李華

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)，更要讓學(xué)生學(xué)會(huì)方法，以此培養(yǎng)學(xué)生可持續(xù)學(xué)習(xí)能力. 在教學(xué)“任意角的三角函數(shù)”時(shí)，研究者以學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知水平為出發(fā)點(diǎn)，以建構(gòu)“更完整”的數(shù)學(xué)教學(xué)為方向，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)、構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)、提高學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而讓學(xué)生走上“會(huì)學(xué)”之路.

［關(guān)鍵詞］ 知識(shí)；方法；學(xué)習(xí)品質(zhì)

在傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)課堂上，教學(xué)大多以“學(xué)會(huì)”為目標(biāo)，教師通過(guò)“重復(fù)講、反復(fù)練”，將數(shù)學(xué)知識(shí)“強(qiáng)灌”給學(xué)生. 表面上看，以教師為主的講授式教學(xué)模式是高效的，通過(guò)教師講授，學(xué)生既可以快速記憶概念、公式、定理，又能通過(guò)模仿解決問(wèn)題. 但講授式教學(xué)模式忽視了學(xué)生的主體性，學(xué)生的學(xué)習(xí)是消極的、被動(dòng)的. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過(guò)程，讓學(xué)生知道“為什么學(xué)”“如何學(xué)”，使學(xué)生理解學(xué)習(xí)的真正價(jià)值，掌握數(shù)學(xué)研究方法，進(jìn)而走上“會(huì)學(xué)”之路.

教學(xué)內(nèi)容分析

三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，其在數(shù)學(xué)及其他領(lǐng)域中有重要作用. 任意角的三角函數(shù)建立在函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，是對(duì)初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)概念的拓展. 在本節(jié)課學(xué)習(xí)前，學(xué)生已經(jīng)掌握了“任意角和弧度制”知識(shí)，具有一定的探索銳角三角函數(shù)的相關(guān)經(jīng)驗(yàn). 這些知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為理解本節(jié)課內(nèi)容奠定了基礎(chǔ). 同時(shí)，學(xué)生具備一定的發(fā)現(xiàn)和探究能力，具有一定的研究數(shù)學(xué)概念的方法和經(jīng)驗(yàn)，這為開展探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了智力支持和方法保障.

教學(xué)過(guò)程

1. 回顧舊知，引入新課

師：生活中有許多“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，你能列舉一二嗎？

問(wèn)題給出后，學(xué)生積極思考，列舉了許多例子，如四季輪回、日出日落、摩天輪等.

師：大家對(duì)函數(shù)都不陌生，它是描述客觀世界運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的模型. 比如，我們會(huì)用二次函數(shù)來(lái)刻畫拋物線運(yùn)動(dòng)，用一次函數(shù)來(lái)刻畫直線運(yùn)動(dòng)，那么對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)，我們可以用什么函數(shù)來(lái)刻畫呢？

設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生熟悉的生活情境出發(fā)，利用“周而復(fù)始”的現(xiàn)象直觀感知三角函數(shù)模型的實(shí)際背景. 在此過(guò)程中，教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧已學(xué)的函數(shù)模型，讓學(xué)生體會(huì)引入新的函數(shù)模型的必要性和重要性，激發(fā)學(xué)生探究新知的熱情.

2. 合作探究，形成概念

問(wèn)題1 如圖1所示，點(diǎn)P表示摩天輪上的客艙，如何刻畫點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)情況呢？

設(shè)計(jì)意圖 選擇學(xué)生熟悉的摩天輪作為研究模型，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，用數(shù)學(xué)眼光去觀察，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述，用數(shù)學(xué)思維去思考，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

問(wèn)題2 圖2中x，y，r，α這四個(gè)變量之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

問(wèn)題3 假設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的角是銳角，你能得到怎樣的數(shù)量關(guān)系？

通過(guò)刻畫（x，y）與（r，α）之間的聯(lián)系，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)與圓周運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系. 同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生利用圖形來(lái)分析和解決問(wèn)題，這樣借助圖形的直觀既可以淡化學(xué)生對(duì)數(shù)的抽象感，提高學(xué)生探究的積極性，又能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和直觀想象素養(yǎng)，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升.

