馬林剛

數(shù)學(xué)是問題的學(xué)科，提出問題、解決問題在解題的過程中往往起著關(guān)鍵作用，通過提出問題、解決問題，架設(shè)起已知和未知之間的橋梁.同樣一個(gè)問題，從不同的角度進(jìn)行分析、聯(lián)想，建立不同的解題思路，會(huì)提出不同的問題，但落腳點(diǎn)都是解決問題.在教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生展示思考的成果，教師和學(xué)生一起提出問題、解決問題.不僅提高了學(xué)生的思維水平、表達(dá)能力，還豐富了學(xué)生解題體驗(yàn)，拓寬了解決問題的內(nèi)涵，提升對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)知.本文以教學(xué)中處理一道習(xí)題的過程為例，談提出好的問題在解決問題中的作用.

問題 （2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽試題第5題）已知函數(shù)f：{1，2，…，10}→{1，2，3，4，5}，且對(duì)一切k=1，2，…，9，有|f（k+1）－f（k）|≥3.則符合條件的函數(shù)f的個(gè)數(shù)為 .

分析：老師布置此題目作為課后思考題，給了學(xué)生充足的時(shí)間思考.講解之初，由老師拋磚引玉.

一道看似很簡(jiǎn)單考察函數(shù)的定義的題目，似乎用列舉就可以輕而易舉的解決.但實(shí)際操作起來卻發(fā)現(xiàn)很復(fù)雜，容易算錯(cuò).

講解之前教師提出三個(gè)問題：

（1）怎樣化繁為簡(jiǎn)，研究出問題的本質(zhì)，得到準(zhǔn)確的答案？

（2）哪些數(shù)學(xué)解題思想在主導(dǎo)著解決問題的方向？

（3）此問題還可以怎樣變形？

首先，直接列舉：

雖然發(fā)現(xiàn)到了一些對(duì)解題有作用的性質(zhì)：（1）f（x）≠3.若f（x）=3，f（x-1）或f（x+1）沒有解.（集合{1，2，3，4，5}中最大的元素為5，最小的元素為1，|3－1|=|5－3|=2<3）f（x）的可能取值只能是集合{1，2，4，5}中的4個(gè)元素；（2）函數(shù)值隨著自變量的改變呈現(xiàn)類似于周期性的性質(zhì)；（3）考慮對(duì)題目做“退化”處理，研究f：{1，2，…，5}→{1，2，3，4，5}，或者研究f：{1，2，…，4}→{1，2，3，4，5}.

其次，教師再次提出問題：退化處理后發(fā)現(xiàn)解決確定函數(shù)的過程就是確定定義域內(nèi)每個(gè)元素的象.但是題目要求并不是求出這些函數(shù)，而是求出符合條件的函數(shù)的個(gè)數(shù)，是否可以把這個(gè)周期性用得更寬泛？

這時(shí)想到的是從f（1）→f（5），f（5）→f（10）結(jié)果不夠理想.于是列出表格：

繼續(xù)進(jìn)行討論：當(dāng)f（1）=1時(shí)，f（4）有2種時(shí)候等于4，有3種時(shí)候等于5；

當(dāng)f（1）=2時(shí)，f（4）有1種時(shí)候等于4，有2種時(shí)候等于5；當(dāng)f（1）=4時(shí)，f（4）有2種時(shí)候等于1，有1種時(shí)候等于2；當(dāng)f（1）=5時(shí)，f（4）有3種時(shí)候等于1，有2種時(shí)候等于2.

繼而得到： f（4）會(huì)出現(xiàn)5次1，3次2，3次4，5次5.對(duì)于f（7）而言，f（4）=1會(huì)產(chǎn)生5×2次4，5×3次5；f（4）=2會(huì)產(chǎn)生3×1次4，3×2次5；f（4）=4會(huì)產(chǎn)生3×2次1，3×1次2；f（4）=5會(huì)產(chǎn)生5×3次1，5×2次2.共有21次f（7）=1，13次f（7）=2，13次f（7）=4，21次f（7）=5.對(duì)于從f（7）到f（10），f（7）=1得到f（10）有21×5種情況，f（7）=2得到f（10）有13×2種情況，f（7）=4得到f（10）有13×3種情況，f（7）=5得到f（10）有21×5種情況.共計(jì)288種情況.

教師：這是本人的做法，解答比較繁雜，自己覺得成功之處在于分三步走，先退化到簡(jiǎn)單情形，本來想兩步解決，但列舉時(shí)發(fā)現(xiàn)可以分三次走更輕松.個(gè)人覺得沒有把題目蘊(yùn)含的本質(zhì)搞清楚，只看到了問題的一面.對(duì)題目的本質(zhì)局限在函數(shù)的定義，沒有找到更好的數(shù)學(xué)模型.

