作者簡介：黃國穩(wěn)，1983年生，廣西天等人，碩士研究生，高級教師，主要研究方向為中學數(shù)學教學研究。

摘 要：試題研究的目的是了解試題設計的內容，分析試題命制的特點，從中獲取教育教學的啟示。課題組從考查目標、命制過程等角度對九省聯(lián)考試題中三角函數(shù)試題進行分析，探究新高考背景下試題的命制特點，提出回歸課本抓基礎、題組訓練升效率和變式訓練提素養(yǎng)等三角函數(shù)復習建議。

關鍵詞：三角函數(shù)；試題分析；復習建議

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）08-0078-05

為實現(xiàn)新高考改革的平穩(wěn)過渡，2024年1月19日—21日，廣西、江西、安徽、黑龍江、甘肅、吉林和貴州等第四批高考綜合改革省份（自治區(qū)）聯(lián)合舉行高考改革適應性演練測試，即九省聯(lián)考。九省聯(lián)考數(shù)學學科考試題目由教育部教育考試院命制（以下統(tǒng)稱聯(lián)考數(shù)學題），試題嚴格遵循我國高考評價體系的有關規(guī)定，注重對考生必備知識和關鍵能力的考查，全面體現(xiàn)了高考的核心功能。聯(lián)考數(shù)學題計算量與以往全國卷相比有所減少，但數(shù)學思維考查力度加大，試題設計追求創(chuàng)新，打破固有思維，有利于服務人才選拔的導向功能。

一、聯(lián)考數(shù)學題分析

（一）試題的總體分析

由于本次聯(lián)考試題結構變化比較大，無論是題量還是分值的分布都與以往有很大不同，因此各個板塊的考查分值也有所變化。對三角函數(shù)的考查，以往都是1個小題和1個解答題，或是3個小題，分值在15分左右，其中解三角形的正弦定理、余弦定理為必考內容。本次聯(lián)考關于三角函數(shù)的考查分值減少到11分，且只考查給值求值、三角函數(shù)圖象和性質兩個方面，解三角形的正弦定理、余弦定理沒有考查。這兩道題目充分體現(xiàn)了三角函數(shù)在高中數(shù)學中的重要地位，有利于提醒學生加強對三角函數(shù)的學習，掌握基本概念、性質和公式，提高解決實際問題的能力。從這兩題的設問和解題過程分析看，兩題的題干都非常簡練，題目難度適中，注重基礎知識的考查，同時考查考生運用基礎知識解決問題的能力，旨在衡量考生對基礎知識的掌握程度。

（二）試題考查目標分析

聯(lián)考數(shù)學試題中涉及三角函數(shù)的兩道題分別是1道單選題和1道多選題，總分值為11分。其中，單選題是：已知[θ∈3π4，π]，[tan2θ=-4tanθ+π4]，求[1+sin2θ2cos2θ+sin2θ]的值（2024年九省聯(lián)考第7題）。此題考查二倍角公式、兩角和差公式的運用，考查學生的運算求解能力。多選題是：已知函數(shù)f（x）=[sin2x+3π4]+[cos2x+3π4]，討論奇偶、對稱、單調和最值等性質（2024年九省聯(lián)考第9題）。此題考查兩角和差公式的運用，考查學生的邏輯推理、數(shù)學運算等能力（如表1所示）。

表1 九省聯(lián)考三角函數(shù)試題考查知識點及核心素養(yǎng)

[題號 題型 分值 知識點 核心素養(yǎng) 7 單選題 5 二倍角公式、同角基本關系、正切兩角和公式 數(shù)學運算 9 多選題 6 正弦、余弦兩角和公式，三角函數(shù)的圖象和性質 邏輯推理、數(shù)學運算 ]

（三）試題解題過程分析

單選題屬于給值求值的問題。試題給出了限制在[3π4，π]范圍內的[θ]角的二倍角與兩角和正切關系式，解題時要將二倍角與兩角和轉化為單角，利用二倍角的正弦、余弦轉化為齊次結構，最后采用弦化切割的思路統(tǒng)一化為正切形式，最終得出答案。多選題屬于三角函數(shù)圖象與性質問題，正弦型函數(shù)f（x）=[Asinωx+φ]或余弦型函數(shù)f（x）=[Acosωx+φ]是三角函數(shù)中的重要知識。本題條件是正弦型函數(shù)與余弦型函數(shù)之和，解題時要先根據兩角和公式進行化簡，將余弦型函數(shù)化成正弦型函數(shù)，然后再用整體的思想，利用正弦函數(shù)的性質即可求出答案。

