王繼梅，胡 堯,b

（貴州大學(xué)a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；b.公共大數(shù)據(jù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，貴陽 550025）

0 引言

回歸模型是金融學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)等許多領(lǐng)域流行的數(shù)據(jù)分析工具。由于各研究領(lǐng)域的特性，模型中的一些參數(shù)可能會(huì)隨著時(shí)間的推移而改變，因此時(shí)不變模型并不總是適用于整個(gè)數(shù)據(jù)集。一個(gè)好的模型應(yīng)該具有解釋整個(gè)數(shù)據(jù)集的靈活性，為了解決這個(gè)問題，可使用變點(diǎn)檢測(cè)方法識(shí)別觀測(cè)序列的參數(shù)變點(diǎn)，從而分割樣本，再分別對(duì)每個(gè)子樣本進(jìn)行建模。關(guān)于單變點(diǎn)問題，目前已有一系列成熟的研究成果[1—3]。而多變點(diǎn)問題較為復(fù)雜，需要同時(shí)識(shí)別變點(diǎn)的個(gè)數(shù)和對(duì)應(yīng)的位置。

Brown 等（1975）[4]提出基于遞歸殘差的CUSUM（Cumulative Sum）檢驗(yàn)，用于識(shí)別回歸參數(shù)的不穩(wěn)定性。Ploberger 和Kr?mer（1992）[5]提出基于OLS（Ordinary Least Squares）殘差的CUSUM 檢驗(yàn)，并將其與Brown 等（1975）[4]的方法在局部功效方面進(jìn)行了對(duì)比。Deng 和Perron（2008）[6]研究了上述兩種CUSUM 檢驗(yàn)的非局部功效性質(zhì)。Bai 和Perron（2003）[7]基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃原則下的最小化殘差平方和算法，提出循序檢驗(yàn)法用于估計(jì)具有多個(gè)參數(shù)變點(diǎn)的線性模型。Chen和Nkurunziza（2017）[8]研究了變點(diǎn)數(shù)已知情形下的多變點(diǎn)問題。Jiang 和Kurozumi（2019）[9]提出基于最小二乘估計(jì)殘差和遞歸殘差的兩個(gè)多元CUSUM統(tǒng)計(jì)量，但基于遞歸殘差的統(tǒng)計(jì)量在備擇假設(shè)下的功效較低。楊超等（2020）[10]提出合并帶寬MOSUM（Moving Sum）檢測(cè)方法。胡丹青和趙為華（2022）[11]基于貝葉斯后驗(yàn)推理及遺傳算法研究了線性回歸模型多結(jié)構(gòu)變點(diǎn)（即參數(shù)變點(diǎn)）的變點(diǎn)檢測(cè)方法。此外，許多變點(diǎn)檢測(cè)方法的應(yīng)用離不開有效的算法，如二元分割（Binary Segmentation，BS）[12]、隔離檢測(cè)（Isolate-Detect，ID）[13]等。ID 算法變點(diǎn)檢測(cè)的準(zhǔn)確度較高，可將其拓展至多元回歸模型的變點(diǎn)檢測(cè)。

在變點(diǎn)分析領(lǐng)域，目前多數(shù)文獻(xiàn)針對(duì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的方法，尤其是在變點(diǎn)理論中廣泛應(yīng)用的CUSUM 統(tǒng)計(jì)量的基礎(chǔ)上做了許多擴(kuò)展和改進(jìn)，但現(xiàn)有研究仍存在功效低、計(jì)算迭代時(shí)間成本高、小樣本數(shù)據(jù)準(zhǔn)確度低等不足。鑒于此，本文提出基于逆向累積遞歸殘差和隔離檢測(cè)技術(shù)的多元CUSUM檢驗(yàn)方法，得到適用范圍更廣泛、檢測(cè)效果更好的MCPDP（Multiple Change Points Detection of Paramter）變點(diǎn)檢測(cè)算法。

1 多元CUSUM檢驗(yàn)

