林溫陽

摘要：本文以Python遞歸函數(shù)應(yīng)用教學(xué)為例，深入剖析可操作的計(jì)算思維培養(yǎng)路徑，嘗試構(gòu)建“設(shè)疑啟思→導(dǎo)疑定向→議疑探究→析疑整合→質(zhì)疑創(chuàng)新”（IVECI）極簡五環(huán)課堂教學(xué)模式，開展面向計(jì)算思維培養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐，以期為高中信息技術(shù)學(xué)科計(jì)算思維培養(yǎng)提供參考。

關(guān)鍵詞：計(jì)算思維；信息技術(shù)；遞歸算法；教學(xué)模式

中圖分類號：G434? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 論文編號：1674-2117（2024）10-0039-04

計(jì)算思維的概念與內(nèi)涵

計(jì)算思維是運(yùn)用計(jì)算機(jī)科學(xué)的基本概念進(jìn)行問題求解、系統(tǒng)設(shè)計(jì)、人類行為理解等涵蓋計(jì)算機(jī)科學(xué)之廣度的一系列思維活動(dòng)，其作為解決復(fù)雜問題的一種獨(dú)特思想方法，具有形式化、模塊化、系統(tǒng)化、自動(dòng)化等特點(diǎn)。計(jì)算思維綜合了數(shù)學(xué)思維、工程思維和科學(xué)思維，強(qiáng)調(diào)基于計(jì)算和創(chuàng)新的思維，其本質(zhì)是抽象（Abstract）、模擬（Imitation）與自動(dòng)化（Automation）。[1]《普通高中信息技術(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）也明確指出計(jì)算思維是個(gè)體運(yùn)用計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的思想方法形成解決方案而產(chǎn)生的一系列思維活動(dòng)。培養(yǎng)計(jì)算思維就是讓學(xué)生能夠采用計(jì)算機(jī)可以處理的方式進(jìn)行問題界定、建立模型、設(shè)計(jì)算法來解決問題，并達(dá)成學(xué)習(xí)遷移。

從計(jì)算思維的視角辨析遞歸經(jīng)典案例

計(jì)算思維培養(yǎng)可以分解為三個(gè)基本步驟：首先，抽象建模，將待求解的問題抽象成一個(gè)概念模型；其次，問題分解，把復(fù)雜問題拆分成若干簡單子問題；最后，設(shè)計(jì)算法，清晰地陳述解決問題的指令順序，編程實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題的抽象、模擬和自動(dòng)化。以Python語言為例，下列情況通常會(huì)考慮使用遞歸求解：①遞歸式定義，如求n的階乘、楊輝三角等；②遞歸式數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，如鏈表、樹、圖等；③遞歸式經(jīng)典問題，如漢諾塔（Hanoi）問題、N皇后問題等。

案例1：遞歸求階乘和繪制分形樹（入門）。

使用Python語言求階乘的方法很多，這是一個(gè)很好的遞歸入門引例。自定義求n！的遞歸函數(shù)，fact（n）是調(diào)用者，函數(shù)內(nèi)部fact（n-1）是被調(diào)用者，以此類推。整個(gè)遞歸調(diào)用過程如下頁圖1所示。在情境導(dǎo)課中，使用Python的Turtle庫編寫代碼v繪制分形樹，輕松實(shí)現(xiàn)遞歸算法可視化（如下頁圖2）。

案例2：青蛙跳臺階問題（簡單）。

情境問題：一只青蛙要跳上20級臺階，每次只能跳1級或2級，問有多少種跳法？

問題分析：青蛙既然一次能跳1級或2級臺階，那么跳上N級臺階的方法是：先跳上N-1級臺階，再跳1級即可，或者先跳上N-2級臺階，再跳2級亦可。因此，跳上N級臺階的方法總數(shù)=跳上N-1級臺階的方法數(shù)+跳上N-2級臺階的方法數(shù)。假定Jump（i）表示跳上i級臺階的方法數(shù)，則遞推式為Jump（N）=Jump（N-1）+Jump（N-2），而遞歸終止條件為Jump（1）=1，Jump（2）=2。事實(shí)上，這是一個(gè)斐波那契（Fibonacci）數(shù)列。當(dāng)然，若是使用排列組合方法，亦可得到結(jié)果為：種。

案例3：漢諾塔（Hanoi）問題（中等）。

情境問題：相傳古印度大梵天在創(chuàng)世時(shí)，做了3根金剛石柱，在A柱自下而上、由大到小摞有64個(gè)圓盤，他讓婆羅門把圓盤全部轉(zhuǎn)移到C柱上，要求每次只能移動(dòng)一個(gè)圓盤，而且始終保持大盤在下、小盤在上。問至少需要移動(dòng)多少次？

問題解析：①當(dāng)n=1時(shí)，直接把圓盤從A柱移到C柱；②當(dāng)n＞1時(shí)，先將A柱上的（n-1）個(gè)圓盤通過C柱移到B柱；③接著把A柱上編號為n的圓盤移到C柱；④最后將B柱上的（n-1）個(gè)圓盤通過A柱移到C柱，遞歸結(jié)束。最終顯示移動(dòng)n個(gè)圓盤至少需要2n-1次。