設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題給出后，引導(dǎo)學(xué)生畫出圖3所示的圖形，借助圖形讓學(xué)生理解，對(duì)于確定的角α，若其終邊確定，比值不會(huì)隨著點(diǎn)P在終邊位置上的變化而變化，繼而為引入單位圓埋下伏筆. 在以上探究活動(dòng)中，讓學(xué)生在“變與不變”中感悟思想、提煉規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

設(shè)計(jì)意圖 溝通角度制與弧度制之間的聯(lián)系，讓學(xué)生理解α是角，也是實(shí)數(shù)，逐步從探索銳角三角函數(shù)中的“函數(shù)關(guān)系”過(guò)渡至研究任意角三角函數(shù)的“函數(shù)關(guān)系”，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，感悟由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法. 同時(shí)，在此過(guò)程中，為了幫助學(xué)生理解終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想摩天輪旋轉(zhuǎn)的過(guò)程，以此生活背景為依托，激發(fā)學(xué)生的探索熱情，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

設(shè)計(jì)意圖 將銳角三角函數(shù)中的結(jié)論推廣至任意角中，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)遷移的魅力. 同時(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷類比、歸納、交流等過(guò)程完成概念的建構(gòu)，體會(huì)邏輯推理在獲得數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建知識(shí)體系中的價(jià)值，以此優(yōu)化研究方法.

問(wèn)題7 在問(wèn)題6的基礎(chǔ)上，繼續(xù)向一般推廣，你能發(fā)現(xiàn)什么？

設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題給出后，教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生對(duì)比、交流、推廣，在啟發(fā)和引導(dǎo)下自主歸納總結(jié)三角函數(shù)的定義.

問(wèn)題8 既然sinα，cosα，tanα的值與α終邊上的點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，能否在終邊上取適合的點(diǎn)P，用它來(lái)計(jì)算sinα，cosα，tanα的值，以此達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的效果呢？

設(shè)計(jì)意圖 充分發(fā)揮問(wèn)題情境承上啟下的作用，讓學(xué)生在特殊化的過(guò)程中理解引入單位圓的價(jià)值，感悟數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美.

在以上環(huán)節(jié)中，教師從學(xué)生熟悉的情境出發(fā)，借助摩天輪的運(yùn)動(dòng)情況，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷特殊到一般、具體到抽象的過(guò)程，逐步建立刻畫周期現(xiàn)象的模型——三角函數(shù)模型，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識(shí)及素養(yǎng).

3. 巧妙應(yīng)用，深化理解

例1 已知角α的終邊過(guò)P（2，－3），求sinα，cosα，tanα的值.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)“用”進(jìn)一步理解相關(guān)概念及方法，培養(yǎng)學(xué)生程序化思考問(wèn)題的品質(zhì). 另外，解題后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察各象限函數(shù)值的符號(hào)，為后續(xù)研究三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)埋下伏筆.

4. 課堂小結(jié)，建構(gòu)體系

說(shuō)說(shuō)本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)內(nèi)容，有什么收獲，并以小組為單位建構(gòu)知識(shí)框架圖.

設(shè)計(jì)意圖 將課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生通過(guò)交流、反思、回顧，建構(gòu)成如圖4所示的知識(shí)框架圖. 在鞏固知識(shí)的同時(shí)，建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生的思維更加有序，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng).

5. 分層作業(yè)，鞏固知識(shí)

作業(yè)在教學(xué)中是必不可少的. 在“雙減”背景下，為了實(shí)現(xiàn)“減負(fù)增效”的教學(xué)目標(biāo)，教師要結(jié)合教學(xué)設(shè)計(jì)分層作業(yè)，讓不同的學(xué)生都能有所發(fā)展、有所提升.

教學(xué)感悟

1. 關(guān)注過(guò)程

眾所周知，知識(shí)的掌握、技能的提升、能力的發(fā)展是無(wú)法通過(guò)直接講授來(lái)達(dá)成的，需要經(jīng)歷一個(gè)循序漸進(jìn)、反思頓悟的過(guò)程. 因此，教學(xué)中要提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生反思感悟，逐漸將知識(shí)內(nèi)化為能力. 若教學(xué)中采用“強(qiáng)灌”的教學(xué)方式，會(huì)束縛學(xué)生的思維，限制學(xué)生的發(fā)展. 在教學(xué)中，教師要不斷更新教學(xué)觀念，改變傳統(tǒng)的只追求結(jié)果的教學(xué)模式，帶領(lǐng)學(xué)生參與發(fā)現(xiàn)、構(gòu)建和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，讓學(xué)生深刻理解知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)研究方法，獲得可持續(xù)學(xué)習(xí)能力.

2. 關(guān)注整體

在教學(xué)中，教師應(yīng)從全局的角度出發(fā)，關(guān)注知識(shí)的前后聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生回顧與拓展，逐步完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)是一個(gè)慢過(guò)程，教師要學(xué)會(huì)放慢腳步，給學(xué)生一些時(shí)間和空間去探索與感悟，以此逐步提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).