收稿日期：2023-01-06

基金項目：預(yù)制艙式磷酸鐵鋰電池儲能電站消防安全關(guān)鍵技術(shù)（KJ22-1-30）

通信作者：韓喬妮（1989—），女，博士、副教授，主要從事智能電網(wǎng)能源管理等方面的研究。qnhan@tju.edu.cn

DOI：10.19912/j.0254-0096.tynxb.2023-0024 文章編號：0254-0096（2024）05-0240-11

摘 要：為解決鋰電池荷電狀態(tài)與健康狀態(tài)互相耦合問題，提出一種基于等效電路模型-改進高斯過程回歸的鋰離子電池荷電狀態(tài)（SOC）-健康狀態(tài)（SOH）的聯(lián)合估計框架。該框架通過提取容量增量曲線中的健康特征，進行主成分分析，然后建立電池老化的改進高斯過程回歸模型進行SOH預(yù)測。在此基礎(chǔ)上，建立鋰電池一階狀態(tài)空間模型，并結(jié)合改進粒子濾波算法對后一周期的SOC更新，實現(xiàn)SOC及SOH的聯(lián)合長期估計。牛津數(shù)據(jù)集中的8個電池被用來驗證該框架的準(zhǔn)確性和適應(yīng)性，取得了較好的估計結(jié)果。

關(guān)鍵詞：鋰離子電池；容量增量；聯(lián)合狀態(tài)估計；等效電路模型；粒子濾波算法；高斯過程回歸

中圖分類號：TM912.1"""""""""" """"""""nbsp; """""""文獻標(biāo)志碼：A

0 引 言

在實現(xiàn)“雙碳”戰(zhàn)略目標(biāo)的背景下，能源結(jié)構(gòu)的調(diào)整和轉(zhuǎn)型勢在必行。鋰離子電池以其高輸出電壓、循環(huán)壽命長、能量密度大、自放電率低、工作范圍廣等優(yōu)點備受歡迎［1-2］，已被越來越多應(yīng)用在各領(lǐng)域，其中以儲能、新能源汽車最為突出［3-6］。因此，鋰離子電池的安全性和可靠性是其應(yīng)用中必須特別關(guān)注的問題，這對電池管理系統(tǒng)以及近幾年發(fā)展起來的電池的健康管理與壽命預(yù)測提出更高要求。以電池管理系統(tǒng)為例，其主要通過對電池健康參數(shù)的預(yù)測來控制電池充放電，保證系統(tǒng)可靠運行［7-9］?？梢?，電池狀態(tài)參數(shù)的估計是電池管理系統(tǒng)中最重要的環(huán)節(jié)。電池的荷電狀態(tài)（state of charge，SOC）為當(dāng)前循環(huán)中剩余的容量與可用的容量的比值，反映電池當(dāng)前循環(huán)的狀態(tài)；電池的健康狀態(tài)（state of health，SOH）為循環(huán)充放電下電池可用的容量與額定容量的比值，反映電池未來的狀態(tài)［9］。二者全面表征電池的狀態(tài)，對其進行準(zhǔn)確地估計和預(yù)測是系統(tǒng)穩(wěn)定運行的關(guān)鍵。

國內(nèi)外對SOC的估計方法主要有直接測量法、電路模型法［10］。直接測量法基于SOC的定義，主要有電流積分法、放電實驗法、開路電壓法、電化學(xué)阻抗法、內(nèi)阻法等。通常情況下，該類估計需要長時間的測量，且估計精度取決于傳感器的精度，是開環(huán)的方法，誤差易積累，無校正更新環(huán)節(jié)。電路模型的方法一般是通過建立電池的等效電路模型（equivalent circuit model，ECM）模擬電池的外特性，具有代表性的等效電路模型有Thevenin模型、二階阻容（resistance capacitance，RC）模型及三階RC模型［11］。而文獻［11］研究發(fā)現(xiàn)高階模型在計算量與參數(shù)辨識復(fù)雜度大大增加的同時，精度的提升十分有限，因此高階模型的研究只適用于實驗室研究。此外，模型法一般需結(jié)合卡爾曼濾波等算法對預(yù)測進行更新，根據(jù)觀測值校正初始誤差的累積［12-14］，其中，卡爾曼濾波等方法本質(zhì)上是對線性系統(tǒng)進行的狀態(tài)估計，而電池系統(tǒng)是典型的非線性系統(tǒng)，需考慮非線性預(yù)測的問題。另外，該類方法最大的缺點就是隨著電池循環(huán)次數(shù)增多，模型的參數(shù)也會發(fā)生變化，因此不適合循環(huán)充放電下的SOC估計。

