摘 要 提出了建立雙退化取等不等式的五個步驟；并用這五個步驟建立了若干對稱型、輪換對稱型、局部對稱型雙退化取等不等式，并實現(xiàn)了雙退化取等不等式的自動發(fā)現(xiàn)；對全退化不等式和直角關聯(lián)取等不等式進行了初步討論.

關鍵詞 三角形幾何不等式；不等式取等號條件；不等式自動發(fā)現(xiàn)

中圖分類號 O122. 3 文獻標識碼 A

在三角形幾何不等式研究中，人們常用各種退化情形確認不等式的最佳系數(shù). 一些不等式在退化情形下取等號，這也是人們所熟知的. 文獻[1]比較多地討論總結了三角形中常見的幾種退化情形，并約定了相應退化情形的記號，文中的三角形半角三角函數(shù)不等式基本都是退化取等的，有些則是多退化取等. 文獻[2]中的不等式Hcx-8也是典型的退化取等不等式. 除此之外，近幾年文獻[2]作者又提出了若干退化取等不等式，這些不等式引起了筆者對退化取等不等式的進一步關注和思考.

以下約定：ΔABC三邊為a，b，c，半周為s，角平分線、中線、類似中線和高分別為wa，wb，wc、ma，mb，mc、ka，kb，kc和ha，hb，hc，內(nèi)切圓和外接圓半徑分別為r和R，過Nagel點的Ceva線為na，nb，nc，過Gergonne點的Ceva線為ga，gb，gc，用∑和∏分別表示循環(huán)和與循環(huán)積.

1 有關概念和表示符號

1. 1 雙退化取等不等式

本文中的雙退化取等不等式是指不等式在正三角形時取等，且三角形三邊退化為（1，1，2）和（1，1，0）兩種情形時也取等號的不等式. 文獻[1]將退化情形（1，1，0）時不等式取等號用符號{Δ0}表示，將退化情形（1，1，2）時不等式取等號用符號{Δ1}表示. 為了敘述方便和統(tǒng)一，本文約定：如果（1，1，2）和（1，1，0）兩種情形時不等式都取等號，即雙退化時取等，則用{Δd}表示.

1. 2 雙退化幾何量

三角形中某個幾何量如果在正三角形時歸零，且在（1，1，2）和（1，1，0）兩種退化情況下也都歸零，則稱這個幾何量為雙退化幾何量. 顯然雙退化取等不等式的式差就是雙退化幾何量. 兩個雙退化幾何量的和與差仍是雙退化幾何量，利用這個性質可以加強雙退化取等不等式.

9 結 語

現(xiàn)代意義的不等式機器證明及自動發(fā)現(xiàn)軟件至少應該具有如下幾個特征：一是構造和組織數(shù)據(jù)的能力；二是對數(shù)據(jù)進行判定和排序的能力；三是能夠按照預定的策略接近目標，并表現(xiàn)出一定的智能；四是對數(shù)據(jù)的檢索和管理能力；五是與其它證明器有交換數(shù)據(jù)的能力. 這些能力都是傳統(tǒng)的證明器所不具備的. 不等式自動發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2012也是按照這個目標設計和努力的，雖然有些功能還比較弱，但已經(jīng)具備了初步的功能. 本文退化取等不等式構造規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，以及與之相關的數(shù)據(jù)類型進一步豐富和強化了agl2012程序的有關功能. 從不等式的強度來講，退化情形和特殊取等條件越多，不等式的最強點就越多，從而不等式的總體強度也就越大. 不論是雙退化取等不等式，還是全退化取等不等式和直角關聯(lián)取等不等式，由于都增加了不等式的取等條件，所以與普通不等式相比就強的多. 可以這樣說，最佳系數(shù)和不等式取等號條件的個數(shù)構成了不等式強度的維數(shù). 從這個意義上講，退化取等不等式無疑就是一種高端不等式，需要重視和進一步研究之.

參考文獻

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Research on Equality Condition of

Double-Degeneracy Inequality

LIU Baoqian

（Information Center， Tibet Organizational Establishment， Lhasa 850000， Tibet， China）

Abstract" In this paper， five steps to establish the equality condition of double-degeneracy inequality are proposed. By using these five steps， some inequalities of symmetric type， rotational type and local symmetric type are established， and the automatic discovery of the inequalities is realized. The total degeneracy inequality and equality condition being right angle is discussed.

Keywords" triangle geometric inequality; equality condition; automatic discovery of inequalities

收稿日期：2023 －06 －12

作者簡介：劉保乾（1962—），男（漢族），陜西鳳翔人，本科. 研究方向：幾何不等式與機器證明.

E-mail：wshr987@163. com