案例4：路邊隨機(jī)停車問題（較難）。

情境問題：一條馬路長度為5，問平均能停多少輛長度為1的汽車？

問題分析：①將停車區(qū)域起點(diǎn)定為start，終點(diǎn)定為end，最初停車區(qū)域end-start=5；②如果end-start<1表示車位長度小于車長，就不能停車；③第一輛車A在start與end之間隨機(jī)停放，停車起點(diǎn)范圍為（start，end-1）；④第二輛車B在A車停好后，有（start，x）和（x+1，end）兩段可選的停車區(qū)域。接下來，分別調(diào)用自身，遞歸解決問題。假設(shè)用M（X）表示馬路長度為X時(shí)停車數(shù)量的期望值，則馬路最大空間利用率，公式如下。

案例5：八皇后問題（最難）。

情境問題：將八個(gè)皇后擺放在8×8的棋盤上，使之互不攻擊，即在同一行、同一列或同一斜線上，最多只能有1個(gè)皇后，問共有多少種擺法？

問題分析：①首先定義一個(gè)棋盤上皇后位置為arr[R，C]、當(dāng)前皇后擺放行為ROW、問題規(guī)模為N的遞歸函數(shù)；②遍歷當(dāng)前行每一列，逐列嘗試擺放位置，若符合約束條件（不在同一行、同一列或同一斜線上），則將皇后置于此列，接著調(diào)用自身，轉(zhuǎn)到下一行；③如果遞歸調(diào)用返回值為真，說明下一行的皇后找到了合適的位置，那么子問題的求解方法可行，當(dāng)前皇后的擺放位置正確，此時(shí)如果全部擺放完畢，就算完成一種擺法；④如果遞歸調(diào)用返回值為假，則說明下一行的皇后找不到合適的位置，就需要回溯，把當(dāng)前皇后右移一格再次嘗試遞歸探索；⑤如果遍歷完當(dāng)前行所有列，下一行的皇后仍然找不到合適的位置，那就繼續(xù)回溯直至某一行，甚至回溯到第一行，以尋找合適的擺放位置；⑥在主函數(shù)中從第一行開始嘗試擺放第一個(gè)皇后，遞歸調(diào)用自身直到所有的皇后擺放完畢，最后輸出結(jié)果。

面向計(jì)算思維培養(yǎng)提煉遞歸核心要義

上述遞歸算法經(jīng)典案例分析，由易到難，分層設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)，為學(xué)生提供適合其認(rèn)知心理規(guī)律的多樣化學(xué)習(xí)資源、認(rèn)知工具和認(rèn)知策略，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)遞歸、迭代、循環(huán)和遍歷等程序設(shè)計(jì)策略，發(fā)展學(xué)生的高階計(jì)算思維能力。

1.遞歸算法的基本原理

遞歸（Recursion）是通過不斷調(diào)用自身實(shí)現(xiàn)程序在執(zhí)行過程中對問題進(jìn)行降維求解。遞歸作為一種重要的程序設(shè)計(jì)方法，能有效地解決復(fù)雜性問題，遞歸程序的底層邏輯是使用堆棧（Stack）—— 一種計(jì)算機(jī)科學(xué)中較為常見的抽象數(shù)據(jù)類型（ADT）。Python遞歸函數(shù)的格式如圖3所示。

遞歸算法的工作原理是：當(dāng)程序運(yùn)行首次進(jìn)入遞歸函數(shù)時(shí)，需要進(jìn)行條件判斷，符合終止條件則返回結(jié)果，不符合條件則調(diào)用自身進(jìn)入函數(shù)內(nèi)層。這種反復(fù)調(diào)用自身，自頂向下逐層展開，直至進(jìn)入最小可求解子問題的過程即為“遞”；待到內(nèi)層函數(shù)執(zhí)行完畢，由內(nèi)向外步步回溯，直至返回最終結(jié)果的過程即為“歸”。遞歸算法必須具備兩個(gè)條件：一是存在終止條件，二是需要調(diào)用自己。二者缺一不可。需要說明的是，終止條件語句必須寫在遞歸調(diào)用語句之前，否則會(huì)出現(xiàn)堆棧溢出，致使遞歸函數(shù)進(jìn)入死循環(huán)。當(dāng)然，遞歸函數(shù)的終止條件可以不止一個(gè)，遞歸調(diào)用也可以多個(gè)。遞歸算法的根本在于問題本身是否可以通過層層拆解到最小粒度來求解。

2.剖析遞歸算法的優(yōu)點(diǎn)與不是

優(yōu)點(diǎn)：遞歸通常是把一個(gè)大型的復(fù)雜問題拆分為多個(gè)子問題，拆分后的子問題除了數(shù)據(jù)規(guī)模變小，其解決思路和原問題完全一致。遞歸只關(guān)心向下一層的實(shí)現(xiàn)，而并不關(guān)心更下一層的細(xì)節(jié)，因此遞歸函數(shù)結(jié)構(gòu)清晰、定義簡單。遞歸在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，它不單是一種計(jì)算方法，更是一種思維方式。

