李偉梅，高雷阜

（遼寧工程技術(shù)大學(xué)a.工商管理學(xué)院，遼寧 葫蘆島 125105；b.運籌與優(yōu)化研究院，遼寧 阜新 123000）

0 引言

風(fēng)險度量是反映決策者對小概率、高成本極端事件態(tài)度的方法，依賴于隨機變量的概率分布。在通常情況下，隨機變量的真實分布未知，在根據(jù)歷史數(shù)據(jù)獲得估計分布的過程中，分布尾部模型誤差造成的尾部風(fēng)險偏差在實際決策問題中會造成嚴(yán)重的后果。因此，強化一般風(fēng)險度量方法對分布尾部不確定性的穩(wěn)健捕捉能力至關(guān)重要。

魯棒風(fēng)險度量是通過在一組潛在分布中尋找最壞情況風(fēng)險值來解決分布不確定的穩(wěn)健優(yōu)化方法。潛在分布逼近真實分布所需滿足的分布特征條件由其不確定集描述，矩信息是不確定集的主要內(nèi)容。Mnatsakanov（2008）[1]指出，高階矩可以獲取關(guān)于分布的進一步信息，其在復(fù)雜優(yōu)化問題中會存在很大的統(tǒng)計誤差。分?jǐn)?shù)階矩理論上含有大量整數(shù)階矩的信息，可以避免高階整數(shù)矩的誤差問題。針對分?jǐn)?shù)階矩的復(fù)雜數(shù)值積分計算問題，Alibrandi 和Mosalam（2018）[2]通過定義分?jǐn)?shù)階序列給出了解決方法，擴展了分?jǐn)?shù)階矩的使用范圍。Zhang 等（2020）[3]在最大熵分布估計模型研究中驗證了分?jǐn)?shù)階矩相比高階整數(shù)矩能夠更準(zhǔn)確地表示概率分布尾部。綜上，精細刻化分布尾部特征離不開分?jǐn)?shù)階矩，但目前鮮有研究在魯棒風(fēng)險度量中引入分?jǐn)?shù)階矩來優(yōu)化尾部風(fēng)險度量的精準(zhǔn)性。

基于矩信息估計的分布很難完全符合真實分布，分布模型存在誤差不可避免，量化模型誤差是魯棒風(fēng)險度量不可或缺的內(nèi)容，而參考分布和分布距離是其中最為重要的兩個因素。一般而言，參考分布會選擇經(jīng)驗分布或已知的參數(shù)分布，其參數(shù)由基于3σ原理的極大似然估計得到，分布尾部估計誤差不被作為主體考慮，存在低估尾部厚度的可能。錯誤的分布假設(shè)和不完善的估計會帶來危害性很大的尾部模型誤差，導(dǎo)致的尾部風(fēng)險度量偏差在實際問題中會引發(fā)很嚴(yán)重的后果。因此，構(gòu)建能有效反映真實分布尾部行為的參考分布對準(zhǔn)確描述分布尾部模型誤差至關(guān)重要。分布距離度量作為定義不確定集的主要方式，決定了哪些分布可以作為潛在分布，可用于刻畫分布模型誤差。Glasserman 和Xu（2014）[4]將相對熵視為潛在分布合理的指標(biāo)，量化了分布誤差對風(fēng)險度量的影響。Kruse等（2019）[5]在其研究中解析說明了相對熵的局限性，并得到其不適用于重尾分布的結(jié)論。Feng（2019）[6]在模型風(fēng)險的研究中，針對相對熵的局限性，指出用Wasserstein 距離替代相對熵刻畫分布模型誤差有明顯的效果。但根據(jù)Rodríguez 等（2021）[7]的研究，Wasserstein 距離中成本函數(shù)的選擇會造成概率分布幾何結(jié)構(gòu)被忽略，得到的結(jié)果可能是次優(yōu)的，存在兩個分布整體Wasserstein距離很小但分布尾部結(jié)構(gòu)不同的可能，而尾部反映對識別真實分布十分重要。因此，基于Wasserstein距離的分布尾部模型誤差問題仍需細化研究。

鑒于此，本文以提升一般魯棒風(fēng)險度量優(yōu)化模型精準(zhǔn)性為目標(biāo)，克服一般參數(shù)分布不能刻畫分布尾部行為的限制，強化風(fēng)險度量對分布尾部不確定性的精細刻畫能力，從分布尾部信息刻畫和誤差量化兩種角度改進魯棒風(fēng)險度量模型，為突發(fā)性極端風(fēng)險度量提供參考。

