朱瑩

“一次函數(shù)”作為初中數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，涉及的概念和技能對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)主題至關(guān)重要。這一單元要求學(xué)生不僅要了解函數(shù)的基本性質(zhì)和圖象，還要能將其應(yīng)用于解決實際問題。然而，并非所有學(xué)生都能在相同的時間內(nèi)、以同樣的效率掌握這些概念。在這種情況下，分層教學(xué)模式提供了一個解決方案。教師可以根據(jù)學(xué)生的先前知識、認(rèn)知能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格將他們分成不同的層級，然后分別設(shè)計符合他們能力的教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)任務(wù)。

一、案例描述

（一）準(zhǔn)備階段：教學(xué)目標(biāo)分層

師：同學(xué)們，我們即將開始學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”這個新單元。大家知道一次函數(shù)在我們的生活中有哪些應(yīng)用嗎？

生A：老師，我聽說用一次函數(shù)可以計算出行的費(fèi)用，如打車的價格。

師：非常好，你提到的是一次函數(shù)與生活緊密聯(lián)系的一個例子。在這個單元中，我們不僅要理解一次函數(shù)的定義和圖象特點(diǎn)（基礎(chǔ)層目標(biāo)），還要學(xué)會如何用它來解決實際問題，如你提到的計算費(fèi)用（提高層和拓展層目標(biāo)）。

生B：老師，我數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是很好，擔(dān)心跟不上。

師：不用擔(dān)心，我們的課程設(shè)計了不同的層次，每個人都可以根據(jù)自己的實際情況選擇合適的任務(wù)。比如，我們會先從基礎(chǔ)的概念和圖象理解開始（基礎(chǔ)層），你可以從這里入手逐步提升。

生C：如果我對一次函數(shù)已經(jīng)有所了解，應(yīng)該怎么辦呢？

師：如果你對基礎(chǔ)內(nèi)容已經(jīng)很熟悉，可以嘗試挑戰(zhàn)更高層次的任務(wù)，如運(yùn)用一次函數(shù)解決一些實際問題（提高層和拓展層），這樣可以幫助你更深入地理解和應(yīng)用一次函數(shù)。

教師應(yīng)確保學(xué)生對分層教學(xué)目標(biāo)有清晰的認(rèn)識，并能根據(jù)自己的實際情況和能力選擇合適的學(xué)習(xí)路徑。這種方法也能幫助學(xué)生明白教學(xué)內(nèi)容的實際意義，以及如何通過分層逐步達(dá)到學(xué)習(xí)的高層次目標(biāo)。教師的引導(dǎo)和學(xué)生的自主選擇在這個過程中是相輔相成的。

（二）實施階段：分層施教

1.設(shè)置不同難度的任務(wù)

任務(wù)一：基礎(chǔ)訓(xùn)練

為了幫助基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，教師可以設(shè)計以下題目：

例題1：請寫出一次函數(shù)的一般形式，并解釋每個符號的意義。

例題2：如何判斷一個函數(shù)是否為一次函數(shù)？

例題3：一次函數(shù)的圖象是怎樣的？它有哪些顯著的特點(diǎn)？

任務(wù)二：能力提升

對于掌握基礎(chǔ)知識較好的學(xué)生，教師可以設(shè)計以下題目：

例題1：給定一次函數(shù)f（x）=2x+3，請畫出它的圖象，并標(biāo)出x軸和y軸的截距。

例題2：假設(shè)一次函數(shù)f（x）=ax+b，在x軸的截距為-2，y軸的截距為4，求該一次函數(shù)的表達(dá)式。

例題3：一次函數(shù)y=-3x+5與y=2x-1是否有交點(diǎn)？如果有，請計算它們的交點(diǎn)坐標(biāo)。

任務(wù)三：拓展應(yīng)用

對于學(xué)有余力的學(xué)生，教師可以設(shè)計以下題目，將有助于拓展他們的應(yīng)用能力：

例題1：某商店銷售某產(chǎn)品的利潤可以用一次函數(shù)P（x）=50x-20表示，其中x是銷售量（件），P（x）是利潤（元）。當(dāng)利潤為0時，請問該商店至少需要賣出多少件產(chǎn)品？

例題2：一輛汽車從靜止開始加速行駛，它的速度（km/h）與時間（秒）之間的關(guān)系可以用一次函數(shù)v（t）=10t來表示。請問10秒后，汽車的速度是多少？

例題3：一塊長方形土地的長和寬之間的關(guān)系可以用一次函數(shù)l（w）=2w+10來表示，其中w代表寬（米），l代表長（米）。如果長方形土地的面積是100平方米，請計算這塊土地的長和寬。

師：為了幫助大家更好地掌握一次函數(shù)的知識點(diǎn)，我根據(jù)大家的學(xué)習(xí)情況設(shè)計了三種不同難度的題目。請大家挑選適合自己水平的題目進(jìn)行練習(xí)?，F(xiàn)在，大家可以根據(jù)自己完成的題目來討論。