隨著大數(shù)據(jù)的興起，對SOH估計的研究主要以數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法最廣泛［15-17］。主要通過提取能表征電池SOH的健康特征（health features，HFs），對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［18-19］、支持向量回歸機、相關(guān)向量回歸機［20-21］、高斯過程回歸［22-23］、粒子濾波［21，24］等數(shù)據(jù)驅(qū)動的模型進行訓(xùn)練求解預(yù)測狀態(tài)，該類方法通常對HFs的構(gòu)建要求很高。文獻［22］提取等壓差放電時間作為HFs，僅適用于恒流放電工況；文獻［25］以差分溫度作為HFs，然而溫度的變化頻率很高，不易捕捉特定區(qū)間內(nèi)差分溫度，且使用性不廣，此外，很多文獻直接給出HF，缺少清楚合理的提取方法［26-28］。

針對上述問題，本文提出一種基于一階等效電路模型-改進高斯過程回歸的鋰離子電池SOC及SOH聯(lián)合估計框架，克服了HFs構(gòu)建困難、卡爾曼濾波為線性預(yù)測以及SOC-SOH單獨估計不適合循環(huán)充放電下進行長期估計等問題。首先，提取容量增量曲線以卡爾曼濾波進行平滑處理，構(gòu)建并優(yōu)化HFs，其次，建立電池老化的改進高斯過程回歸模型。在進行SOC估計時，通過擬合充電階段的電壓曲線進行一階ECM的參數(shù)辨識，據(jù)此，建立鋰電池系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程，應(yīng)用改進粒子濾波算法（improved particle filter，IPF）結(jié)合SOH的預(yù)測對后一周期的SOC更新，進行SOH與SOC聯(lián)合估計，從而實現(xiàn)長循環(huán)周期下的SOC-SOH預(yù)測。

1 基于容量增量曲線的健康特征的構(gòu)建與優(yōu)化

1.1 容量增量曲線的提取和優(yōu)化

本文所用鋰離子電池數(shù)據(jù)來自于牛津電池老化公開數(shù)據(jù)集（Oxford Battery Degradation Dataset）［29-30］。數(shù)據(jù)集包含8塊kokam （SLPB533459H4）額定容量為740 mAh的LiCoO2鋰離子軟包電池。該循環(huán)老化測試實驗在40 ℃的溫箱下進行。實驗過程如表1所示。

本文使用表1中步驟4）記錄的數(shù)據(jù)進行容量增量（incremental capacity，IC）曲線的提取和優(yōu)化。許多研究表明，IC曲線能表征鋰離子電池的老化機理，從電化學(xué)的角度解釋電池壽命的老化。式（1）、式（2）為提取IC曲線的過程，具體思路為以固定間隔的電壓[?V]近似代替[dV]，計算該間隔下容量的變化[?Q]，因此在[?V→0]時，則有：

[dQdV≈I（k+l）-I（k）T（k+l）-T（k）V（k+l）-V（k）]""""" （1）

式中：Q——電池容量；V——電池端電壓；[I]——充電電流，A；[l]——采樣間隔，s；[T]——充電時間，s。

[l]選取過小，會導(dǎo)致較大的噪聲，[l]選取較大，可能會造成有效信息的遺失。經(jīng)過試錯法，本文選取[l]為20 s，另外，由于電壓平臺的原因，從數(shù)據(jù)中直接計算曲線IC會存在較大的波動，本文基于卡爾曼濾波算法對曲線進行濾波優(yōu)化，以進一步得到無噪聲的IC曲線。建立卡爾曼濾波（Kalman filter，KF）的狀態(tài)方程和觀測方程如式（2）所示。

[?Q?V（k+1）=?Q?V（k）+w（k）?Q?V（k+1）=?Q?V（k+1）+v（k）]""""" （2）

式中：[?Q?V（k+1）]——濾波后第[k+1]時刻的值；[w（k）]——狀態(tài)噪聲；[v（k）]——觀測噪聲。

卡爾曼濾波優(yōu)化前后的IC曲線如圖1所示。

圖1中，隨著循環(huán)次數(shù)的增多IC曲線顏色表現(xiàn)為由淺到深。二者對比，右圖IC的峰值達到14000，不利于數(shù)據(jù)處理，而左圖更光滑，且部分噪聲被消除，IC的峰值也降為2500，同時也保留了原始IC曲線中的整體信息，體現(xiàn)出卡爾曼濾波用于降噪處理以構(gòu)建HFs的重要性。

1.2 健康特征的構(gòu)建和驗證

不少研究表明IC曲線隨循環(huán)次數(shù)的變化攜帶鋰電池失效的電化學(xué)信息，但對IC曲線在線分析并用于SOH估計的HFs的構(gòu)建卻少有研究［31-33］。本節(jié)首先從IC曲線提取出4類6維健康特征，以構(gòu)建鋰電池容量衰退的HFs。分別為：