基于參數(shù)設(shè)置，考慮如下線性回歸模型：

其中，yt是響應(yīng)變量，協(xié)變量xt=(xt1，xt2，…，xtk)′為k維列向量，回歸系數(shù)βt是依賴于時(shí)間t的k維列向量，εt為不可觀測(cè)的隨機(jī)誤差項(xiàng)。若式（1）中包含一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，則對(duì)于任意的t，有xt1=1。

考慮如下假設(shè)檢驗(yàn)問題：

其中，β是一個(gè)固定的k維列向量，g:R →Rk為有界的分段常值函數(shù)。若備擇假設(shè)H1成立，則說明參數(shù)向量βt發(fā)生了變化，需對(duì)模型中存在的參數(shù)變點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)。

為了研究檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近性質(zhì)，作以下假設(shè)。

假設(shè)1：

基于遞歸殘差的一元CUSUM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量已經(jīng)有了一些研究成果，其中，Sen（1982）[14]證明了在原假設(shè)下該統(tǒng)計(jì)量弱收斂于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)；Ploberger 和Kr?mer（1990）[15]推導(dǎo)出在備擇假設(shè)下該統(tǒng)計(jì)量弱收斂于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)加上協(xié)變量均值與結(jié)構(gòu)突變的交互項(xiàng)，這說明一元CUSUM 檢驗(yàn)的功效取決于協(xié)變量均值與參數(shù)變化方向的夾角，當(dāng)二者正交時(shí)，將沒有功效。為了克服這個(gè)困難，使用協(xié)變量與遞歸殘差的乘積代替遞歸殘差，考慮多元CUSUM檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量定義為：

在假設(shè)1下，多元序列xtεt滿足多元泛函中心極限定理[16]，類似地，也適用于基于遞歸殘差的多元CUSUM過程。

定理1：設(shè)假設(shè)1和假設(shè)2成立。

（1）若原假設(shè)成立，則當(dāng)n→∞時(shí)，有：

其中，?表示弱收斂，B(k)(r)是一個(gè)k維的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

（2）若備擇假設(shè)成立，則當(dāng)n→∞時(shí)，有：

假設(shè)3：邊界函數(shù)的形式為b(r)=λαd(r)，且d(r) 連續(xù)，存在ε＞0，使得對(duì)任意的r≥0 有d(r)＞ε。

根據(jù)定理1、假設(shè)3和連續(xù)映射定理，可得：

若原假設(shè)成立，則當(dāng)n→∞時(shí)，有：

若備擇假設(shè)成立，則當(dāng)n→∞時(shí)，有：

事實(shí)上，若僅關(guān)注特定的系數(shù)是否存在變點(diǎn)，則部分檢驗(yàn)會(huì)有更好的檢測(cè)效果。此時(shí)，H0:H′βt=H′β，其中，H是一個(gè)k×l的列滿秩矩陣。考慮如下的部分CUSUM過程：

若原假設(shè)成立，且滿足假設(shè)1 和假設(shè)2，則當(dāng)n→∞時(shí)，有。因此，多元正向CUSUM 檢驗(yàn)與下文的BCUSUM 檢驗(yàn)可以基于改進(jìn)的構(gòu)造適用于部分檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

2 多變點(diǎn)估計(jì)算法

2.1 BCUSUM檢驗(yàn)

盡管多元CUSUM檢驗(yàn)可以解決協(xié)變量均值與結(jié)構(gòu)突變正交時(shí)一元CUSUM 沒有功效的問題，但該檢驗(yàn)在備擇假設(shè)下的功效并不好，其原因是變點(diǎn)產(chǎn)生之前的遞歸殘差期望為0，變點(diǎn)產(chǎn)生之后其期望不為0，于是變點(diǎn)之前的遞歸殘差不含有用信息，這些殘差過程將表現(xiàn)為純隨機(jī)游走過程，此種累積方式會(huì)增加噪聲，從而使得變點(diǎn)檢測(cè)效果較差。因此，為了提高功效，改善變點(diǎn)估計(jì)性能，可通過逆向累積遞歸殘差構(gòu)造檢測(cè)器，即BCUSUM，其定義如下：

若||BQt，n||在t=1，…，n中至少有一次大于邊界函數(shù)bt=λαd((n-t+1)/n)，則拒絕原假設(shè)，相應(yīng)的最大統(tǒng)計(jì)量為：

