關(guān)鍵詞：太陽神鳥圖案;圖像處理;幾何結(jié)構(gòu);等角螺旋

中圖分類號：TP391.41 文獻標志碼：A

0 引言（Introduction）

四川省成都市金沙遺址出土的太陽神鳥金箔圖案是中國文化遺產(chǎn)的標志，該圖案整體呈圓形，分為內(nèi)、外兩層：外層由4只首尾相連的飛鳥構(gòu)成;內(nèi)層由十二道弧形旋轉(zhuǎn)芒紋構(gòu)成。太陽神鳥金箔圖案的結(jié)構(gòu)精美，其背后隱含完美、嚴整的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu);其十二道弧形旋轉(zhuǎn)芒紋與數(shù)學(xué)中的等角螺旋規(guī)律相似，圖案中的幾何結(jié)構(gòu)和古代歷法可能存在一定的關(guān)聯(lián)[1]。如果能對太陽神鳥金箔圖案中的十二芒紋結(jié)構(gòu)與等角螺旋的關(guān)系進行嚴格評估，以及對相關(guān)幾何結(jié)構(gòu)的猜想進行定量考察及驗證，將為破譯金箔圖案具體的文化內(nèi)涵提供重要的數(shù)理依據(jù)。

因此，本文基于圖像處理技術(shù)對太陽神鳥金箔圖案中十二道弧形旋轉(zhuǎn)芒紋的等角螺旋及整體幾何結(jié)構(gòu)分布規(guī)律進行了定量研究、分析和驗證。首先，利用最小二乘法結(jié)合等角螺旋的數(shù)學(xué)表達式對圖案內(nèi)層弧形旋轉(zhuǎn)芒紋進行擬合。其次，在圖案幾何結(jié)構(gòu)猜想的基礎(chǔ)上得到重構(gòu)圖形，通過計算內(nèi)、外圈角點到中心的徑向距離相對于重構(gòu)圖形中兩個內(nèi)切圓半徑的誤差平均值，定量驗證相關(guān)猜想的合理性。實驗結(jié)果表明，太陽神鳥金箔圖案內(nèi)層的弧形旋轉(zhuǎn)芒紋符合等角螺旋結(jié)構(gòu)，其與古代歷法存在直接關(guān)聯(lián)。

1 圖案內(nèi)層等角螺旋的擬合（Fitting of equiangularspiral in inner layer of the pattern）

1.1 圖像預(yù)處理

本文主要基于圖案內(nèi)層的弧形旋轉(zhuǎn)芒紋形狀和位置的檢測，對太陽神鳥金箔圖案的幾何結(jié)構(gòu)進行猜想、分析和定量驗證，因為外層的太陽神鳥結(jié)構(gòu)不規(guī)則，不容易進行嚴格的幾何學(xué)性質(zhì)研究與分析，暫不在本文考察的范圍之內(nèi)。所以在正式的處理和分析步驟前，需要先通過圖像預(yù)處理操作將相關(guān)區(qū)域去除，具體算法如下。

（1）將太陽神鳥金箔圖案轉(zhuǎn)換為灰度圖。

（2）對所得灰度圖像進行二值化處理，并對二值化后的結(jié)果進行取反操作。

（3）獲取圖像中各白色區(qū)域的像素個數(shù)，并計算平均值m。

（4）從圖像中刪除像素數(shù)小于m 的白色區(qū)域。

太陽神鳥金箔圖案的原始灰度圖像和預(yù)處理后的二值圖像如圖1所示。

1.2 邊緣檢測

如圖1（b）所示，太陽神鳥金箔圖像內(nèi)層芒紋部分和其外圈區(qū)域像素值差別較大，這為檢測內(nèi)層旋轉(zhuǎn)芒紋邊緣提供了便利。Canny算子綜合考慮不同邊緣檢測算子的優(yōu)點和缺點，具有良好的邊緣檢測性能[2]。本文利用Canny算子對預(yù)處理后的圖像進行邊緣檢測。