1）IC曲線的峰值HF1，恒壓下IC曲線的高度HF2；

2）IC曲線峰值所對應(yīng)的電壓HF3；

3）IC曲線峰值的積分HF4，恒壓下IC曲線高度的積分HF5；

4）IC曲線的最大斜率HF6。

如上所述，以電池1為例，提取其IC曲線并構(gòu)建4類HFs并進行標(biāo)準(zhǔn)化處理，見圖2。

圖2雖直觀反映了HFs與電池容量隨循環(huán)次數(shù)衰減的趨勢，但不足以表達二者之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。下面采用皮爾遜相關(guān)系數(shù)（Pearson correlation coefficient，PCC）以及灰色關(guān)聯(lián)度（grey relational analysis，GRA）定量分析HFs與容量之間的相關(guān)程度。

令標(biāo)準(zhǔn)化處理后的容量序列為參考序列[Y=y（k），k=1，2，…，n，]令HFs序列為比較序列[Xi=xi（k），i=1，2，…，6，k=1，2，…，n]。用于計算二者關(guān)聯(lián)程度的PCC如式（3）所示。

[p=k=1nXk-XYk-Yk=1nXk-X2k=1nYk-Y2]"""""" （3）

在鋰離子電池系統(tǒng)中基本處理同上，第[i]維HF序列[Xi]和容量[Y]之間的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)表示為式（4）。

[ξi（k）=→miny（k）-xi（k）+ρmax?ky（k）-xi（k）y（k）-xi（k）+ρmax?ky（k）-xi（k）， i=1，2，3，…，6]

（4）

式中：[ρ]——分辨系數(shù)，[ρ∈[0，1]]，本文取值0.5。關(guān)聯(lián)度系數(shù)[ξi]為比較序列與參考序列在各時刻的關(guān)聯(lián)度，通過計算其平均值求得灰色關(guān)聯(lián)度[γi]。

[γi=1nk=1nξik]" （5）

在牛津公開數(shù)據(jù)集上，采用上述兩種方法定量驗證并分析本文構(gòu)建的HFs的有效性。表2為HFs與電池容量之間的相關(guān)程度計算結(jié)果。若PCC與GRA的絕對值越接近于1，說明其線性程度越高。

依據(jù)表2，電池1～8中，所構(gòu)建的HFs與容量之間的相關(guān)程度均大于0.8，說明提取IC曲線以構(gòu)建HFs來表征容量退化的有效性。

1.3 HFs的優(yōu)化

由于1.2節(jié)構(gòu)建的HFs維數(shù)較多，因此，在保留原始IC曲線信息的前提下，為消除HFs之間的相關(guān)性，減少樣本維度，節(jié)省內(nèi)存，增快計算速度，本節(jié)引入主成分分析（principal component analysis，PCA）對提取的健康特征進行優(yōu)化。

首先令6維HFs構(gòu)成一個[n×m]的矩陣[X]，其中[n]為樣本數(shù)量，[m]為HFs的維數(shù)，則[m=6]。

對[X]進行零均值預(yù)處理得到[X*]，計算其相關(guān)系數(shù)矩陣[C]。

[C=1nX*ΤX*]""""" （6）

式中：[C]——[m×m]維的矩陣。[C]的特征向量[μi]和特征值[λi][（i=1，2，…，m）]可由（7）計算得到。

[Cμi=λiμi] （7）

將[λi]由大到小排序，根據(jù)此順序調(diào)整[μi]，并用[r]表示[λi]累積貢獻率，其計算公式如式（8）所示。

[r=λii=1mλi]""""" （8）

經(jīng)計算得到經(jīng)過PCA優(yōu)化的HFs的各主成分的累積貢獻率如表3所示。

由表3可看出，主成分1的貢獻率已達到90%以上，保留了原始HFs中的絕大部分信息。由此，記錄[r]大于0.9時的[λi]為第[k]個特征值，由此可得到PCA降維后的HFs矩陣[Z]。

[Z=X*×μi（：，1：k）]"""""" （9）

式中：[μi（：，1：k）]——[C]矩陣對應(yīng)的特征向量的前[k]維，一般情況下[klt;m]，[X*]為[n×m]維矩陣，[μi（：，1：k）]為[m×k]維。因此可得到[Z]為[n×k]維，實現(xiàn)了降維，此處[k=1]。

為保留原始HFs中最優(yōu)秀的健康特征用于鋰電池老化模型訓(xùn)練，本文將經(jīng)過PCA得到的列向量[Z]和PCC與GRA綜合評估得到HFs中相關(guān)程度最大的HF5共同作為優(yōu)化后的HFs序列，以此作為GPR模型的輸入。

