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        一道教材習(xí)題在求解高考題中的應(yīng)用

        2024-05-23 06:51:17汪文
        中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2024年4期
        關(guān)鍵詞:新課標(biāo)教材

        汪文

        人教版A版必修第二冊第六章《平面向量及其應(yīng)用》第54頁習(xí)題6.4第18題:利用第10題的結(jié)論,證明三角形的面積公式S=12a2sinBsinCsinA.

        由正弦定理知asinA=bsinB,從而b=asinBsinA,由第10題結(jié)論S=12absinC易得三角形的面積公式可以表示為S=12a2sinBsinCsinA=12b2sinAsinCsinB=12c2sinAsinBsinC,這個公式的原理其實(shí)是借助正弦定理將三角形的邊化成對應(yīng)角的正弦值,由普通的兩邊及夾角求面積轉(zhuǎn)化為兩角及夾邊求面積,本文談?wù)勅绾卫迷摴角蠼飧呖碱}.

        例1(2023新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知ΔABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

        (1)求sinA;(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.

        解析:(1)由A+B+C=π得,A+B=3Cπ-C=3CC=π4.2sin(A-C)=sinB=sin(A+C)2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinCsinAcosC=3cosAsinCtanA=3tanC=3.從而A為銳角,可得sinA=31010.

        (2)sinB=sin(A+C)=sin(A+π4)=31010×22+1010×22=255.

        由上述公式S=12c2sinAsinBsinC得ΔABC的面積S=12×52×31010×25522=15.設(shè)AB邊上的高為h,則h=2SAB=6.

        評注:由第(1)問的結(jié)果可輕松求得各角的正弦值,借助其中一邊長得到面積,進(jìn)而求得邊上的高線長.

        例2(2022新課標(biāo)全國卷Ⅱ)記ΔABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1,S2,S3,已知S1-S2+S3=32,sinB=13.

        (1)求ΔABC的面積;(2)若sinAsinC=23, 求b.

        解析:(1)由面積公式知S1=34a2,S2=34b2,S3=34c2, ∴S1-S2+S3=34(a2-b2+c2)=32a2-b2+c2=2,∴cosB=a2-b2+c22ac=1ac,由sinB=13cosB=223,∴1ac=223ac=324,從而ΔABC的面積為S=12acsinB=12×324×13=28.

        (2)由面積公式S=12b2sinAsinCsinB及(1)中的結(jié)果可得28=b22·2313b2=4,∴b=2.

        評注:借助面積公式和第(1)問的結(jié)果,第(2)問可以輕松得到,提高了效率.

        例3(2017全國卷Ⅰ)ΔABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c已知ΔABC的面積為a23sinA.(1) 求sinBsinC; (2)若6cosBcosC=1,a=3,求ΔABC的周長.

        解析:(1)由面積公式S=12a2sinBsinCsinA知12a2sinBsinCsinA=a23sinA,從而sinBsinC=23.

        (2)cosBcosC=16cosA=-cos(B+C)=sinAsinC-cosBcosC=12,∴A=π3,由題設(shè)知ΔABC的面積S=323sinπ3=23,又S=12bcsinA.從而可得23=12bc32bc=8.由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,代入可得9=b2+c2-2×8×cosπ3b2+c2=17b+c=b2+c2+2bc=33,從而ΔABC的周長為8+33.

        例4(2016·浙江卷)ΔABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)證明:A=2B;

        (2)已知ΔABC的面積S=a24,求∠A大小.

        解析:(1)由正弦定理得b+c=2acosBsinB+sinC=2sinAcosBsinB+sin(A+B)=2sinAcosBsinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB

        sinB=sin(A-B)B=A-BA=2B,得證.

        (2)由面積公式S=12a2sinBsinCsinA及A=2B得a2sinBsinC2sin2B=a24

        sinBsinC2sinBcosB=12sinC=cosB=sin(π2±B)C=π2±B,又C=π-A-B,∴π-A-A2=π2±A2A=π4或A=π2.

        評注:第(1)問將邊換成正弦合并后即可得證,第(2)借助面積公式二倍角公式和誘導(dǎo)公式求得∠A大小.

        例5(2008·全國Ⅱ卷)在ΔABC中,cosB=-513,cosC=45.(1)求sinA的值;

        (2)設(shè)△ABC的面積S△ABC=332,求BC的長.

        解析:(1)易得sinB=1213,sinC=35,由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式得sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=3365.

        (2)由面積公式知,S△ABC=a2sinBsinC2sinA=a22×1213×353365=6a211=332,得a2=1214a=112,從而a2=1214a=112.

        評注:第(1)問利用兩角和的正弦公式可得,第(2)借助面積公式可快速求出BC的長.

        教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的中心,根植于教材,來源于課本,著眼于提高是很多高考試題的真實(shí)寫照,在高考復(fù)習(xí)中,讓學(xué)生回歸教材,重視課本的再學(xué)習(xí),看清課本習(xí)題與高考題之間的聯(lián)系,揭開高考試題的神秘面紗,既讓學(xué)生看清了問題的本質(zhì),又讓學(xué)生學(xué)會了思考,從而達(dá)到了事半功倍的復(fù)習(xí)效果.

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