根據(jù)定理1、假設(shè)3和連續(xù)映射定理，可得：

若原假設(shè)成立，則當(dāng)n→∞時(shí)，有：

若備擇假設(shè)成立，則當(dāng)n→∞時(shí)，有：

接下來，根據(jù)式（4）和式（7）研究CUSUM 和BCUSUM檢驗(yàn)在備擇假設(shè)下的漸近功效性質(zhì)?？紤]一個(gè)簡(jiǎn)單的情形，βt=β+n-1/2g(t/n)，其中，g(r)=cI(r≥τ*)，c∈Rk，τ*表示變點(diǎn)位置，I(·)是示性函數(shù)。由h(r)的表達(dá)式可知：

圖1給出了CUSUM和BCUSUM檢驗(yàn)在k=1時(shí)的漸近功效曲線。模擬實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù)設(shè)為100000 次，由下文可知，兩種檢測(cè)方法的檢驗(yàn)水平是不同的，故使用調(diào)整檢驗(yàn)水平為5%的臨界值，研究備擇假設(shè)下檢測(cè)方法的漸近功效。圖1（a）至圖1（e）表明，除了變點(diǎn)發(fā)生時(shí)刻特別靠前之外，BCUSUM的檢驗(yàn)功效都比CUSUM檢驗(yàn)功效高，且變點(diǎn)位置越靠后，其優(yōu)勢(shì)越明顯。此外，從圖1（f）中可以看出，對(duì)于固定的，若變點(diǎn)τ*位于樣本量的320 之后，則BCUSUM檢驗(yàn)比CUSUM檢驗(yàn)有更好的變點(diǎn)估計(jì)性能。

圖1 漸近功效曲線

在基于BCUSUM檢驗(yàn)識(shí)別出模型存在結(jié)構(gòu)突變后，需要確定變點(diǎn)的具體位置。對(duì)于βt=β+δI(r≥τ*)（δ≠0）的單變點(diǎn)模型，可采用極大似然估計(jì)量，然而，當(dāng)變點(diǎn)位置靠后時(shí)，會(huì)出現(xiàn)較大的估計(jì)誤差。為了解決這個(gè)問題，可通過逆向累積遞歸殘差構(gòu)造估計(jì)相對(duì)變點(diǎn)位置的統(tǒng)計(jì)量。||BQ[rn]，n|| 漸近正比于||h(1)-h(r)||，當(dāng)0 ＜r＜τ*時(shí)，||h(1)-h(r)||為常值；當(dāng)τ*≤r≤1時(shí)，||h(1)-h(r)||為單調(diào)減函數(shù)。若利用||BQ[rn]，n||的漸近標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)其進(jìn)行縮放，則該檢測(cè)器將漸近正比于將正比于式（9）（根據(jù)式（8）可得）。

式（9）在r=τ*處取得最大值。因此，考慮：

定理2：令βt=β+δI(t/n≥τ*)，δ≠0，且滿足假設(shè)1，則對(duì)于τ*∈(0，1]，當(dāng)n→∞時(shí)，有。

根據(jù)h(r)的表達(dá)式、定理1 及連續(xù)映射定理可得，定理2表明變點(diǎn)估計(jì)量是τ*的相合估計(jì)。

2.2 MCPDP算法

BCUSUM檢驗(yàn)是針對(duì)單變點(diǎn)情形展開的，然而多變點(diǎn)問題是統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中常見的問題，為了使上述變點(diǎn)檢測(cè)方法適用于此類問題，可結(jié)合隔離檢測(cè)技術(shù)來估計(jì)變點(diǎn)個(gè)數(shù)及位置。該技術(shù)能避免包含多個(gè)變點(diǎn)的區(qū)間、允許在可能很小幅度的頻繁變化的情況下進(jìn)行檢測(cè)，以及計(jì)算復(fù)雜度較低，從而提高變點(diǎn)檢測(cè)的準(zhǔn)確性和降低其計(jì)算成本。鑒于該技術(shù)的諸多優(yōu)勢(shì)，本文將其拓展到回歸模型的參數(shù)變點(diǎn)檢測(cè)，提出MCPDP算法。MCPDP是按照一定的步長(zhǎng)以左右交換的形式向中間擴(kuò)展檢測(cè)區(qū)間，判斷是否有變點(diǎn)的一個(gè)過程。假設(shè)模型存在N個(gè)參數(shù)變點(diǎn)，對(duì)每一個(gè)變點(diǎn)τj（j=1，…，N），MCPDP 可分為2 個(gè)階段：階段1 是將τj隔離在一個(gè)區(qū)間，使得該區(qū)間不再包含其他變點(diǎn)；階段2 是利用式（5）中的檢測(cè)變點(diǎn)τj。其基本思想可概括如下：