2 高斯過程回歸與粒子濾波算法

2.1 高斯過程回歸算法

本節(jié)主要將高斯過程回歸用于電池老化模型的建立，下面介紹高斯過程回歸算法以及本文的改進。

高斯過程回歸［34］（Guassian process regression， GPR）是一種靈活的、非參數(shù)化模型，能同時給出預(yù)測值的點估計和不確定性表達，對小樣本、非線性的預(yù)測問題具有很好的學(xué)習(xí)能力。

給定一組樣本，由輸入的數(shù)據(jù)集[D=xi（k），i=1，2nk=1]和輸出數(shù)據(jù)集[Y=y（k）nk=1]組成。定義輸入矩陣為[X∈Rn×d]，輸出向量[Y∈Rn×1]，[X]與[Y]之間存在映射關(guān)系[f（·）：Rd?R]。考慮集合[f（X）=f（x1），f（x2），…， f（xn）]，高斯過程可寫為式（10）。

[f（X）～GP（m（X），" K（X，X））] （10）

可見GPR模型由其均值函數(shù)[m（X）=E（f（X））]和協(xié)方差函數(shù)[K（X，X）=E[（f（X）-m（X））（f（X）-m（X））]]決定。

由于實際獲取的觀測值通常受噪聲影響，由此建立如式（11）所示的GPR模型。

[y=f（X）+ε]"" （11）

式中：[y=[y1，y2，y3，…，yn]Τ]——輸出向量；[ε]——噪聲，服從0均值的高斯分布，如式（12）所示。

[ε～N0，σ2nI]"" （12）

式（11）中：[f（X）]為高斯過程，因此，[y]的有限觀測值形成的集合也屬于高斯過程，則[y]服從如下分布。

[y～GP0，KX，X+σ2nI]"""" （13）

式中：[K=k（xi， xj）]——[n×n]的對稱的正定矩陣。本文引入有理二次協(xié)方差核函數(shù)來實現(xiàn)對GPR的優(yōu)化，如式（14）所示。

[k（xi，xj）=σ2fexp1+（xi-xj）TM（xi-xj）2α-α]""""" （14）

式中：[M=diag[λ-2]]，超參數(shù)[θ=（λ，σf，α）]。

高斯過程是一個隨機過程，其任一隨機變量的有限維子集都服從聯(lián)合正態(tài)分布。因此，對于一組新的樣本[（X*，y*）]，[y*]與[y]將服從聯(lián)合高斯分布，如式（15）所示。

[yy*～GP0，KX，XKX，X*KX，X*TKX*，X*]"" （15）

由貝葉斯的回歸方法可知，通過改進高斯過程回歸（improved Gaussian process regression， IGPR）預(yù)測的輸出[y*]服從均值[y*]和協(xié)方差[covy*]的高斯分布，分別用式（16）～式（18）表示。

[y*|X，y，X*～GP（y*，covy*）]"" （16）

[y*=K（X，X*）Τ[K（X，X）+σn2I]-1y]"" （17）

[covy*=KX*，X*-KX，X*T[K（X，X）+σn2I]-1KX，X*]"" （18）

式中：超參數(shù)[θ]可通過極大似然法求取最優(yōu)解。首先對超參數(shù)的邊際似然函數(shù)取負(fù)對數(shù)，如式（19）所示。

[ θopt=argminθL（θ）L（θ）=-lnp（y|X，θ）"""""""""""""""" =-12yΤβ-12lnα-n2ln（2π）α=detk（xi，xj）+σ2I"""β=k（xi，xj）+σ2I-1y]" （19）

再次，通過對式（19）求偏導(dǎo)，采用共軛梯度法求解得到超參數(shù)，得到用于預(yù)測的IGPR模型。

IGPR模型不僅能預(yù)測測試輸出的均值且能給出預(yù)測模型的置信水平或不確定性，給出更可靠的預(yù)測結(jié)果。預(yù)測輸出值的置信水平由[covy*]和[y*]確定，式（20）為95%的置信區(qū)間。

[y*-2×covy*，y*+2×covy*] （20）

2.2 改進粒子濾波算法用于SOC估計

電池的SOC估計需建立準(zhǔn)確的電池模型。本節(jié)考慮鋰離子電池充放電過程中內(nèi)部的極化效應(yīng)，用電壓源和RC并聯(lián)電路模擬電池動態(tài)性能，從而建立一階等效電路模型，對其離散化得到狀態(tài)空間模型，并結(jié)合改進粒子濾波算法（particle filter，PF）對鋰離子電池SOC的估算。