1 理論方法概述

1.1 魯棒優(yōu)化方法

令X={x1，…，xN}為離散型隨機變量，P={p1，…，pN}為X在支撐集Ω上的未知概率分布。令Z={z1，…，zN}為將X映射到[0,1]內(nèi)的隨機變量，其在支撐集S上的概率分布為Q={q1，…，qN}。以通常的指數(shù)分布簇為基準(zhǔn)，當(dāng)Q=exp(-β(Z))，β(Z)～ρZt，t∈R 為形狀參數(shù)，ρ∈R 為尺度參數(shù)時，分布Q的尾部行為取決于ρ和t[5,8]。

對于隨機變量Z，一般的魯棒風(fēng)險度量模型為：

其中，v(Z)表示與隨機變量Z相關(guān)的損失函數(shù)，Γ 為隨機變量Z的分布不確定集。文獻[9]給出了幾種構(gòu)建Γ的方法，矩信息和分布距離是其中最主要的內(nèi)容。

1.2 分?jǐn)?shù)階矩與分布距離度量方法

隨機變量Z的分?jǐn)?shù)階矩[10]為：

其中，α={α1，…，αK}，αk∈R，k=1，…，K。少量低階分?jǐn)?shù)階矩能捕捉分布尾部信息并保留分布的某些結(jié)構(gòu)，在數(shù)值算例中具有穩(wěn)定性。

Wasserstein 距離[11]作為最優(yōu)傳輸?shù)奶乩啥攘糠墙^對連續(xù)分布距離，令={，…，}為樣本數(shù)據(jù)估計的參考分布，則概率分布Q和參考分布之間的離散Wasserstein距離為：

其中，Y=(y1，…，yN)～，c(Z，Y)為傳輸成本，γ(Z，Y)是分布Q和Q^ 的聯(lián)合分布，Π 是所有可能聯(lián)合分布組成的集合，γ(Z，Y)滿足以下性質(zhì)。

Wasserstein距離克服了相對熵的局限性，可度量任意兩個概率分布之間的距離。在高維樣本數(shù)據(jù)的計算中，由于分布不能可數(shù)離散化，因此集合勢比較大，Wasserstein距離估計會遭遇維數(shù)災(zāi)難。熵正則化的Wasserstein 距離[12]簡化了其計算復(fù)雜度，并將最優(yōu)傳輸問題轉(zhuǎn)化為一個嚴(yán)格凸問題，能更合理地表示分布的不確定性，具體表達式如下：

其中，φ∈R 為調(diào)節(jié)熵正則化懲罰力度的系數(shù)。

2 魯棒風(fēng)險度量

2.1 概率分布估計模型

魯棒風(fēng)險度量優(yōu)化離不開參考分布，在參考分布估計方法中，文獻[13]基于分?jǐn)?shù)階矩信息給出最大熵概率分布估計模型，用于提升對分布尾部不確定性的估計能力。模型如下：

最大熵分布是在已知部分信息的情況下，對未知分布不添加任何其他約束的分布估計方法，存在較大的分布模型誤差。因此，為了提高概率分布尾部的估計精度，在此模型的基礎(chǔ)上，引入Wasserstein 距離度量分布模型誤差，建立基于分?jǐn)?shù)階矩和熵正則化Wasserstein 的概率分布估計模型：

其目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)關(guān)于γ(Z，ξ)可微，且一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，滿足約束規(guī)范條件[14]，Lagrange對偶問題為：

其中，λ={λ1，…，λk}，v是Lagrange 乘子。根據(jù)Lagrange對偶理論，可得模型（10）的最優(yōu)解為：

根據(jù)公式（5），模型（8）的最優(yōu)解={，…，}可以表示為：

其中，λ，v，α可通過求解以下模型得到：

在本文提出的概率分布估計模型中，分?jǐn)?shù)階矩增加了能更精細刻畫分布尾部的約束性，熵正則化Wasserstein距離解決了分布模型誤差刻畫和非凸優(yōu)化的凸松弛問題，兩者結(jié)合有助于概率分布尾部精細化估計，根據(jù)此模型可以精準(zhǔn)地確定隨機變量Z的參考分布。