針對(duì)回歸模型的多參數(shù)變點(diǎn)檢測(cè)問題，本文提出的MCPDP 算法是基于快速、準(zhǔn)確的隔離檢測(cè)技術(shù)且在變點(diǎn)發(fā)生時(shí)刻靠后時(shí)檢測(cè)也高效的BCUSUM檢驗(yàn)。在給定δn、λα和(s，e]的情況下，MCPDP算法的步驟如下頁表1所示。

表1 MCPDP算法步驟

3 模擬研究

本文通過數(shù)值模擬討論BCUSUM 檢驗(yàn)的有限樣本性質(zhì)，主要分析不同變點(diǎn)位置和樣本量對(duì)檢驗(yàn)水平與功效的影響，以及使用一系列的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則來說明MCPDP 算法的優(yōu)良性。數(shù)據(jù)由兩種情形下的模型產(chǎn)生：

情形1：yt=1+utzt+εt，t=1，…，n。

情形2：yt=ut+0.5yt-1+εt，t=1，…，n。

其中，ut=0.9I(t/n≥τ*)，zt=(1+0.5L)et，L是滯后算子，et與εt獨(dú)立且服從于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。情形1和情形2分別對(duì)應(yīng)整體和部分結(jié)構(gòu)突變檢驗(yàn)，其中，H=(1，0)′。

設(shè)樣本量n=120，500，2000，9000，顯著性水平取α=0.05，對(duì)于不同情形、方法和樣本量取值的每種組合，模擬實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù)設(shè)為10000次。表2給出了原假設(shè)下檢驗(yàn)水平的結(jié)果，其中，sup W表示的是Andrews（1993）[17]提出的sup-Wald檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，調(diào)整參數(shù)為0.15，該方法具有弱最優(yōu)性。從表2 中可以看出，CUSUM、BCUSUM 和sup-Wald的檢驗(yàn)水平均接近于顯著性水平0.05，部分存在一些扭曲。在不同情形下，無論樣本量多大，相比于CUSUM和sup-Wald，BCUSUM都較好地控制了檢驗(yàn)水平。

表2 檢驗(yàn)水平

設(shè)變點(diǎn)相對(duì)位置τ*=0.1，0.3，0.5，0.7，0.9，對(duì)n與τ*取值的每個(gè)組合，設(shè)置模擬次數(shù)為10000 次。表3 給出了備擇假設(shè)下功效的結(jié)果。從表3中可以看出，除了τ*=0.1之外，BCUSUM檢驗(yàn)相比CUSUM檢驗(yàn)都有更好的性能，尤其是在樣本量較小時(shí)；sup-Wald檢驗(yàn)具備弱最優(yōu)性，盡管CUSUM 檢驗(yàn)的功效比sup-Wald 檢驗(yàn)的功效低得多，但是BCUSUM 的逆序累積結(jié)構(gòu)彌補(bǔ)了CUSUM 的不足，BCUSUM 檢驗(yàn)與sup-Wald 檢驗(yàn)有相似的性能，因此BCUSUM檢驗(yàn)具有較好的功效性質(zhì)；在有限樣本中，變點(diǎn)位置對(duì)檢驗(yàn)方法的影響與理論結(jié)果一致；僅從樣本量的角度來比較功效可以發(fā)現(xiàn)，樣本量越大，功效越大，最終所有方法的功效都趨近于1。