2.2.1 鋰電池一階等效模型及參數(shù)辨識

一階等效模型又稱Thevenin模型，等效電路圖如圖3所示。

圖3中，[Uocv]為開路電壓（open circuit voltage，OCV），[R]為歐姆電阻；[Rp]和[Cp]分別是極化電阻和極化電容，[Up]為其兩端電壓，[Ut]為端電壓。結(jié)合電路知識，可寫出式（21）。

[Uocv=f（S）=FR+Up+UtF=UpRp+CpdUpdt]"""""" （21）

式中：[S]——電池當(dāng)前SOC；[Uocv]通常被認(rèn)為是[S]的函數(shù)，經(jīng)過多項式擬合得到，[F]表示放電電流。根據(jù)安時積分法，[S]的表達式為：

[S（t）=Q（t0）-t0tFdtQ0=S（0）-t0tFdtQ0]" （22）

式中：[Q0]——電池可用的最大容量；[Q（t0）]——電池的初始容量，通過對一段時間內(nèi)的電流進行積分，得到當(dāng)前時刻的容量，進而得到[S（t）]。

結(jié)合式（21）、式（22），將[S]與極化電壓組成向量[S""" UpΤ]作為系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量，得到該等效電路模型的離散狀態(tài)空間模型為：

[SkUp，k=100e-ΔtRpCpSk-1Up，k-1+ΔtQ01-e-ΔtRpCpRpIk-1Ut，k=f（Sk）-Up，k-IkR+vk]""""" （23）

由式（23）聯(lián)立[Ut，k，Up，k]，結(jié)合參數(shù)辨識在充電階段進行，電流方向向左，則端電壓[Ut，k]可寫為式（24）。

[Ut，k=Ik（R+Rk）+（Up，k-IkRp）e-ΔtRpCp+f（Sk）+vk]"" （24）

式中：[Ik]——系統(tǒng)的輸入，方向向左；[Ut，k]——系統(tǒng)的輸出；[R、Rp、Cp]——待辨識的系統(tǒng)參數(shù)；[vk]——系統(tǒng)的傳感器引起的高斯白噪聲。

模型參數(shù)辨識采用了最小二乘算法，以類指數(shù)模型擬合式（24），擬合函數(shù)如式（25）所示。

[y=b1+b2e-xb3+f（S）]""" （25）

式中：[x]——輸入，即是[Δt]；[y]——輸出；[f（S）]由充電端電壓測量值與OCV-SOC之間的函數(shù)關(guān)系得到；[b1、][b2、]["b3]——擬合參數(shù)。

聯(lián)合式（24）與式（25）可知，待辨識參數(shù)的表達式如式（26）所示。

[Rp，k=b1Ik-RkRk=Uk1-Uk2IkCp，k=b3Rp，k]""""" （26）

擬合結(jié)果如圖4所示。根據(jù)式（26）得到待辨識的參數(shù)隨鋰電池充放電循環(huán)的變化趨勢如圖5所示。

圖4表明，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，式（25）能較準(zhǔn)確擬合充電電壓曲線式（24），從而進行參數(shù)辨識。由圖5可看到，辨識的模型參數(shù)[R、][Rp]均隨著循環(huán)次數(shù)有增加的趨勢，符合歷史研究中電阻隨著電池老化逐漸增大的趨勢。

2.3 改進粒子濾波用于SOC估算

粒子濾波主要是通過一組加權(quán)粒子集合來近似狀態(tài)的后驗概率密度分布函數(shù)，從而得到系統(tǒng)狀態(tài)的最小均方差估計，其最大的優(yōu)勢是能通過系統(tǒng)的觀測對其估計預(yù)測進行校正，并能通過先驗概率與似然概率極大減小后驗概率的方差。然而傳統(tǒng)的PF易出現(xiàn)粒子退化的問題，本文進行重采樣改進這一缺點。首先，將2.2節(jié)建立的等效電路模型，寫成電池的狀態(tài)空間模型的一般形式如式（27）所示。

[X（k）=f（X（k-1））+Q（k-1）""""""""""""""" =AX（k-1）+BU（k-1）+Q（k-1）Y（k） =h（X（k））+R（k）"""""""""""""" =CX（k）+DU（k）+R（k）]"""""" （27）

令狀態(tài)變量[X=[S" Up]Τ]，控制量為系統(tǒng)的輸入，即[U=I]，觀測量為系統(tǒng)的輸出，即[Y=Ut]，[Q]為過程誤差，[R]為傳感器的誤差。得到[A、B、C、D]如式（28）所示。

[A=100e-ΔtRpCp， B=ΔtQ01-e-ΔtRpCpRpC=Uocv（Sk）Sk，-1， D=-R]"""" （28）

模型參數(shù)[R、][Rp、][Cp]已被辨識，接下來應(yīng)用改進PF法對[S]進行狀態(tài)估計，此處對具體的PF算法參考文獻［7-8］，并在每次重采樣來實現(xiàn)對傳統(tǒng)PF的改進。下面給出其具體步驟。

