武杭杭 張加勁

摘要：9-n的del Pezzo 曲面S和李代數(shù)En（0≤n≤8）密切相關(guān).給出次數(shù)為0的del Pezzo 曲面X9上有無窮多條直線的一個證明，并證明仿射型Weyl群W（E8）可遷地作用在這些直線上.

關(guān)鍵詞：del Pezzo 曲面; 直線; Weyl群

中圖分類號：O187.1? 文獻標志碼：A? 文章編號：1001-8395（2024）05-0708-03

doi：10.3969/j.issn.1001-8395.2024.05.017

設(shè)X0=CP2是復(fù)射影平面，而del Pezzo 曲面Xn是X0在n個一般位置點x1，…，xn.

Xn的皮卡格Pic（Xn）H2（Xn，Z）是一個奇的幺模洛倫茲格I1，n，它的Z-基為h，l1，…，ln，其中h是X0上的直線類，li是在點xi處吹脹得到的例外類[1-2].Xn上的一條曲線l是反典范嵌入下的一條直線當且僅當l2=l·K=-1，其中K=-3h+∑ni=1li是Xn的反典范類.根據(jù)文獻[3]，定義2個集合

Rn ={x∈H2（Xn，Z） |x2=-2，x·K=0}，In ={x∈H2（Xn，Z） | x2=x·K=-1}.

文獻[3]中證明了Rn為對應(yīng)的En型李代數(shù)的根系，In為Xn的例外除子集.Rn的單根為α1=h-l1-l2-l3，αi=li-1-li，2≤i≤9.Rn的單根的基本反射生成Weyl群W（Rn）.已知當0≤n≤8時，Weyl群W（Rn）可遷地作用在In上[4-5].本文主要討論當n=9時，I9中元素的性質(zhì).將證明I9為無窮集，且W（R9）可遷地作用在I9上;當這9個點處于一般位置時，I9中每個元素都是一條直線.

1 I9中元素

當n=9時，設(shè)x=ah+∑9i=1bili∈Pic（Xn） ， a，bi∈ Z.X9中的一條既約不可約曲線C稱為一條直線，如果C·K=C2=-1，則X9中的直線的類[C]=ah+∑9i=1bili是如下方程的解

3a+∑9i=1bi=1，a2+1=∑9i=1b2i.（1）

為了之后計算的方便，將方程（1）化為另一種形式如下

∑9i=1（a+3bi）2=6a+9，（2）

所以6a+9≥0，a≥-32，又因為a∈Z，則a≥-1.當a= -1時，方程（1）無整數(shù)解;當a= 0時，方程（1）的解為li，1≤i≤9為平凡情形.因此在之后的證明中都假設(shè)a>0.

首先給出I9中元素的系數(shù)之間的關(guān)系.

命題 1 設(shè)x ∈I9，記x=ah+∑9i=1bili，a，bi∈ Z.若a >0，則bi≤0，對所有1≤i≤9.

證明 由方程（2），若存在某個bi >0，則有

（a+3bi）2≥（a+3）2 >6a+9，

得出矛盾.因此，對所有1≤i≤9，當a >0時，bi≤0.證畢.

令α1，…，α9是R9的單根，其中，α1=h-l1-l2-l3，αi=li-1-li，2≤i≤9.因此Weyl群W（R9）由基本反射σα1，…，σα9生成.事實上有如下命題.

命題 2 W（R9）恰好同構(gòu)于仿射李代數(shù)E8的Weyl群W（E8）.

證明 參見文獻[6].

定義σαi（x）=x+（x·αi）αi，因此

σα1（li）=h-lj-lk， {i，j，k}= {1，2，3}，li， i≥4.

當j≥2時，

σαj（li）=lj， i=j-1，lj-1， i=j，li， i≠j-1，j.

從命題1可知，I9中的每一個元素x=ah+∑9i=1bili都可以寫成x=ah-∑9i=1bili的形式，其中a，bi，1≤i≤9均為非負整數(shù).為了記號的簡潔，之后將x=ah-∑9i=1bili記作（a;-b1，…，-b9）， a，bi ∈Z≥0.

為了證明I9是一個無限集，先給出一個命題.

武杭杭，等：零次Del Pezzo曲面上的直線

命題 3 令（a;-b1，…，-b9） ∈I9，則b1，…，b9中必然存在3個非負整數(shù)，它們的和小于等于a-1;且當a>0時，b1，…，b9中必然存在3個非負整數(shù)，它們的和大于等于a+1.

證明 知道，若（a;-b1，…，-b9） ∈I9，則σαi（（a;-b1，…，-b9））也屬于I9，其中2≤i≤9.

因此可以將b1，…，b9重新按降序排列，即可以假設(shè)b1≥b2…≥b9.由（1）式得

3a-1=∑9i=1bi≥3（b7+b8+b9），

b7+b8+b9≤a-13，

因為bi均為整數(shù)，所以

b7+b8+b9≤a-1.

命題前半部分得證;對于后半部分

b1+b2+b3≥a-13，

因為bi均為整數(shù)，所以有

b1+b2+b3≥a.

若

b1+b2+b3=a，

由于

b7+b8+b9≤a-1，

則必然有

b4+b5+b6=a，

且

b7+b8+b9=a-1.

