(yīng)適當(dāng)引導(dǎo)，確保討論不偏離主題，同時鼓勵學(xué)生發(fā)表個人見解。

教師展示一把螺絲松動的舊椅子，讓學(xué)生觀察并描述其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并提出問題：“你們認(rèn)為這把椅子坐起來穩(wěn)嗎？為什么？”可以邀請學(xué)生輪流坐在椅子上體驗(yàn)，感受正方形結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性。

教師：椅子的形狀和它的穩(wěn)定性有什么關(guān)系？

學(xué)生：正方形具有不穩(wěn)定性。

教師指導(dǎo)學(xué)生在椅子的斜對角中支上一根木棍，再次體驗(yàn)椅子的穩(wěn)定性變化。

教師：現(xiàn)在椅子變穩(wěn)定了嗎？這次我們做了什么改變？

學(xué)生：加了木棍后，椅子不晃了。

教師：沒錯，這就是我們學(xué)過的三角形穩(wěn)定性的原理。

教師繼續(xù)提問：你們能想到生活中還有哪些地方應(yīng)用了三角形的穩(wěn)定性原理嗎？

學(xué)生：自行車的框架用了三角形。

教師：對，那自行車框架為什么要使用三角形結(jié)構(gòu)呢？

學(xué)生：因?yàn)槿切谓Y(jié)構(gòu)穩(wěn)定，可以讓自行車在運(yùn)動中保持穩(wěn)固。

通過這種教學(xué)過程，學(xué)生不僅能夠直觀地理解三角形穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)原理，還能學(xué)會如何將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實(shí)際生活中，培養(yǎng)他們的觀察力、分析力和創(chuàng)新思維。

通過以上教學(xué)實(shí)踐，我們可以看到，將“三角形的穩(wěn)定性”這一具體案例作為切入點(diǎn)，通過生活經(jīng)驗(yàn)的引入、多媒體的輔助、小組合作的互動以及立足于辯證思維的培養(yǎng)，能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。該種教學(xué)方法不僅有助于學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念，還能培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，為學(xué)生日后的學(xué)習(xí)和生活奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。當(dāng)然，任何一種教學(xué)理念的實(shí)施都離不開教師的探索和創(chuàng)新，未來，數(shù)學(xué)教師要繼續(xù)深入解讀數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵，將其與日常教學(xué)相融合，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的順利改革。

（作者單位：甘肅省天水市甘谷縣康家灘初級中學(xué)）

編輯：張俐麗