2.2 基于分?jǐn)?shù)階矩和Wasserstein距離的魯棒風(fēng)險度量模型

基于矩約束且考慮模型誤差的一般魯棒風(fēng)險度量模型為：

魯棒風(fēng)險度量模型對概率分布尾部不確定性的捕捉能力依賴于矩約束E[(Z)β]=μβ，模型誤差取決于D(Q|Q^)。鑒于少量低階分?jǐn)?shù)階矩能克服高階整數(shù)矩的數(shù)值不穩(wěn)定性刻畫分布尾部，熵約束的Wasserstein距離能夠突破相對熵的局限性有效量化模型誤差，建立如下魯棒風(fēng)險度量模型：

其中，Y={y1，…，yN}～，為公式（12）確定的概率分布估計結(jié)果,ε1，ε2為給定的分布模型誤差閾值。根據(jù)文獻[6]的研究，上述模型等價于：

將分?jǐn)?shù)階α視為參數(shù)，對于γ(Z，Y)而言，上述模型滿足約束規(guī)范條件和強對偶性，其Lagrange對偶問題為：

其中，η={η1，…，ηk},σ,κ，ρ是Lagrange 乘子，σ反映Wasserstein 距離約束對目標(biāo)函數(shù)的影響。根據(jù)Lagrange對偶理論，可得模型（18）的最優(yōu)解為：

其中，η,σ,κ可通過優(yōu)化以下模型得到：

2.3 基于分?jǐn)?shù)階矩和分片Wasserstein 距離的魯棒風(fēng)險度量模型

在魯棒風(fēng)險度量模型（15）中，由于Wasserstein距離會忽略分布幾何結(jié)構(gòu)，而尾部結(jié)構(gòu)反映的信息對識別真實分布極其重要，結(jié)合最壞情況分布公式（19）可知，分布尾部結(jié)構(gòu)依賴于Wasserstein距離成本函數(shù)的選擇，適合度量整體分布模型誤差的Wasserstein距離不一定適合度量分布尾部差異，對分布尾部差異特設(shè)一種局部Wasserstein距離對于強化魯棒風(fēng)險度量對尾部不確定性的捕捉能力是非常有必要的。

根據(jù)纖維叢理論思想[15]，本文提出分片Wasserstein距離，針對分布的不同部分用不同纖維叢來度量分布的差異，從而達到對分布尾部和整體模型誤差進行控制與優(yōu)化的目的。具體地，將隨機變量Z的分布支撐集S分割成M個子支撐集Sm，m=1，…，M,。考慮到樣本數(shù)量對參數(shù)優(yōu)化的影響，選擇有針對性的非均勻分段或者均勻分段方式，取M=1，2，…，選擇逼近效果最優(yōu)的分段數(shù)。在子支撐集上定義具有不同成本函數(shù)的Wasserstein距離：

其中，Pm=prop{Z∈Sm}可由樣本數(shù)據(jù)計算得到，Qm和分別是Z在Sm上的概率分布和參考分布。在每個支撐子集Sm上，基于分?jǐn)?shù)階矩和Wasserstein距離的魯棒風(fēng)險度量模型（22）的求解方法與模型（15）類似，得到子支撐集上的魯棒風(fēng)險度量最壞情況分布為：

由全概率公式可得魯棒風(fēng)險度量模型（15）的最壞情況分布為：

即通過建立分片魯棒風(fēng)險度量模型（22）獲得了魯棒風(fēng)險度量模型（15）的最優(yōu)解。

2.4 分?jǐn)?shù)階矩積分求解方法與算法

在Lagrange 乘子和分?jǐn)?shù)階的優(yōu)化模型（13）和模型（20）中，目標(biāo)函數(shù)關(guān)于Lagrange 乘子是線性的，但關(guān)于分?jǐn)?shù)階α是非線性的，且無法保證凸性，分?jǐn)?shù)階最優(yōu)解不具有唯一性，且分?jǐn)?shù)階積分運算復(fù)雜。針對這一問題，定義分?jǐn)?shù)階序列{α1，…，αQ}可有效解決上述問題。

其中，Q≥2，αmax為分?jǐn)?shù)階的最大值。參考文獻[10]證實，隨著Q的增大，分?jǐn)?shù)階序列{αj}，j=1，…，Q具有較好的收斂性。

在分片魯棒風(fēng)險度量模型（22）中，分?jǐn)?shù)階矩約束和分片數(shù)M 使得需要優(yōu)化的參數(shù)增多，且分?jǐn)?shù)階積分運算復(fù)雜。海鷗優(yōu)化算法（Seagull Optimization Algorithm，SOA）[16]是一種魯棒全局優(yōu)化算法，相比遺傳算法具有高效處理高維復(fù)雜問題的能力。因此，本文采用SOA求解最優(yōu)分?jǐn)?shù)階矩和Lagrange乘子。