表3 功效對(duì)比

為了說明MCPDP 算法的有效性，將該算法與另外兩種變點(diǎn)檢測(cè)算法的變點(diǎn)估計(jì)性能進(jìn)行比較，其中第一種算法是Bai 和Perron（2003）[7]提出的BP 算法，第二種算法是Jiang和Kurozumi（2019）[9]提出的多元正向CUSUM單變點(diǎn)檢驗(yàn)算法，本文利用ID技術(shù)實(shí)現(xiàn)了多變點(diǎn)檢測(cè)。為此，設(shè)置模擬數(shù)據(jù)如下。

情形3：yt=ut+εt，t=1，…，n

其中，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度n=300，500，900，εt～N(0，0.22)，變點(diǎn)位置向量τ=([0.278n]，[0.452n]，[0.486n]，[0.6n]，[0.618n]，[0.666n])，各個(gè)區(qū)段均值u依次為-0.18、0.08、1.07、-0.53、0.16、-0.69、-0.16。

針對(duì)模擬數(shù)據(jù)，為評(píng)價(jià)變點(diǎn)檢測(cè)算法性能，采用Hausdorff距離（dH）、F_score及蘭德指數(shù)（Rand Index）作為綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)，dH取值越小或F_score 及Rand Index 取值越大，表明算法性能越好。此外，還比較了不同算法的程序運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)。每種情形分別進(jìn)行5000次模擬，評(píng)價(jià)指標(biāo)均采用均值表示，模擬結(jié)果見下頁圖2。

圖2 算法在情形3下不同數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的模擬結(jié)果

4 案例分析

交通三參數(shù)（流量q、速度v和密度k）表征交通流特性，他們之間的成對(duì)關(guān)系通常被稱為交通流理論的基本關(guān)系或基本圖（Fundamental Diagram，F(xiàn)D），在交通建模與交通管理中至關(guān)重要。考慮到道路交通情況復(fù)雜多變，交通數(shù)據(jù)異構(gòu)多源，時(shí)空相依性強(qiáng)，原有的工程經(jīng)驗(yàn)確定性基本關(guān)系模型q=kv有較大的局限性，本文探究交通三參數(shù)的動(dòng)態(tài)關(guān)系，并將交通條件、交通環(huán)境、車輛、駕駛員、駕駛行為等影響因素作為隨機(jī)擾動(dòng)納入模型中。通過實(shí)際交通數(shù)據(jù)識(shí)別交通參數(shù)變點(diǎn)，揭示交通流的演變規(guī)律，從而驗(yàn)證本文方法的有效性。

數(shù)據(jù)來源于貴陽市交通管理局。以貴陽市觀山湖區(qū)長(zhǎng)嶺北路與東林寺路交叉口交通流量和交通速度為研究對(duì)象，選取2021年3月8日至2021年3月14日一周的交通流量和速度數(shù)據(jù)，按采集粒度5min 統(tǒng)計(jì)，每天有288 個(gè)數(shù)據(jù)量。以2021年3月9日（周二，工作日）和2021年3月13日（周六，非工作日）的交通流量和速度數(shù)據(jù)為例，圖3 展示了這兩日的三維FD。從圖3 中可以看出，隨著時(shí)間的變化，交通流量與交通速度的線性關(guān)系是動(dòng)態(tài)變化的，因此，不再基于歷史數(shù)據(jù)靜態(tài)建模，而是在本文所提模型框架下研究該數(shù)據(jù)的參數(shù)變點(diǎn)，這樣更符合實(shí)際情況。