1）根據(jù)經(jīng)驗法給出狀態(tài)變量的先驗概率分布[p（X0）～][N（μ，σ2）]。

2）生成粒子和權(quán)重。根據(jù)先驗概率產(chǎn)生[N]組[[S Up]Τ]初始值粒子[x0（i）]以及權(quán)重[w0=1N]。

3）預(yù)測步。根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程進行預(yù)測，得到當(dāng)前時刻粒子的先驗概率樣本[x1（i）=f（x0（i））+v， v～N（0，Q）]。

4）更新步。設(shè)有當(dāng)前時刻的觀測值[y1]，通過似然概率更新粒子的權(quán)重，生成[w1（i）=fR（y1-h（x1（i）））w0（i）]。

5）權(quán)重歸一化。[w1（i）=w1（i）i=1Nw1（i）]。

6）狀態(tài)估計。[x1（i）=i=1Nx1（i）w1（i）]。

7）重采樣并設(shè)權(quán)重。設(shè)置重采樣的粒子數(shù)量為[N1]，權(quán)重高的粒子被多次復(fù)制，并將重采樣后的粒子的權(quán)重均設(shè)為[1N1]。此時，得到新的粒子[x1（i）]和權(quán)重[w1（i）]。

8）令[k=k+1]，重復(fù)步驟3）～7）得到[x2（i）]和[w2（i）]，依次遞推，計算[xk（i）=i=1Nxk（i）wk（i）]。

3 SOH-SOC的聯(lián)合估計框架

SOC描述了當(dāng)前循環(huán)中鋰電池的容量與最大可用容量的比值；SOH表征鋰電池在循環(huán)充放電下，當(dāng)前最大可用容量與額定容量的比值。二者之間相互聯(lián)系，從不同的維度描述鋰電池的當(dāng)前狀態(tài)，為電池管理系統(tǒng)提供依據(jù)。本文提出鋰電池SOC與SOH聯(lián)合估計的框架，分為建模和預(yù)測兩部分，建模又分為老化建模和狀態(tài)建模，該模型的具體功能是：在單次循環(huán)充電時，估計SOC，循環(huán)結(jié)束后估計SOH，同時又將該值用來更新下一次循環(huán)中SOC的估計，最終實現(xiàn)循環(huán)充放電下的SOC及SOH聯(lián)合估計。圖6為該聯(lián)合估計框架的框圖。

圖6總體分為建模部分及聯(lián)合估計部分。首先介紹SOC與SOH聯(lián)合估計建模部分，具體分為老化建模和狀態(tài)建模。該部分以預(yù)測周期[N2]以前的充放電數(shù)據(jù)為樣本，一方面，從充電數(shù)據(jù)中提取其IC曲線，進行卡爾曼濾波處理，進而構(gòu)建HFs并進行優(yōu)化。接下來分別以HFs與參考容量序列作為輸入和輸出，訓(xùn)練鋰電池系統(tǒng)的IGPR老化模型用于SOH預(yù)測；另一方面，建立電池的一階等效電路模型，擬合OCV-SOC之間的函數(shù)關(guān)系，聯(lián)合式（23）與式（24），采用最小二乘算法，以類指數(shù)模型式（25）擬合充電電壓曲線式（24）用于參數(shù)辨識。最后將參數(shù)辨識結(jié)果用于SOC估計。

當(dāng)前循環(huán)下SOH實時準(zhǔn)確的估計對更新下次循環(huán)的SOC估計作用重大，二者之間相互聯(lián)系，據(jù)此，進行聯(lián)合估計。首先，采集循環(huán)周期N，以后的充電數(shù)據(jù)作為樣本并提取其IC曲線，進行平滑處理，構(gòu)建優(yōu)化后的HFs輸入訓(xùn)練好的IGPR老化模型中，得到容量的預(yù)測序列，從而進行SOH估計；同時，將此模型輸出的容量預(yù)測序列用于SOC估計中。如圖6所示，SOH具體通過影響狀態(tài)空間模型中B的取值來

影響狀態(tài)的估計。根據(jù)參數(shù)辨識的結(jié)果，得到狀態(tài)方程和觀測方程，用于PF的狀態(tài)預(yù)測及權(quán)重更新，最后通過累加所有粒子的后驗概率密度和權(quán)重的乘積，得到SOC的估計。SOC與SOH聯(lián)合估計的一大優(yōu)勢在于：能隨著估計當(dāng)前循環(huán)的SOH值，實時更新下一循環(huán)中SOC的估計，從而實現(xiàn)循環(huán)充放電下二者的聯(lián)合估計，使?fàn)顟B(tài)估計更準(zhǔn)確，為電池管理系統(tǒng)提供參考。