3 數(shù)值實驗

假設(shè)隨機變量Z的真實分布是Weibull（1，1.5），生成服從Weibull（1，1.5）的數(shù)量為1000的隨機樣本，作為獲取真實分布信息的歷史數(shù)據(jù)，模型優(yōu)化過程在MATLAB R2019a上完成。

3.1 概率分布估計模型有效性驗證

在基于分?jǐn)?shù)階矩和Wasserstein 距離的概率估計模型（8）中，假設(shè)分?jǐn)?shù)階矩的個數(shù)K=2，取φ=10,αmax=2，為了驗證模型（8）的有效性，采用SOA計算以下三種模型的分布估計結(jié)果：（1）基于分?jǐn)?shù)階矩的最大熵分布估計模型（7）；（2）經(jīng)驗分布估計[17]；（3）基于分?jǐn)?shù)階矩和熵正則化Wasserstein距離的概率估計模型（8）。得到的分布估計結(jié)果如圖1所示。

圖1 分布估計結(jié)果對比

由圖1 的分布估計結(jié)果可知，相比經(jīng)驗分布估計，基于分?jǐn)?shù)階矩的最大熵分布估計在分布的尾部提供了更高的估計精度。這表明引入分?jǐn)?shù)階矩提高了概率分布尾部的估計精度。相比于基于分?jǐn)?shù)階矩的最大熵分布估計模型，基于分?jǐn)?shù)階矩和熵正則化Wasserstein距離的分布估計模型（8）能夠更好地逼近理論Weibull分布的尾部，這說明引入Wasserstein 距離能夠更精細地刻畫分布尾部的約束性。因此，當(dāng)隨機變量服從Weibull分布時，本文提出的概率分布模型更適合作為參考分布來反映分布尾部的不確定性信息，該模型在分布尾部的估計精度和逼近性能上都優(yōu)于其他方法。

為了進一步驗證概率估計模型（8）的精確性，計算三種不同分布估計模型的最優(yōu)分布估計結(jié)果與理論Weibull分布之間的均方誤差（MSE），結(jié)果如表1所示。

表1 分布估計誤差

根據(jù)表1的分布估計誤差結(jié)果可知，基于概率估計模型（8）得到的最優(yōu)分布估計結(jié)果與理論Weibull 分布之間的MSE 較小，為0.2130；而其他兩個模型的MSE 分別為0.2212 和0.2135。較小的MSE 誤差意味著該模型能夠更準(zhǔn)確地逼近目標(biāo)分布，并提供更可靠的概率估計結(jié)果。這表明概率估計模型（8）相比于其他模型，在對理論Weibull分布的擬合精度上具有更好的表現(xiàn)。

3.2 基于分?jǐn)?shù)階矩和Wasserstein 距離的魯棒風(fēng)險度量模型有效性驗證

在基于分?jǐn)?shù)階矩和Wasserstein 距離的魯棒風(fēng)險度量模型（15）中，為了探究分?jǐn)?shù)階矩在提升度量極端風(fēng)險精度方面的有效性，假設(shè)αmax=2，v(z)=-z，c(z，y)=‖z-y‖2，ε1=ε2=0.1，設(shè)置魯棒風(fēng)險度量模型（15）的以下三種情境進行對比分析。情境1：K=2，α∈R+。情境2：K=1，α∈R+。情境3：K=2，α={1，2}。

采用SOA分別求解不同情境下模型的最壞情況風(fēng)險，結(jié)果如表2所示。

表2 魯棒風(fēng)險度量最壞情況風(fēng)險

分析表2的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)隨機變量Z服從Weibull分布時，對比情境2和情境3中最壞情況風(fēng)險與實際風(fēng)險之間的誤差可以發(fā)現(xiàn)，情境2在單個分?jǐn)?shù)階矩約束的情況下具有更高的風(fēng)險度量精確性。這說明相較于整數(shù)階矩，分?jǐn)?shù)階矩更有助于魯棒風(fēng)險度量模型（15）準(zhǔn)確刻畫風(fēng)險。對比情境1和情境2，以及情境1和情境3的結(jié)果時發(fā)現(xiàn)，情境1 中兩個分?jǐn)?shù)階矩約束下的風(fēng)險度量誤差最小，這表明在計算魯棒風(fēng)險度量模型（15）時，將分?jǐn)?shù)階作為參數(shù)，并選擇合適的分?jǐn)?shù)階矩是有意義的。