生A：老師，我嘗試做了能力提升題目中關(guān)于一次函數(shù)圖象的題目，但是畫圖時不太確定斜率和截距的準(zhǔn)確位置。

師：不錯，這是一個很好的問題。畫一次函數(shù)的圖象時，斜率決定了圖象的傾斜程度，而截距則是圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的位置。我們可以分析下這個函數(shù)的斜率和截距，然后確定圖象的正確位置。

生B：老師，我完成了基礎(chǔ)訓(xùn)練的題目，現(xiàn)在我對一次函數(shù)的定義和圖象特點(diǎn)有了更清晰的認(rèn)識。

師：很好，基礎(chǔ)扎實是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。如果你對這些內(nèi)容掌握得很好，那么在解決更復(fù)雜的問題時也會更有信心。

生C：老師，我挑戰(zhàn)了拓展應(yīng)用的題目，試著將一次函數(shù)應(yīng)用到實際情景中，但是在理解題目的背景時感到有些困難。

師：拓展應(yīng)用題目確實需要將理論知識與實際問題結(jié)合起來。你可以先分析題目背景，理解其中的數(shù)學(xué)模型，再用一次函數(shù)的知識去解決問題。這不僅能加深你對一次函數(shù)的理解，還能提高解決實際問題的能力。

2.課堂互助協(xié)作分層

課程伊始，教師首先回顧了一次函數(shù)的基本概念，并通過生動的實例，幫助學(xué)生建立起對一次函數(shù)的直觀理解。隨后，教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和能力，將學(xué)生分為A、B兩個層次。A層次的學(xué)生基礎(chǔ)較為薄弱，需要更多的基礎(chǔ)知識和解題技巧的講解；B層次的學(xué)生基礎(chǔ)較好，能夠較快地掌握新知識，并具有較強(qiáng)的解題能力。

在明確了學(xué)生層次后，教師開始實施分層教學(xué)模式。對于A層次的學(xué)生，教師重點(diǎn)講解了如何根據(jù)題目條件設(shè)定一次函數(shù)的一般式y(tǒng)=kx+b，并通過具體的例題，指導(dǎo)他們?nèi)绾未胍阎獥l件求解待定系數(shù)k和b。同時，教師也強(qiáng)調(diào)了理解一次函數(shù)圖象與性質(zhì)的重要性，并鼓勵學(xué)生在解題過程中嘗試?yán)L制函數(shù)圖象，加深對函數(shù)的理解。

對于B層次的學(xué)生，教師在鞏固基礎(chǔ)知識的同時，更注重培養(yǎng)他們的解題能力和思維能力。教師設(shè)計了一些難度較大的題目，如涉及一次函數(shù)與方程結(jié)合的實際應(yīng)用題，要求學(xué)生能靈活運(yùn)用一次函數(shù)的知識解決問題。教師也可以引導(dǎo)學(xué)生探究一次函數(shù)的圖象變換規(guī)律，以及如何通過圖象解決實際問題。

在分層講解的過程中，教師鼓勵學(xué)生進(jìn)行課堂互助協(xié)作。A層次的學(xué)生在理解基本概念后，開始嘗試解決一些基礎(chǔ)題目，并在教師的引導(dǎo)下與B層次的學(xué)生進(jìn)行交流。B層次的學(xué)生則積極分享他們的解題方法和思路，幫助A層次的學(xué)生解決困惑。這種互助協(xié)作的方式不僅提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，還促進(jìn)了學(xué)生之間的交流和合作。

為了進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識，教師還設(shè)計了一些小組活動。學(xué)生被分成若干小組，每個小組都有A層次和B層次的學(xué)生。小組內(nèi)部成員相互討論、協(xié)作解決問題，并共同總結(jié)歸納一次函數(shù)的解題方法和技巧。這種方式不僅加深了學(xué)生對一次函數(shù)的理解，還提高了他們的團(tuán)隊協(xié)作能力和溝通能力。

在整個教學(xué)過程中，教師始終關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)展和反饋。教師會定期對學(xué)生的作業(yè)和課堂表現(xiàn)進(jìn)行評價和指導(dǎo)，并根據(jù)學(xué)生的實際情況調(diào)整教學(xué)策略。同時，教師也鼓勵學(xué)生積極提問和發(fā)表自己的看法，營造積極、開放的學(xué)習(xí)氛圍。

本次分層教學(xué)模式的應(yīng)用，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果有了明顯的提升。A層次的學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識的同時，也提高了學(xué)習(xí)興趣和自信心；B層次的學(xué)生則在挑戰(zhàn)更高難度的題目中，鍛煉了解題能力和思維能力。