4 SOC-SOH聯(lián)合估計實驗及結(jié)果分析

本節(jié)將牛津公開數(shù)據(jù)集下的鋰電池循環(huán)測試數(shù)據(jù)集全部用于實驗驗證，電池編號分別為1～8。該數(shù)據(jù)在40 ℃的溫箱下測得，可用來評估基于等效電路模型（equivalent-circuit model，ECM）-改進高斯過程回歸（improved Gaussian process regression，IGPR）的鋰離子電池SOC及SOH聯(lián)合估計框架的性能和精度。

本文采用決定系數(shù)[R2]（coefficient of determination）和平均絕對百分比誤差（mean absolute percent error，MAPE）為驗證SOC-SOH聯(lián)合估計實驗的評價指標(biāo)，如式（29）、式（30）所示。

[R2=1-i=1n（y-y）2i=1n（y-y）2]"""""" （29）

[M=1ni=1ny-yy]""" （30）

式中：[y、y]和[y]——真實值、真實值的平均值和預(yù)測值；[M]——MAPE。其中，[R2]反映回歸模型的擬合優(yōu)度，取值在0和1之間，取值越大，效果越優(yōu)。MAPE反映預(yù)測結(jié)果偏離真實結(jié)果的程度，MAPE越小，說明預(yù)測具有更好的精度。二者共同作為評價指標(biāo)對該框架進行驗證。

將電池1～8的前40%～50%的數(shù)據(jù)用于訓(xùn)練SOC-SOH聯(lián)合估計模型，將后60%～50%的數(shù)據(jù)樣本用于測試以驗證該框架的準(zhǔn)確性。接下來給出所提SOC-SOH聯(lián)合估計的實驗驗證結(jié)果。其中包括：

1）為驗證本文所提的用于估計SOH的基于HFs構(gòu)建與IGPR建模的方法的優(yōu)勢，對照組采用支持向量機建模并估計SOH以進行對比；

2）為驗證SOH的估計對更新SOC的影響，本文將不進行更新的結(jié)果與聯(lián)合估計SOC的結(jié)果進行對比。

實驗設(shè)置的具體參數(shù)如下：在訓(xùn)練IGPR模型過程中，采用共軛梯度算法求解模型超參數(shù)[θ=[2 " 7"" 0]]，為保證對照實驗的可靠性，采用粒子群優(yōu)化算法求解支持向量機模型的超參數(shù)[[α ""β]=[0.1""" 2];]用于SOC進行建模預(yù)測的PF算法的粒子數(shù)[N3=50，]該數(shù)量和重采樣粒子的數(shù)目相同，PF算法的狀態(tài)初值[X=[1，0]]。

圖7～圖14分別為各電池的SOC-SOH聯(lián)合估計結(jié)果，每個電池的實驗驗證結(jié)果分為4個子圖，圖7a～圖14a的左圖展示了本文所提出的預(yù)測方法與對照組預(yù)測SOH的對比，圖7a～圖14a的右圖展示了本文所提出預(yù)測SOH方法的平均絕對百分比誤差，圖7b～圖14b的左圖和右圖分別展示了不同測試循環(huán)下本文所提出的SOC聯(lián)合估計方法與單獨估計結(jié)果的對比。

由圖7a～圖14a可知，左圖中本文所提方法預(yù)測SOH表示的曲線更接近SOH的參考曲線，說明本文提出的基于IC曲線的HFs構(gòu)建和IGPR模型的SOH估計方法明顯優(yōu)于采用支持向量回歸機進行訓(xùn)練的結(jié)果。從各電池預(yù)測結(jié)果的子圖a的右圖可看出，本文所提方法預(yù)測SOH的相對百分

比誤差大多分布在1%之內(nèi)，只有電池2預(yù)測結(jié)果個別分布在3%，但總體仍趨于1%，在一定程度上體現(xiàn)了所提方法的精度較高。子圖b的左右兩圖展示了更新當(dāng)前循環(huán)下的SOH估計值對SOC估計的影響。從圖7～圖14所示子圖b的兩張圖中可看到：通過聯(lián)合估計的方法對SOC進行估計時更接近于真實的SOC曲線，且這一優(yōu)勢會隨著循環(huán)次數(shù)的增加更明顯，通過右圖能看到數(shù)次循環(huán)后，未經(jīng)過SOH更新的前提下對SOC估計會使得SOC的估計值更偏離真實值，體現(xiàn)了本文所提框架的合理性。另外需說明的是，實驗電池1～8的標(biāo)準(zhǔn)充放電循環(huán)次數(shù)分為2兩組，一組約80次，另一組約為50次。而實驗中對SOC估計的周期是隨機選取的。選取的2個周期一個靠近初始測試周期，另外一個則靠近標(biāo)準(zhǔn)次數(shù)，以此方式選取更能體現(xiàn)聯(lián)合估計對更新SOC預(yù)測的效果。