利用Canny算子檢測圖像邊緣[3]的基本步驟如下。

（1）使用高斯平滑濾波器卷積降噪，對待檢測圖像進行平滑操作，去除噪聲。

（2）增強邊緣，利用不同梯度算子模板獲取圖像梯度幅值以及方向。

（3）遍歷圖像，找出圖像梯度幅值的局部最大值點。

（4）通過設(shè)置雙閾值的方法提取并連接圖像邊緣，即設(shè)置一個高閾值T_high和一個低閾值T_low，梯度幅值大于T_high，設(shè)為邊緣點，梯度幅值小于T_low，不作為邊緣點，位于兩者之間，則搜索其鄰域像素，梯度幅值大于T_low則保留為邊緣點，反之作為背景點。

利用Canny算子進行邊緣檢測后的結(jié)果如圖2所示。

1.3 霍夫圓變換定位圖案中心

霍夫變換是在數(shù)字圖像中進行直線和圓檢測的常用方法，其基本思想是構(gòu)造一個參數(shù)空間，首先將原圖像邊界上的點映射到該參數(shù)空間中，每次映射后參數(shù)空間都會進行一次累加，其次基于投票的機制選取參數(shù)空間中最多累計點的坐標，以此確定原圖像中需要檢測目標的參數(shù)[4-5]。

1.4.2 最小二乘法擬合

圖案內(nèi)層由十二道弧形旋轉(zhuǎn)芒紋組成，遍歷這些點分別得到每道芒紋的長邊和短邊上點的坐標，利用公式（5）和公式（6）得到一系列數(shù)據(jù)點（θi，ln ri），通過這些點由最小二乘法[8]求出長邊和短邊直線形式中的系數(shù)b 和ln a，進而得到等角螺旋線的參數(shù)b 和a。利用這些參數(shù)，結(jié)合中心點坐標，使用等角螺旋的極坐標方程進行擬合，所得擬合結(jié)果如圖5所示。顯然，太陽神鳥金箔圖像案中的十二道弧形旋轉(zhuǎn)芒紋本質(zhì)上應(yīng)為等角螺旋。

2 圖案幾何結(jié)構(gòu)的猜想及其重構(gòu)和角點檢測（Geometric structure guessing of the patternand its reconstruction and corner detection）

本文提出的太陽神鳥金箔圖案的幾何結(jié)構(gòu)猜想如圖6（a）所示，為了驗證猜想的合理性，首先對圖案的幾何結(jié)構(gòu)猜想進行重構(gòu)得到重構(gòu)圖形，其次利用數(shù)字圖像處理技術(shù)對重構(gòu)圖形中的整體幾何結(jié)構(gòu)分布規(guī)律進行定量研究、分析和驗證，定量考察圖6（a）所示猜想的合理性。驗證過程包括重構(gòu)圖形，檢測原圖形內(nèi)、外圈角點及計算角點到中心點距離的誤差值。

2.1 重構(gòu)所猜想圖形的幾何結(jié)構(gòu)

對原始圖像進行預(yù)處理和邊緣檢測之后，在通過霍夫變換所得的外圈圓上作外接正方形，然后在外接的正方形上做外接圓，得到該圓的內(nèi)接正五邊形，連接正五邊形的對角線，此時正五邊形對角線交點在圖案內(nèi)圈構(gòu)成一個小正五邊形，在圖像中畫出此小正五邊形的內(nèi)切圓。接下來，作圖案外圈圓的內(nèi)接正方形，然后在圖像中畫出該內(nèi)接正方形的內(nèi)切圓，最終構(gòu)造出如圖6（b）所示的圖形。