教師提出問題：本題還可以做什么樣的推廣和拓展？

學(xué)生甲：我先證明一個(gè)引理：從左至右m個(gè)位置（m≥2n+1），n個(gè)相同的元素放在m個(gè)位置，要求這n個(gè)元素互不相鄰，有Cnm－n+1種放法.

因?yàn)閚個(gè)元素要占用n個(gè)位置且不相鄰，所以需要用m－n個(gè)座位來隔開這n個(gè)元素，于是出現(xiàn)m－n+1個(gè)空格（因?yàn)閮啥烁饔?個(gè)，中間有m－n－1個(gè)），n個(gè)元素在這m－n+1個(gè)空格種選擇，因?yàn)椴环直舜耍杂蠧nm－n+1種放法.

這對(duì)于本題有什么作用呢？我們先來看一種特殊情形：5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 .

現(xiàn)在5的位置可以用4替換，1的位置可以用2替換，但是相鄰的兩個(gè)數(shù)不能同時(shí)被替換，那樣就不滿足|f（k+1）－f（k）|≥3.而 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 的情況與之類似，故總的對(duì)應(yīng)有2（C010－0+1+C110－1+1+C210－2+1+C310－3+1+C410－4+1+C510－5+1）=2（C011+C110+C29+C38+C47+C56）個(gè).

教師：甲同學(xué)的解答重在建立了一種可靠的模型，比我的做法簡(jiǎn)單很多，值得借鑒，把不熟悉的問題通過建立模型轉(zhuǎn)化到熟悉的場(chǎng)景下解決是常用的方法.給甲同學(xué)掌聲鼓勵(lì).

教師再次提出問題：（1）可以用有限歸納的方法來討論嗎？（2）如果用有限歸納的方法討論是不是不嚴(yán)謹(jǐn)？（3）怎么處理這個(gè)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯栴}？

我發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)的做法很有趣，他回答了問題（1），下面請(qǐng)乙同學(xué)在黑板上板書講解.

乙同學(xué)：我也是列舉了一個(gè)樹狀圖，不過是以對(duì)應(yīng)的種數(shù)來列的，結(jié)果好象出現(xiàn)了斐波那契數(shù)列.首先：確立如右的對(duì)應(yīng)，建立這樣的對(duì)應(yīng)是基于1和5有相同的屬性，就是對(duì)應(yīng)的元素可以有兩種情形，如f（k）=1，則f（k+1）=4或者5；f（k）=5，則f（k+1）=1或者2；而如果f（k）=2，則f（k+1）=5；f（k）=4，則f（k+1）=1.于是A→B或A，而B→A.

經(jīng)過有限歸納，我猜想：接下來是

當(dāng)f（1）=1或者2時(shí)，情況一樣，也是144種，所以共有288個(gè)對(duì)應(yīng).如下所示.

教師：乙同學(xué)做得很棒，如果能夠給后面的推導(dǎo)有個(gè)更加嚴(yán)格的說明就好了.有沒有同學(xué)想好的？

丙同學(xué)：還是針對(duì)黑板上的情況，我們分析f（k）=ak，{an}滿足斐波那契數(shù)列，就是要滿足：①a1=a2=1，②n≥2時(shí)，an+1=an+an－1.顯然①滿足，對(duì)于②，f（k－1）出現(xiàn)了x個(gè)A，y個(gè)B，即an-1=x+y.則f（k）出現(xiàn)了x+y個(gè)A，x個(gè)B，即an=（x+y）+x；于是f（k+1）出現(xiàn)了x+（x+y）個(gè)A，x+y個(gè)B，即an+1=x+（x+y）+（x+y）=3x+2y=an－1+an.

教師：謝謝丙同學(xué)給出了相對(duì)嚴(yán)格的證明.乙同學(xué)借助斐波那契數(shù)列的模型解決了問題，丙同學(xué)的分析也很科學(xué).本題的求解中對(duì)于條件的簡(jiǎn)化與假設(shè)都是值得學(xué)習(xí)的，這就是去偽存真，抓住本質(zhì)的過程.希望同學(xué)多思考，多總結(jié)，多交流，把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、深化問題解決越做越好.感謝三位同學(xué)的精彩分析.

課后記：縱觀三種做法，乙同學(xué)的做法在得到丙同學(xué)的嚴(yán)格證明后不失為最接近本質(zhì)的做法，甲同學(xué)借助的排列組合知識(shí)值得肯定，只有老師的做法顯得不夠精巧，說明同學(xué)們的思維非常開放而又靈活，值得表揚(yáng).合理聯(lián)想，建立契合題目的數(shù)學(xué)模型，是今后解決問題中應(yīng)該有意考慮的問題.