二、聯(lián)考數(shù)學題命制的特點

高考評價體系著重強調了基礎性、綜合性、創(chuàng)新性和應用性的“四翼”考查要求。這意味著學生在高中階段要對數(shù)學基本概念與原理有深入的理解，不僅要掌握其表面知識，還要深入了解其背后原理。從對九省聯(lián)考數(shù)學試題的分析可以看出，本次聯(lián)考三角函數(shù)試題注重以下三個方面的考查。

（一）注重基礎性考查

本次聯(lián)考的三角函數(shù)試題落實了中國高考評價體系中“四翼”中的“基礎性”考查要求。如單選題以簡單三角恒等變換公式和同角三角函數(shù)關系為載體，考查考生對基礎知識的理解、掌握及靈活應用能力。該題題干簡潔，注重基礎，難度適中，強調靈活應用，問題的設計充分體現(xiàn)了教育改革的理念，注重基礎，體現(xiàn)了對學生綜合素質和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。這樣設計有利于引導學生回歸數(shù)學本質，在一定程度上有效落實了“雙減”政策，體現(xiàn)了新時代我國數(shù)學教育發(fā)展的需求。

（二）強化知識內在聯(lián)系考查

知識內在聯(lián)系指的是知識體系中各個知識點之間的關聯(lián)性，這些關聯(lián)性有時是顯性的，有時是隱性的。從多選題考查函數(shù)的性質可以看出，九省聯(lián)考數(shù)學題更注重考查性質間的聯(lián)系，以及正弦函數(shù)與正弦型函數(shù)的關系。通過考查知識內在聯(lián)系，可以促使學生思考各個知識點之間的聯(lián)系，從而鍛煉其思維的敏捷性、靈活性和創(chuàng)新性。同時，強化知識內在聯(lián)系的考查，也有助于學生從整體上把握知識體系，提高知識運用能力。

（三）聚焦核心素養(yǎng)考查

核心素養(yǎng)是指個體在面對復雜情境時，運用所學知識、技能、態(tài)度和價值觀解決問題的能力，包括信息素養(yǎng)、創(chuàng)新素養(yǎng)、批判性思維、溝通與合作、自主學習等五個方面。核心素養(yǎng)考查旨在培養(yǎng)具有全面發(fā)展能力的人才，使學生在不斷變化的社會環(huán)境中具備適應能力、創(chuàng)新能力和終身學習能力。九省聯(lián)考數(shù)學試題聚焦數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據分析等核心素養(yǎng)，如三角函數(shù)試題中的給值求值、三角函數(shù)圖象和性質問題，目的是考查學生的數(shù)學運算和邏輯推理核心素養(yǎng)。

三、高考備考建議

（一）回歸課本抓基礎

在聯(lián)考數(shù)學題中，單選題的題目條件“[θ∈3π4，π]，[tan2θ=-4tanθ+π4]”，與人教版必修1第229頁第10題“已知[1-tanθ2+tanθ=1]，求證[tan2θ=-4tanθ+π4]”中的求證部分，內容完全一致。多選題的題目條件“f（x）=[sin2x+3π4]+[cos2x+3π4]”與人教版必修1第229頁第12題化簡“[24sinπ4-x]+[64cosπ4-x]”的結構相似。在歷年真題中，也出現(xiàn)以教材中的例題或習題為基礎，進行改造、重組和引申的考題，其目的是考查考生對基礎知識、基本方法的深刻理解和靈活應用。這就啟發(fā)教師在平時教學中要深入回歸教材、研究教材、用好教材，要講清楚基本概念、原理的來龍去脈。高中數(shù)學教材是體現(xiàn)和落實課程標準基本理念、目標要求的科學范本，是高考數(shù)學命題的重要參考?？墒牵谄綍r的教學中，不論是新授課還是復習課，大部分教師更多的是依賴教輔，沒有對教材進行深入研讀，沒有把相關知識按一定的主線串聯(lián)起來。

在日常教學中，教師該如何做好回歸課本抓基礎的工作？筆者建議可以從以下兩個方面入手：一是從大單元的角度明確板塊的主要內容；二是挖掘各知識點的內在聯(lián)系，按照一定的主線、以問題串的形式進行板塊復習，這樣才能有效回歸課本。下面以三角函數(shù)教學為例，談談具體做法。