圖3 三維FD

將交通速度作為自變量，交通流量作為因變量，構(gòu)建回歸模型。經(jīng)MCPDP變點(diǎn)檢測(cè)算法檢測(cè)，2021年3月9日存在三個(gè)變點(diǎn)，分別是06:30、07:15和19:35（具體結(jié)果見表3）。根據(jù)實(shí)際情況分析，變點(diǎn)產(chǎn)生的原因可能是：06:30與07:15 對(duì)應(yīng)的是兩個(gè)早高峰時(shí)刻，這可能是受到人們?cè)缟铣鲂猩习?、上學(xué)處在不同擁擠時(shí)段的影響，交通流波動(dòng)較大，19:35處于下班、休閑娛樂等活動(dòng)的晚高峰時(shí)期。根據(jù)速度系數(shù)取值，可以發(fā)現(xiàn)都是正值，因?yàn)樗俣认禂?shù)對(duì)應(yīng)的是交通密度，取值非負(fù)，在時(shí)段(07:15，19:35]內(nèi)的速度系數(shù)最高為24.8518，即該時(shí)段的交通流量相對(duì)較高，這與實(shí)際相符。表3中的第2行是利用所有數(shù)據(jù)建立交通流量關(guān)于交通速度的回歸模型，擬合優(yōu)度只有0.6628；表3 中的其余行是利用相鄰變點(diǎn)間的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，擬合優(yōu)度顯著提升，說明帶有變點(diǎn)的模型能更好地捕捉數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)變化，對(duì)數(shù)據(jù)的刻畫更貼切。

表3 2021年3月9日的變點(diǎn)估計(jì)結(jié)果

2021年3月13日存在四個(gè)變點(diǎn)，分別是00:45、06:20、07:15和20:55（具體結(jié)果見表4）。其中，00:45可能是由部分工作者在周五下班后進(jìn)行夜間朋友聚會(huì)等休閑娛樂活動(dòng)造成的，06:20 和07:15 時(shí)人們?cè)缙鸹顒?dòng)、購(gòu)物或出游等造成了新波動(dòng)；20:55時(shí)人們開始夜間的消遣娛樂活動(dòng)，再次引起交通狀態(tài)的變化。此外，和表3 的結(jié)果相似，經(jīng)變點(diǎn)檢測(cè)后，帶有變點(diǎn)的模型的擬合效果更好。

表4 2021年3月13日的變點(diǎn)估計(jì)結(jié)果

綜上可知，工作日和非工作日交通參數(shù)的基本關(guān)系存在較大差異，在同一路段的不同時(shí)段產(chǎn)生不同的交通流變點(diǎn)，交通管理部門可對(duì)工作日和非工作日的交通采取不同的調(diào)控措施。實(shí)證結(jié)果說明了本文提出的變點(diǎn)檢測(cè)方法可快速且有效地檢測(cè)變點(diǎn)數(shù)量及位置，交通數(shù)據(jù)變點(diǎn)檢測(cè)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的時(shí)間符合實(shí)際交通情況，可以較好地解釋引起交通流波動(dòng)的原因，這可以為相關(guān)部門提供參考依據(jù)。此外，原有交通參數(shù)的確定性經(jīng)驗(yàn)關(guān)系不切合道路交通實(shí)際分析需求，而建立隨機(jī)模型有利于降低后續(xù)FD 等模型的估計(jì)和分類偏差。

5 結(jié)束語

本文提出了基于遞歸殘差的逆序性質(zhì)和隔離檢測(cè)技術(shù)研究回歸模型中多參數(shù)變點(diǎn)的檢測(cè)方法。首先，針對(duì)協(xié)變量均值與偏移量正交導(dǎo)致?lián)p失功效的問題，探討了多元CUSUM檢驗(yàn)及其漸近性質(zhì)，進(jìn)一步研究部分檢驗(yàn)。其次，考慮到正向累積遞歸殘差功效較低，引入修正的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量BCUSUM，分析其漸近性質(zhì)，進(jìn)而得到基于BCUSUM 的變點(diǎn)估計(jì)量。最后，結(jié)合隔離檢測(cè)構(gòu)建MCPDP算法，快速檢測(cè)數(shù)據(jù)的變點(diǎn)個(gè)數(shù)和位置。模擬研究和實(shí)例分析表明，本文所提方法在變點(diǎn)估計(jì)性能方面表現(xiàn)較好，為相關(guān)理論研究提供了參考依據(jù)。隨著技術(shù)的發(fā)展，近年來許多領(lǐng)域?qū)υ诰€變點(diǎn)檢測(cè)方法的需求急劇上升，因此，如何將該方法擴(kuò)展為在線變點(diǎn)檢測(cè)方法是下一步的研究方向，快速監(jiān)測(cè)變點(diǎn)并報(bào)警對(duì)于減少損失、降低風(fēng)險(xiǎn)具有重要意義。