摘 要 應(yīng)用Karamata不等式、Popoviciu不等式、算術(shù)-幾何平均不等式和凸函數(shù)的性質(zhì)，證明了兩族推廣的孿生對(duì)稱(chēng)不等式.

關(guān)鍵詞 Karamata不等式；Popoviciu不等式；對(duì)稱(chēng)不等式；凸函數(shù)；算術(shù)-幾何平均不等式

中圖分類(lèi)號(hào) O211 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

1 引 言

對(duì)稱(chēng)不等式結(jié)構(gòu)表現(xiàn)均衡，結(jié)論簡(jiǎn)潔優(yōu)美，其論證的方法也包含各種特別的技巧，彰顯了數(shù)學(xué)證明之美，對(duì)稱(chēng)不等式問(wèn)題的研究是一個(gè)充滿(mǎn)生命力的數(shù)學(xué)領(lǐng)域. 本文主要探討兩族對(duì)稱(chēng)不等式的證明，一族具有置換對(duì)稱(chēng)Sn的對(duì)稱(chēng)性，另一族具有對(duì)稱(chēng)性稍弱的循環(huán)對(duì)稱(chēng)Cn的對(duì)稱(chēng)性[1，2]. 一般來(lái)講，前類(lèi)對(duì)稱(chēng)不等式的證明相對(duì)比較容易，后類(lèi)對(duì)稱(chēng)不等式的證明則比較困難. 本文將利用凸函數(shù)的性質(zhì)，建立兩類(lèi)對(duì)稱(chēng)不等式之間的一個(gè)大小關(guān)系，在證明了具有置換對(duì)稱(chēng)的不等式后，進(jìn)一步借助該大小關(guān)系便捷地證明了具有循環(huán)對(duì)稱(chēng)的不等式的相關(guān)結(jié)果. 由于兩族對(duì)稱(chēng)不等式形式結(jié)構(gòu)上幾乎相同，只是對(duì)稱(chēng)性有強(qiáng)弱差異，結(jié)論也一致，故稱(chēng)之為孿生對(duì)稱(chēng)不等式.

參與證明的主要預(yù)備知識(shí)是多元函數(shù)的凸性性質(zhì)以及一些經(jīng)典的不等式：算術(shù)-幾何平均不等式、Karamata不等式和Popoviciu不等式. 多元函數(shù)的凸性是高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，在不等式的證明、求級(jí)數(shù)之和等方面均具有廣泛地應(yīng)用[3，4]. 文中引用的Karamata不等式是凸性函數(shù)所擁有的控制不等式，利用Karamata不等式可以便捷地求解一些對(duì)稱(chēng)不等式的最值問(wèn)題[5-8]. 文中引用的Popoviciu不等式也是關(guān)于凸性多元函數(shù)的不等式，該不等式揭示了凸函數(shù)在一組數(shù)據(jù)點(diǎn)的函數(shù)值之間的一種有趣關(guān)系. 巧用該不等式，可以很好地解決某些對(duì)稱(chēng)不等式難題. 文獻(xiàn)[8]對(duì)兩族孿生對(duì)稱(chēng)不等式在冪次參數(shù)p，q滿(mǎn)足p＞0，q＞0，p＋q＝1的情況下給出了較好的結(jié)果，本文將其推廣到p＞0，q＞0，p＋q＝2的情形. 文獻(xiàn)[8]簡(jiǎn)單利用算術(shù)-幾何平均不等式和Karamata不等式的證明途徑已經(jīng)不適合參數(shù)p＋q＝2的情況，無(wú)法證明得到結(jié)論. 幸運(yùn)的是，Popoviciu不等式的使用可以克服證明的困難，巧用Popoviciu不等式，使得證明兩族推廣的對(duì)稱(chēng)不等式的難度大大降低，得到了預(yù)期的結(jié)果，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)證明之美.

5 結(jié) 論

本文應(yīng)用經(jīng)典的算術(shù)-幾何平均不等式、Karamata不等式、Popoviciu不等式和凸函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，證明了兩族推廣的孿生對(duì)稱(chēng)不等式. 巧用Popoviciu不等式可以克服利用Karamata不等式無(wú)法直接證明的障礙，降低了證明難度，證明了具有置換對(duì)稱(chēng)性的推廣對(duì)稱(chēng)不等式；另一方面，利用函數(shù)凸性，建立了兩族孿生對(duì)稱(chēng)不等式之間的大小關(guān)系，從而進(jìn)一步便捷地證明了具有循環(huán)對(duì)稱(chēng)性的另一族對(duì)稱(chēng)不等式，彰顯了對(duì)稱(chēng)不等式的證明之美. 本文得到的兩族孿生對(duì)稱(chēng)不等式成立有條件限制，要求冪次參數(shù)p滿(mǎn)足≤， p≥，希望后續(xù)有學(xué)者的深入研究可以將這一限制搬掉，得到一般參數(shù)0＜p＜2的相關(guān)證明.

參考文獻(xiàn)

[1]" ARMSTRONG M A. Groups and symmetry[M]. New York：Springer-Verlag，1988.

[2]" FILED M，GOLUBITSKY M. Symmetric chaos[J]. Computer in Physics，1990（9）：470-478.

[3]" 唐月紅，劉萍，王東紅. 高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M]. 2版. 北京：科學(xué)出版社，2017：113.

[4]" 趙添潤(rùn)，王東紅，王巖青. 一組凹凸性不等式及其應(yīng)用[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2021，37（1）：119-122.

[5]" 王伯英. 控制不等式[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，1990.

[6]" 韓京俊. 初等不等式的證明方法[M]. 2版. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)出版社，2014.

[7]" 丁立剛，楊金林. 關(guān)于Kuramata不等式的一個(gè)證明[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2008，24（5）：149-152.

[8]" 葉瑞松，歐陽(yáng)培昌. 兩族孿生對(duì)稱(chēng)不等式的證明[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2023，39（2）：78-83.

[9]" 瓦西里·切爾托阿杰. 數(shù)學(xué)不等式（第五卷）[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)出版社，2021.

[10]" 葉瑞松. 一個(gè)三元輪換對(duì)稱(chēng)不等式及其推廣的證明[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2023，62（6）：61-63.

On the Proofs of Two Groups of GeneralizedTwin Symmetric Inequalities

YE Ruisong

（Department of Mathematics， Shantou University， Shantou 515063， Guangdong， China）

Abstract" Based on Karamata inequality， Popoviciu inequality， arithmetic-geometric mean inequality and the properties of convex function， two groups of generalized twin symmetric inequalities are proved.

Keywords" Karamata inequality; Popoviciu inequality; symmetric inequality; convex function; arithmetic-geometric mean inequality

收稿日期：2023 - 10 - 18

作者簡(jiǎn)介：葉瑞松（1968—），男，博士，教授，研究方向：從事分形混沌及其應(yīng)用，圖像信息安全，數(shù)學(xué)教育等研究. E-mail：rsye@stu.edu.cn

基金項(xiàng)目：廣東省基礎(chǔ)與應(yīng)用基礎(chǔ)研究基金項(xiàng)目（2023A1515030199）