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，三角函數(shù)的主要內容有角與弧度、三角函數(shù)概念和性質、同角三角函數(shù)的基本關系式、三角函數(shù)的應用［1］。所以在復習三角函數(shù)時，教師要回歸教材，注意以下幾點：一是讓學生了解三角函數(shù)的定義和性質，如正弦、余弦、正切等定理；二是讓學生掌握三角函數(shù)的誘導公式，如[sinπ+α=][-sinα]，[cosπ2-α]=[sinα]等；三是讓學生熟悉三角函數(shù)的圖象和性質，如正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期性、奇偶性和單調性等；四是讓學生學會運用三角函數(shù)解決實際問題。

如，讓學生從系統(tǒng)的角度理解三角函數(shù)誘導公式。在誘導公式復習中，教師從同一三角形函數(shù)的值相同則角的終邊相同出發(fā)，引申出以下四個問題：①同一三角形函數(shù)在終邊不相同角的值能相同嗎？②關于X軸、Y軸和原點對稱的角的同一三角函數(shù)值是否相等？③上述三角函數(shù)值從終邊關于X軸、Y軸和原點對稱的關系，除了上述三個對稱，是否存在其他對稱關系？④如果兩個角的終邊不對稱，那么這兩個角的三角函數(shù)的值還相等嗎？在這些問題中，問題①和問題②主要引出函數(shù)名不變、符號看象限的誘導公式；問題③主要是引出函數(shù)名改變、符號看象限的誘導公式，這些問題是研究涉及特殊角與任意角α的三角函數(shù)和（或差）及其與任意角α的三角函數(shù)的恒定等關系。問題④是針對特殊角替換為任意角β的三角函數(shù)和（或差）及其與α、β的三角函數(shù)的關聯(lián)性進行探討。

教師還可以根據下面的問題鏈，對三角函數(shù)圖象的知識進行板塊化復習。①回憶畫函數(shù)圖象的方法，能否用這些方法畫出正弦函數(shù)的圖象？②正弦函數(shù)的定義域為R，能否先研究函數(shù)的部分圖象？先研究哪部分？為什么？③確定函數(shù)圖象的形狀時，應把握哪些要點？④是否可以用畫正弦函數(shù)圖象的方法畫出余弦函數(shù)圖象？⑤探究正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的關系，能否將正弦函數(shù)圖象通過平移得到余弦函數(shù)圖象？⑥根據前面的經驗，你認為怎樣研究正切函數(shù)的圖象和性質？⑦是否可以利用正切函數(shù)的性質研究圖象？以這樣的問題鏈，引導學生在充分回顧研究函數(shù)性質的方法的同時，學會利用三角函數(shù)特殊的周期性簡化研究過程。在研究正切函數(shù)中，教師有意識地設計“先研究性質，再研究圖象”的過程，能讓學生知道可以利用性質研究圖象，也可以通過圖象研究性質，讓學生體會函數(shù)圖象和性質研究方法的多樣性。

在回歸教材抓基礎時，教師還要注重深挖教材中的典型試題，注重一題多解、一題多變，注重拓展和歸納，從而不斷開闊學生分析問題、解決問題的思路，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維品質，培育學生的數(shù)學關鍵能力和發(fā)展學生的學科核心素養(yǎng)。

（二）題組訓練升效率

聯(lián)考數(shù)學題的多選題為“已知函數(shù)f（x）=[sin2x+3π4]+[cos2x+3π4]，討論奇偶、對稱、單調和最值等性質”。往年的適應性測試中也有類似的題目，如2021年四省聯(lián)考適應性測試第12題：設函數(shù)f（x）=[cos2x2+sinxcosx]，則（ ）。（A. f（x）=f（x+[π]）；B. f（x）的最大值為[12]；C. f（x）在[-π4，0]單調遞增；D. f（x）在[0，π4]單調遞減）。又如，2023年四省聯(lián)考適應性測試第18題：已知函數(shù)f（x）=[sinωx+φ]在區(qū)間[π6，π2]單調，其中[ω]為正整數(shù)，[φ]＜[π2]，且[fπ2=][f2π3]。（1）求y= f（x）圖象的一條對稱軸；（2）若[fπ6=32]，求[φ]。

這幾道題的共同特點是給定函數(shù)的解析式，討論函數(shù)的單調、最值和對稱等問題。在平時教學中，教師要注重對學生進行同類題的訓練。精選同類題目進行訓練可以幫助學生準確掌握知識點，鞏固基本功，提高解題能力。在進行題組訓練時，教師要注意以下三個方面。