3.練習(xí)、作業(yè)分層

隨著課堂接近尾聲，教師站在講臺前展示了一套精心挑選的練習(xí)題和作業(yè)單。

（1）基礎(chǔ)層練習(xí)（理解和記憶）

例題1：解釋一次函數(shù)的基本概念，并寫出它的一般形式。

例題2：已知一次函數(shù)f（x）=3x-2，計算f（1）、

f（0）和f（-3）的值。

例題3：繪制一次函數(shù)y=x和y=-2x+1的圖象，并標(biāo)出它們的y軸截距。

（2）提高層練習(xí)（應(yīng)用和分析）

例題1：比較一次函數(shù)y=2x+3和y=-x+3圖象的斜率和截距，并解釋它們反映的數(shù)學(xué)意義。

例題2：已知點(diǎn)A（1，2）和點(diǎn)B（3，6）在同一直線上，求通過這兩點(diǎn)的一次函數(shù)方程。

例題3：某商店的銷售額（y，單位：元）與營業(yè)小時數(shù)（x，單位：小時）之間的關(guān)系為y=100x+50，請解釋斜率和截距在這個實際情景中的含義。

（3）拓展層練習(xí)（綜合和評價）

例題1：探究當(dāng)改變一次函數(shù)y=mx+b中的m（斜率）和b（截距）時，圖象的變化情況，并描述這種變化的規(guī)律。

例題2：設(shè)計一個實驗驗證一次函數(shù)圖象的對稱性（關(guān)于原點(diǎn)對稱），并記錄實驗過程和結(jié)果。

例題3：分析一次函數(shù)如何在經(jīng)濟(jì)學(xué)中用于預(yù)測消費(fèi)者需求的變化，并舉例說明一次函數(shù)在預(yù)測中的應(yīng)用。

教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)個人實際情況選擇合適的練習(xí)和作業(yè)，這不僅培養(yǎng)了學(xué)生的自我評價能力，還體現(xiàn)了教學(xué)的靈活性和適應(yīng)性。學(xué)生都能在自己的學(xué)習(xí)區(qū)間內(nèi)得到發(fā)展，也有機(jī)會去挑戰(zhàn)更高層次的問題，從而實現(xiàn)個性化的學(xué)習(xí)路徑。

（三）評價階段：分層評價

1.教師與學(xué)生A的互動

教師注意到學(xué)生A在最新的測試中成績不佳，決定找他談?wù)劇?/p>

師：學(xué)生A，我觀察到你在上一次的考試中遇到了一些問題，我們一起探討你遇到的難點(diǎn)在哪里？

生A：老師，我對分?jǐn)?shù)的運(yùn)算感到困惑，不太明白如何去解題。

師：我們從基礎(chǔ)知識開始，逐步深入，確保你能夠理解每一步。我會安排一些小測試來監(jiān)控你的進(jìn)步，并保證你與課程同步前進(jìn)。

2.教師與學(xué)生B的互動

教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生B在解決連環(huán)問題時有進(jìn)步，便鼓勵他。

師：學(xué)生B，我注意到你在解決層層遞進(jìn)的問題時做得很好。你覺得還有哪些方面可以改進(jìn)？

李：老師，我在解決復(fù)雜問題時，有時候會出現(xiàn)一些粗心的錯誤。

師：我們通過不斷的訓(xùn)練可以減少這些失誤?，F(xiàn)在，我們一起回顧你的錯誤，找出共性，并制定策略避免失誤的發(fā)生。

3.教師與學(xué)生C的互動

教師對學(xué)生C在數(shù)學(xué)方面的才華表示贊賞，同時鼓勵他繼續(xù)挑戰(zhàn)自己。

師：學(xué)生C，你在解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題時表現(xiàn)出色。你對自己有什么更高的期望嗎？

生C：老師，我希望能有更多挑戰(zhàn)性的題目來練習(xí)，以進(jìn)一步提升我的能力。

師：我會推薦一些適合你的題目，并且我們可以在課余時間討論這些問題，幫助你持續(xù)提高。

這樣全面關(guān)注個體的評價體系，教師和學(xué)生都能更加明確地認(rèn)識到學(xué)習(xí)過程中的目標(biāo)和成果，進(jìn)而共同努力實現(xiàn)更高效的教學(xué)效果。

二、案例總結(jié)

在這種模式下，學(xué)生都得到了與其水平匹配的教材，這有助于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生鞏固知識，同時鼓勵成績優(yōu)異的學(xué)生迎接更高的挑戰(zhàn)。在評價上，教師可以更精確地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度，并據(jù)此提供建議。成功的分層教學(xué)依賴于教師能夠靈活地根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)調(diào)整教學(xué)計劃和方法?？偟膩碚f，分層教學(xué)為初中數(shù)學(xué)教育帶來了個性化的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，但也對教師提出了更高的要求。

（作者單位：濟(jì)南市槐蔭區(qū)崇華實驗學(xué)校）

編輯：趙文靜