不足：實(shí)現(xiàn)遞歸需要大量的PUSH（壓棧）和POP（彈棧）操作，用于執(zhí)行上下文的現(xiàn)場保存和現(xiàn)場恢復(fù)，其內(nèi)存資源消耗遠(yuǎn)大于非遞歸函數(shù)調(diào)用，算法運(yùn)行效率較低。過深的遞歸調(diào)用還可能出現(xiàn)堆棧溢出的情況，因此，編寫遞歸代碼需謹(jǐn)慎，務(wù)必設(shè)計(jì)好遞歸出口（終止條件），在必要時(shí)應(yīng)該把遞歸算法轉(zhuǎn)化為非遞歸算法。

以計(jì)算思維為主題進(jìn)行逆向教學(xué)設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)教學(xué)以內(nèi)容或活動(dòng)為導(dǎo)向，因缺乏清晰的引導(dǎo)性思維目標(biāo)和明確的表現(xiàn)性評價(jià)設(shè)計(jì)，學(xué)生難以真正地自主架構(gòu)知識體系。威金斯和麥克泰格提出追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)理論（Understanding by Design，簡稱UbD），強(qiáng)調(diào)教學(xué)要“理解為先，由終定始”，幫助學(xué)生掌握知識、理解意義、實(shí)現(xiàn)遷移，以促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。[2]下面，筆者以Python遞歸函數(shù)應(yīng)用為例，依據(jù)UbD即理解為先的教學(xué)理念進(jìn)行逆向教學(xué)設(shè)計(jì)。

1.明確項(xiàng)目學(xué)習(xí)目標(biāo)

依據(jù)新課標(biāo)、教材要求和學(xué)生實(shí)際，重組信息技術(shù)學(xué)科教學(xué)內(nèi)容，開發(fā)跨學(xué)科主題項(xiàng)目學(xué)習(xí)資源，挖掘其中的計(jì)算思維元素，設(shè)計(jì)項(xiàng)目學(xué)習(xí)目標(biāo)（如上頁表1）。[3]

2.制訂學(xué)習(xí)評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

從項(xiàng)目學(xué)習(xí)目標(biāo)出發(fā)，設(shè)計(jì)學(xué)生學(xué)習(xí)評價(jià)量表（過程性評價(jià)和結(jié)果性評價(jià)），考核學(xué)生的計(jì)算思維核心能力，如分解思維能力、抽象思維能力、算法思維能力等，關(guān)注學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)行為表現(xiàn)，及時(shí)捕捉反映學(xué)生理解程度的行為數(shù)據(jù)，做好發(fā)展性學(xué)習(xí)評價(jià)，促進(jìn)學(xué)生的綜合素養(yǎng)全面發(fā)展。

3.設(shè)計(jì)項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動(dòng)

有研究表明，項(xiàng)目式學(xué)習(xí)+配對編程對計(jì)算思維培養(yǎng)效果顯著。[4]這是發(fā)展學(xué)生計(jì)算思維的重要教學(xué)方法。筆者以Python遞歸函數(shù)應(yīng)用教學(xué)為例，嘗試構(gòu)建“設(shè)疑啟思→導(dǎo)疑定向→議疑探究→析疑整合→質(zhì)疑創(chuàng)新”（IVECI）極簡五環(huán)教學(xué)模式，精心設(shè)計(jì)課堂師生活動(dòng)，并提供項(xiàng)目式學(xué)習(xí)資源與工具，在漸進(jìn)性的問題推進(jìn)和開放性配對編程中培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維（如上頁表2）。

總結(jié)與展望

高中信息技術(shù)課堂是計(jì)算思維培養(yǎng)的主陣地，編程教育是培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算思維能力的絕佳切入口。高中信息技術(shù)新版教材選用Python作為計(jì)算思維學(xué)習(xí)工具，用于計(jì)算思維培養(yǎng)，具有重要的實(shí)踐價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。上述遞歸算法的經(jīng)典案例引導(dǎo)學(xué)生就實(shí)際問題進(jìn)行抽象建模、設(shè)計(jì)算法、迭代改進(jìn)等，為培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維提供了可操作的路徑。

參考文獻(xiàn)：

[1]周偉佳，王祖浩.科學(xué)教育中的計(jì)算思維：理論框架與課程設(shè)計(jì)[J].中國電化教育，2018（11）：72-78.

[2]G.Wiggins & J.McTighe.追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)[M].閆寒冰，等，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2017.

[3]宿慶，張文蘭，王海，等.面向高中生計(jì)算思維培養(yǎng)的信息技術(shù)課程項(xiàng)目式學(xué)習(xí)研究[J].電化教育研究，2022（08）：109-115+122.

[4]馬志強(qiáng)，劉亞琴.從項(xiàng)目式學(xué)習(xí)與配對編程到跨學(xué)科綜合設(shè)計(jì)——基于2006-2019年國際K-12計(jì)算思維研究的元分析[J].遠(yuǎn)程教育雜志，2019（05）：75-84.

本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度立項(xiàng)課題“雙減背景下青年教師課堂教學(xué)行為診斷能力提升策略研究”（立項(xiàng)號：FJJKZX23-390）的研究成果之一。