一是明確研究問題。教師要依據課程標準和高考評價體系，把握學科的重點和難點，有針對性地選擇題目。關于三角函數(shù)主要涉及以下三大類問題：一是化簡求值的問題，主要考查同角基本關系式、誘導公式、兩角和差公式、兩倍角公式以及恒等變換；二是三角函數(shù)圖象和性質的問題，根據課程標準和高考評價體系，把握學科的重點和難點，主要考查函數(shù)圖象平移、給函數(shù)圖象求解析式、給解析式研究函數(shù)性質；三是解三角形的問題，主要考查三角形中的邊、角、周長和面積的取值和范圍。

二是選準典型題型，以一題帶多題，注意題目的典型性和代表性，提高學生的解題能力。如①（人教版高中數(shù)學必修第一冊第222頁的例題6）在[△ABC]中，[cosA=45]，tanB=2，求tan（2A+2B）的值；②（人教版高中數(shù)學必修第一冊第228頁習題5-5第2題）已知[α]，[β]都是銳角，[cosα=17]，[cosα+β=-1114]，求[cosβ]的值；③（人教版高中數(shù)學必修第一冊第229頁習題5-5第5題）已知[tanα+β=3]，[tanα-β=5]，求[tan2α]和[tan2β]的值［2］。以上三道題都可以用多種方法解決，但解決這幾道題需要完成一個步驟，就是要仔細觀察所求的角和題目條件中的角的關系。如第①題的2A+2B=2（A+B），第②題的[β=（α+β）-α]，以及第③題的[2α=（α+β）]+[（α-β）]、[2β=（α+β）]-[（α-β）]。指出這些共性，可以讓學生從這些題中歸納出處理這類問題的一般思路。在此基礎上，教師還要適當做引申。如，2023年新課標全國Ⅰ卷第8題：已知[sin（α-β）=13]，[cosαsinβ=16]，則求[cos（2α+2β）]的值。此題的處理思路同樣是觀察角與角的關系，不一樣的是這道題中角的關系不是直接關系，而是間接關系。又如，2021年新高考Ⅰ卷第6題：若[tanθ=-2]，求[sinθ（1+sinθ）sinθ+cosθ]的值。解決此題是利用主要公式把函數(shù)名進行統(tǒng)一，即所謂的“弦化切割、切割化弦”的思想，也是處理給值求值這類題型的典例。

三是延伸拓展題目。教師要適度調整題目難度，兼顧基礎知識和拓展知識，使學習更具挑戰(zhàn)性。如，教師可以將2019全國Ⅰ卷的題目“關于函數(shù)f（x）=[sinx]+[sinx]有下述四個結論：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x）的最大值為2；③f（x）在[-π，π]有4個零點；④f（x）在區(qū)間[π2，π]單調遞減。其中所有正確結論的編號是（ ）”，拓展改編為“設函數(shù)f（x）=[cos2x]+[sinx]，下述四個結論：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x）的最小正周期為[π]；③f（x）的最小值為0；④f（x）在[0，2π]上有3個零點。其中所有正確結論的編號是（ ）”。這樣拓展改編更具有挑戰(zhàn)性。

在實際教學中，教師還需要做好以下三方面的工作：一是根據教學內容和學生的實際需求，設計具有針對性的題組訓練題目，注重知識點的融合和拓展；二是設置合理的訓練時間，讓學生在有限的時間內完成一定數(shù)量的題目，提高學生的做題速度和準確率；三是鼓勵學生進行小組討論和交流，充分發(fā)揮團隊協(xié)作的優(yōu)勢，共同解決問題，有助于提高學生的思維能力和團隊協(xié)作精神。

（三）變式訓練提素養(yǎng)

本次九省聯(lián)考中關于給值求值、三角函數(shù)圖象和性質的問題，主要考查學生的數(shù)學運算和邏輯推理等核心素養(yǎng)。變式訓練是一種針對個人素養(yǎng)提升的訓練方法，它通過不斷調整訓練內容和方式，使受訓者在各個方面得到全面提升，有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維、拓展學生的知識面。在平時教學過程中，如何選擇題目作為變式源題，如何進行變式，這些都是值得思考的問題。筆者建議，教師可以根據教材中一些經典題目，或是高考題、模擬試題作為源題，通過將題目中的條件和結論互換、將條件弱化或強化、將結論進行改裝等方式進行變式，就是通過類比聯(lián)想、特殊聯(lián)想、逆向聯(lián)想、引申聯(lián)想等思維方式對相關題目進行改編。