計算魯棒風(fēng)險度量模型（15）在三種情境下的最壞情況分布，得到的結(jié)果如圖2所示。

圖2 魯棒風(fēng)險度量最壞情況分布

根據(jù)圖2（a）可知，情境1中魯棒風(fēng)險度量模型（15）的最壞情況分布整體上更接近隨機變量的理論Weibull 分布，說明在模型（15）中引入合適的分?jǐn)?shù)階矩能夠有效獲取隨機變量整體分布的信息。另外，根據(jù)圖2（b）可知，分?jǐn)?shù)階矩的引入顯著提升了風(fēng)險度量模型對分布尾部不確定性的捕捉能力。

為了進一步探究魯棒風(fēng)險度量模型（15）的最壞情況風(fēng)險對分?jǐn)?shù)階α和Wasserstein距離約束水平σ的敏感性，給定參數(shù)η=(η1，…，ηk),κ，ρ的值，在這種情況下，最壞情況風(fēng)險和α，σ之間的關(guān)系如圖3所示。

圖3 魯棒風(fēng)險度量最壞情況風(fēng)險敏感性分析

從圖3可以觀察到，在分?jǐn)?shù)階α和Wasserstein距離約束水平σ處于其最優(yōu)值鄰域范圍時，魯棒風(fēng)險度量模型（15）的最壞情況期望有顯著變化，相比于分?jǐn)?shù)階α，Wasserstein距離約束水平σ對模型的最壞情況風(fēng)險具有更大的影響。這意味著選擇能進一步精細刻畫分布誤差的Wasserstein 距離對于提高魯棒風(fēng)險度量模型（15）的精確性是有意義的。

3.3 基于分?jǐn)?shù)階矩和分片Wasserstein 距離的魯棒風(fēng)險度量模型的有效性驗證

固定α={0.1875，1.875}，選取均勻分段方式，令每段的Wasserstein距離的成本函數(shù)均為c(z，y)=‖z-y‖2，計算模型（22）在M取不同值時的最壞情況風(fēng)險，結(jié)果如表3所示。

表3 分片魯棒風(fēng)險度量最壞情況風(fēng)險

觀察表3 可知，隨著分片數(shù)的增加，分布魯棒風(fēng)險度量模型（22）的最壞情況風(fēng)險越來越接近真實風(fēng)險，這說明引入分片Wasserstein 距離有助于提高魯棒風(fēng)險度量模型（22）的精確性。

計算模型（22）在M取不同值時的最壞情況分布，結(jié)果如圖4所示。

圖4 分片魯棒風(fēng)險度量最壞情況分布

從圖4（a）和（b）中觀察到，隨著分片數(shù)M的增加，魯棒風(fēng)險度量模型（22）的最壞情況分布與真實分布的逼近程度提高，特別是在分布尾部的逼近程度顯著提升。這說明，引入分片Wasserstein距離有助于改善模型對分布尾部的估計誤差，提供更準(zhǔn)確的風(fēng)險度量結(jié)果。綜上所述，分片Wasserstein 距離有助于提高最壞情況分布與真實分布的逼近程度，尤其是分布尾部的逼近程度，這對于改進和優(yōu)化風(fēng)險度量模型具有重要意義。

4 結(jié)束語

本文針對已有的魯棒風(fēng)險度量模型關(guān)于分布尾部不確定性的度量問題，以一種對尾部模型誤差具有穩(wěn)健性的方式建立魯棒風(fēng)險度量優(yōu)化模型，在構(gòu)造模型不確定集時，提出基于Wasserstein 距離的分布估計參考方法，突破了已有參數(shù)分布無法反映真實分布尾部行為的限制。鑒于分?jǐn)?shù)階矩具有對分布尾部信息的精準(zhǔn)刻畫能力，本文在解析分布估計的基礎(chǔ)上建立基于分?jǐn)?shù)階矩和Wasserstein距離的魯棒風(fēng)險度量優(yōu)化模型。為優(yōu)化Wasserstein 距離忽略分布幾何結(jié)構(gòu)造成的尾部模型誤差，本文基于纖維叢理論思想，引入分片Wasserstein距離解析約束的分片魯棒風(fēng)險度量模型。數(shù)值實驗的結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階矩能夠精細刻畫分布尾部誤差，分片Wasserstein距離能夠有效地解析約束控制整體誤差以優(yōu)化求解。相比于傳統(tǒng)的魯棒風(fēng)險度量模型，分片魯棒風(fēng)險度量模型更有助于風(fēng)險管理者做出最優(yōu)決策。