所以b1=b2=…=b8=b9+1.將（3m;-m，…，-m，-（m-1））代入方程（1），得到m=0.因此，對任意（a;-b1，…，-b9）∈I9，當a>0時，b1+b2+b3≥a+1.命題得證.

利用命題3，下面證明I9是無限集，且W（E8）可遷地作用在I9上.

定理 在del Pezzo曲面X9上，集合I9={x∈H2（X9，Z）|x2=x·K=-1}是無限集，且Weyl群W（E8）可遷地作用在I9上.

證明 由命題3，記m、n、p為b1，…，b9中滿足m+n+p=d≤a-1的3個非負整數(shù).通過基本反射σαi（2≤i≤9）的作用，不失一般性，假設(shè)b1=m，b2=n，b3=p.下面證明（2a-d;-（m+a-d），-（n+a-d），-（p+a-d），b4，…，-b9）∈I9.

3（2a-d）-1=6a-3d-1，

（m+a-d）+（n+a-d）+（p+a-d）+b4+…+b9=∑9i=1bi+3（a-d）=3a-1+3a-3d=6a-3d-1，

（2a-d）2+1=4a2-4ad+d2+1，（m+a-d）2+（n+a-d）2+（p+a-d）2+b24+…+b29=∑9i=1b2i+2（a-d）（m+n+p）+3（a-d）2=4a2-4ad+d2+1.

因此（2a-d;-（m+a-d），-（n+a-d），-（p+a-d），b4，…，-b9）是方程（1）的解.由于d≤a-1，所以2a-d>a，即在W（E8）的作用下h的系數(shù)可以不斷增大，這表明I9是無限集.

根據(jù)命題3，同樣可以在b1，…，b9中選擇3個非負整數(shù)使得它們的和d>a.同上面的證明類似，可以縮小h的系數(shù).因此I9的每一個元素都可以被迭代地縮小到（0;-1，0，…，0）.具體地，對（a;-b1，…，-b9）∈I9，在b1，…，b9中存在bi，bj，bk使得bi+bj+bk=d>a，且d-a≤min{bi，bj，bk}，則

σα4…σαk+1σα3…σαj+1σα2…σαi+1（（a;-b1，…，-b9））=（a;-bi，-bj，-bk，…，-b9），

σα1（（a;-bi，-bj，-bk，…，-b9））=（2a-d;-（bi+a-d），-（bj+a-d），-（bk+a-d），…，-b9）.

所以h的系數(shù)可以不斷減小，重復(fù)這個過程最終可以得到（0;-1，0，…，0）.由此證明了Weyl群W（E8）作用在I9上是可遷的.

下面證明，當x1，…，x9處于一般位置時，I9中的每個元素都是一條“真實”的直線，即一條既約不可約直線（簡稱直線）.

首先，l1，…，l9都是直線;其次，根據(jù)命題1的證明σαi（lj）也是直線.而W（E8）由

σα1，…，σα9生成，所以σ∈W（E8），σ（lj）仍是直線.根據(jù)W（E8）作用在I9上的可遷性知，當x1，…，x9處于一般位置時，I9的每個元素都是一條直線.

2 結(jié)束語

本文給出了X9上有無窮多條直線的清晰而初等的證明，并清楚地刻畫了這些例外曲線集合的結(jié)構(gòu)，即I9=W（E8）*l1.這些雖然是“眾所周知”的事實，但目前文獻中從未有完整的證明.

參考文獻

[1] DEMAZURE M. Surfaces de del Pezzo-Ⅰ， Ⅱ， Ⅲ， Ⅳ， Ⅴ[M]. Berlin： Springer，1980.

[2] DONAGI R Y. Principal bundles on elliptic fibrations[J]. Asian Journal of Mathematics，1997，1（2）：214-223.

[3] LEUNG N C， ZHANG J J. Moduli of bundles over rational surfaces and elliptic curves Ⅰ： simply laced cases[J]. Journal of the London Mathematical Society，2009，80（3）：750-770.

[4] HUMPHREYS J E. Introduction to Lie algebras and representation theory[M]. New York： Springer-Verlag，1978.

[5] MANIN Y I. Cubic forms： algebra， geometry， arithmetic[M]. New York： American Elsevier Publishing，1974.

[6] LEUNG N C， XU M， ZHANG J J. Kac-Moody Ek-bundles over elliptic curves and del Pezzo surfaces with singularities of type A[J]. Math Ann，2012，352（4）：805-828.

The Lines on the Del Pezzo Surface of Degree 0

WU Hanghang， ZHANG Jiajin

（School of Mathematics， Sichuan University， Chengdu 610064， Sichuan）

Abstract：It is known that the del Pezzo surface S of degree 9-n is closely related to the Lie algebra En， for 0≤n≤8. We? investigate the property of the exceptional lines? on a del Pezzo surface X9 of degree 0， and prove that there are infinitely many such lines. We also prove that the Weyl group W（E8） acts on these lines transitively.

Keywords：del Pezzo surface; line; Weyl group2020 MSC：14A25

（編輯 陶志寧）

基金項目：國家自然科學基金面上項目（11171258）

*通信作者簡介：張加勁（1973—），男，教授，主要從事代數(shù)幾何的研究，E-mail：jjzhang@scu.edu.cn

引用格式：武杭杭，張加勁. 零次Del Pezzo曲面上的直線[J]. 四川師范大學學報（自然科學版），2024，47（5）：708-710.