一是以教材中一些經典的題目為題源。教師要對題目進行一題多解，讓學生交流討論，歸納各種方法的共性，同時引導學生對題目進行相應變式。比如，讓學生思考交換條件和結論是否依然成立，改變題目條件由特殊情況聯(lián)想到一般情況是否適用等，讓學生在問題解決的過程中體會變與不變，感悟問題的本質。教師還可以引導學生變式設疑，調動學生的積極思維，引導他們進行深層次的思考。如，人教版高中數(shù)學必修第一冊第183頁的例題6：已知[sinα=-35]，求[cosα]，[tanα]的值。筆者進行如下變換：①條件和問題調換，已知[tanφ=-3]，求[sinφ]，[tanφ]的值；②在前一變換的基礎上改變問題，已知[tanα=-13]，求[sinα+2cosα5cosα-sinα]的值；③改變條件和問題，已知[sinα+cosα=2]，求[sinαcosα]與[sin4α+][cos4α]的值。

二是以具有代表性、典型性和拓展性的高考題或模擬試題為題源，運用類比聯(lián)想、特殊聯(lián)想、逆向聯(lián)想、引申聯(lián)想等思維方式，對題目進行深入思考、挖掘和研究，鍛煉學生的數(shù)學思維。如，2021年全國高考甲卷：若[α∈0，π2]，[tan2α=][cosα2-sinα]，則[tanα=]（ ）。（A.[1515]；B.[55]；C.[53]；D.[153]）筆者進行如下變式：①基礎變式，已知[θ∈π4，π2]，且[sinθ+π4]=[31010]，求[tanθ]的值；②鞏固變式，已知[sinα-][cosα=2]，[α∈]（0，π），求[tanα]的值；③提升變式，已知[tan2θ-4tanθ+1=0]，求[cos2θ+π4]的值；④提升變式，若[tanθ=-2]，求[sinθ（1+sin2θ）sinθ+cosθ]的值。

又如，2023年全國甲卷第16題：在[△ABC]中，[∠BAC=60°]，AB=2，BC=[6]，[∠BAC]的角平分線交BC于D，求AD的值。本題需要學生靈活運用正弦、余弦定理進行邊角互化，求角平分線的長度，考查學生的數(shù)學運算、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)，綜合性較強。因為本題涉及角平分線問題，所以筆者引申出中線（中點）或是分點等問題：①中點、中線問題，在[△ABC]中，AB=2，BC=[6]，AC=[3+1]，[∠BAC=θ]，AD為BC的中線，求AD2的值；②分點問題，在[△ABC]中，[∠BAC=60°]，AB=2，AC=[3+1]，D為BC靠近點B的三等分點，求AD2的值。

教材中的經典例題、習題和高考真題、模擬試題，既有豐富的數(shù)學知識，又隱含著深刻的數(shù)學思想方法，為了更好地向學生傳授數(shù)學知識，教師需要對這些題目進行深入研究。通過對經典題目的深入研究和拓展，教師可以引導學生從以教材為基礎的知識學習逐步過渡到以知識為基礎的方法學習，最終完成以方法為基礎的思想培養(yǎng)，對培養(yǎng)學生學習能力、數(shù)學學科核心素養(yǎng)有很大的幫助?？傊?，深入研究和拓展教材中的經典題目，或是高考真題、模擬試題，將題目進行適當變式，在變的過程中抓住不變的本質，是實現(xiàn)數(shù)學教學由知識傳授向方法指導轉變、提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的關鍵。這就是試題研究的意義所在。本文針對九省聯(lián)考數(shù)學試題中的三角函數(shù)試題進行分析，發(fā)現(xiàn)相關試題總量在減少，其涵蓋的知識領域也受到影響，然而其考查的重點仍集中在數(shù)學學科核心素養(yǎng)方面。這告訴教師關注基礎、注重學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)，仍是當前的教學要務，教師要根據學情進行深度研究，探索更為有效的教學方法。

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020：21.

［2］普通高中教科書數(shù)學必須第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2022：222-229.

注：本文系南寧市教育科學“十四五”規(guī)劃2022年度課題“以課本題為生長點的深度學習策略與案例研究”（2022C395）的研究成果。

（責編 蒙秀溪）