角點檢測的具體步驟如下。

（1）在圖案內(nèi)圈曲線的每個點上，根據(jù)前后相鄰的5、10、15個點，按照弦點距離累積技術(shù)計算3個離散曲率。

（2）對每個點的3個曲率進行歸一化，然后將它們相乘，得到曲率積。

（3）設(shè)定曲率閾值Th 為0.4，將每個點的曲率積與曲率閾值相比較，去除曲率積小于Th 的點。

采用上述算法所得角點檢測結(jié)果如圖8所示。

3 實驗結(jié)果與誤差分析（Experimental results and error analysis）

3.1 實驗結(jié)果

實驗主要對圖案內(nèi)層的兩圈角點到圖案中心的距離進行誤差分析，分別計算每個角點到中心點的距離與構(gòu)造圖形中對應(yīng)內(nèi)切圓半徑之差和該半徑的比值，并求取圖案內(nèi)層兩圈角點誤差平均值。進行實驗的電腦配置如下：Intel（R） Core（TM）i5-11500 CPU @2.70 GHz，安裝內(nèi)存為8 GB，編程環(huán)境為Matlab R2018b。表1中所列數(shù)據(jù)為圖案內(nèi)層離中心較近的角點的坐標及誤差，檢測出來的角點共有12個，其中有11個角點的誤差皆在5%以內(nèi)，平均誤差為2.110%。表2為圖案內(nèi)層離中心較遠的角點的坐標及誤差，檢測出來的角點共有12個，誤差都在8%以內(nèi)，平均誤差為5.222%。由此可以認為，圖案內(nèi)層檢測出來的角點都在本文所構(gòu)造圖形的兩內(nèi)切圓附近。

3.2 誤差分析

總體來說，檢測出來的角點到中心的距離相對點所對應(yīng)的內(nèi)切圓半徑而言誤差都較小，平均誤差在5.3%以內(nèi)。其中，產(chǎn)生誤差較大的因素可能是角點檢測時對坐標的定位不夠精確、對圖案中心坐標定位不夠精確導(dǎo)致構(gòu)造圖形時計算內(nèi)切圓和外接圓半徑時存在誤差等。

4 結(jié)論（Conclusion）

太陽神鳥金箔圖案中蘊含著豐富的歷史文化信息，對其幾何結(jié)構(gòu)的分析對相關(guān)領(lǐng)域的研究具有重要意義。本文利用圖像處理技術(shù)對太陽神鳥金箔圖案中的幾何結(jié)構(gòu)進行了猜想、驗證和分析研究，確立了圖案中的十二道弧形旋轉(zhuǎn)芒紋和等角螺旋的關(guān)系，并對提出的圖案幾何結(jié)構(gòu)猜想進行定量考察。實驗結(jié)果顯示，圖案中的弧形旋轉(zhuǎn)芒紋符合等角螺旋結(jié)構(gòu)，圖案內(nèi)層的角點都在所構(gòu)造圖形兩內(nèi)切圓附近。古代歷法中隱含了嚴格的數(shù)學(xué)規(guī)律，考慮到三星堆遺址出土的太陽輪對圓周之五等分結(jié)構(gòu)與古代十月太陽歷的關(guān)聯(lián)，以及金沙遺址文明對三星堆文化的繼承關(guān)系[10]，本文通過在太陽神鳥金箔圖案中構(gòu)造正五邊形結(jié)構(gòu)，并結(jié)合相關(guān)內(nèi)切圓驗證其中所蘊含的數(shù)學(xué)規(guī)律具有邏輯性和合理性，可為其與古代歷法關(guān)系的進一步研究提供幾何學(xué)和定量參考依據(jù)?；诒疚牡难芯拷Y(jié)果，研究人員有更充分的理由認為太陽神鳥金箔圖案和古代歷法存在直接關(guān)聯(lián)，有待于在未來研究中進一步結(jié)合多學(xué)科知識進行系統(tǒng)、深入的考察和分析。

作者簡介：

楊 齊（1999-），男，碩士生。研究領(lǐng)域：醫(yī)學(xué)圖像處理。

丁佳語（2002-），女，本科生。研究領(lǐng)域：醫(yī)學(xué)圖像處理。

陳兆學(xué)（1975-），男，博士，副教授。研究領(lǐng)域：醫(yī)學(xué)圖像處理，生物醫(yī)學(xué)信號處理。