圖7～圖14直觀展示了本文所提出的SOC-SOH聯(lián)合估計框架的有效性。以表4定量地分析并評價了本文所提方法的優(yōu)劣，對SOH及SOC估計結(jié)果分別以R2和[MAPE]為評價指標(biāo)進行檢驗。

依據(jù)表4，用于評價SOC-SOH聯(lián)合估計框架的[R2]系數(shù)均大于0.96，說明預(yù)測值和真實值之間的擬合優(yōu)度較好；同時用于評價SOC-SOH聯(lián)合估計框架的[MAPE]絕大部分小于0.01，說明預(yù)測值與真實值之間的偏離程度很小。綜上，該定量分析結(jié)果與圖7～圖14中反映的一致，本文所提出的SOC-SOH聯(lián)合估計框架在一定范圍內(nèi)取得了較高的精度。

5 結(jié) 論

本文針對現(xiàn)有的研究忽略SOC-SOH之間的關(guān)聯(lián)性，導(dǎo)致估計結(jié)果不適合循環(huán)充放電下的狀態(tài)預(yù)測等問題，提出基于一階ECM-IGPR的鋰離子電池SOC及SOH聯(lián)合估計框架，并在牛津鋰離子電池公開數(shù)據(jù)集上設(shè)計實驗進行驗證。本文主要有以下兩點貢獻：

1）在電池充電過程中提取IC曲線進行平滑處理、構(gòu)建并優(yōu)化能表征SOH的HFs并定量分析其相關(guān)度。結(jié)果顯示本文所構(gòu)建HFs與直接表征SOH的容量之間線性程度顯著。

2）以HFs容量序列為輸出訓(xùn)練IGPR老化模型，并基于鋰離子電池一階等效電路模型結(jié)合粒子濾波算法進行SOC估計建模，實現(xiàn)了循環(huán)充放電下長期的SOC-SOH聯(lián)合估計。估計結(jié)果對電池管理系統(tǒng)的電池狀態(tài)估計環(huán)節(jié)能提供準(zhǔn)確的參考。并且，聯(lián)合估計的準(zhǔn)確性和魯棒性在牛津數(shù)據(jù)集上得到驗證。

另外，牛津數(shù)據(jù)集測試實驗在40 ℃的溫箱下進行，說明該框架對一定范圍內(nèi)溫度的適用性。然而，需說明的是，該框架尚未在一些更復(fù)雜的工況下進行驗證，在未來研究中，還需根據(jù)實際工況進行改進。

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JOINT FIRST ORDER SOC AND SOH ESTIMATION FRAMEWORK FOR

LI-ION BATTERY BASED ON ECM-IGPR

Li Qian1，Jiang Fan2，Han Qiaoni3，Zhang Ji’ang4，Cheng Ze3，Su Zhan1，Ma Boyang1

（1. State Grid Tianjin Electric Power Company， Electric Power Research Institute， Tianjin 300392， China；

2. China Institute of Marine Technology amp; Economy， Beijing 100081， China；

3. School of Electrical and Information Engineering， Tianjin University， Tianjin 300072， China；

4. State Grid Jiangsu Electric Power Company， Suzhou Power Supply Company， Suzhou 215004， China）

Abstract：State of charge and state of health estimation of Li-ion batteries are important elements of battery management systems， but existing studies usually ignore the association between them and estimating them separately. Therefore， this paper proposes a joint estimation framework of SOC-SOH for Li-ion battery based on Equivalent Circuit Model-Improved Gaussian Process Regression， which updates the SOC estimation with the single-cycle prediction of SOH. The contents are as follow： At first， HFs in the Incremental Capacity curve were extracted and Principal Component Analysis was performed to realize the optimization of HFs. And then the IGPR model for battery aging was developed for SOH prediction. On this basis， the state space model of Li-ion battery was established based on the parameter identification results and capacity estimates， which was combined with the Particle Filter algorithm to update the SOC estimation of the latter cycle. Thus， the joint estimation of SOH and SOC is achieved. Lastly， the eight cells in the Oxford dataset were used to verify the accuracy and adaptability of the framework. Eight batteries from the Oxford dataset are used to validate the accuracy and adaptability of the framework， which achieves good results.

Keywords：Li-ion battery； incremental capacity； joint state estimate； particle filter； Gaussian process regression