萬祺
2023年高考天津卷的導數(shù)題一如既往的獨具風格,耐人尋味.針對此題最后一問,本文將另辟蹊徑,探尋他解.
試題呈現(xiàn)已知f(x)=(1x+12)ln(x+1).
(1)求曲線f(x)在x=2處切線的斜率;
(2)當x>0時,證明:f(x)>1;
(3)證明:56 解析:(1)略;(2)因為f(x)>1ln(x+1)>2xx+2,令g(x)=ln(1+x)-2xx+2,由g′(x)=x2(1+x)(x+2)2>0,故g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,g(x)>g(0)=0,故原不等式成立. (3)先證右邊:記an=ln(n!)-(n+12)lnn+n,注意到a1=1,下證an≤a1. 因為an+1-an=1-(n+12)ln(1+1n),結(jié)合第(2)小題結(jié)論,取x=1n可知(n+12)ln(1+1n)>1,故an+1-an<0,即{an}遞減,從而對n∈N*,an≤a1=1成立. 再證左邊:即證ln(n?。?(n+12)lnn-n+56成立. 考慮函數(shù)h(x)=lnx的圖象,如圖1.取A(k,0), B(k-12,0),C(k+12,0),分別過A,B,C作x軸垂線交函數(shù)圖象于E,D,F(xiàn),過E作x軸平行線 交BD,CF于G,H,以E為切點,作曲線的切線交BD,CF于P,Q兩點,則有SΔGPE=SΔHQE,從而S梯形BCQP=S矩形BCHG=lnk,曲邊梯形BCFD的面積S曲邊BCFD=∫k + 12k-12lnxdx,注意到h″(x)<0,故函數(shù)h(x)=lnx圖象上凸遞增,從而S梯形BCQP>S曲邊BCFD,即lnk > ∫k + 12k-12lnxdx = xlnx-xk + 12k-12, 故lnk>(k+12)ln(k+12)-(k+12)-(k-12)ln(k-12)-(k-12)(該不等式亦可通過求導證明).進一步對上式求和得∑nk=1lnk>∑nk=1(k+12)ln(k+12)-(k-12)ln(k-12)-n,即ln(n!)>(n+12)ln(n+12)-12ln12-n.欲證ln(n?。?(n+12)lnn-n+56,只需(n+12)ln(n+12)-12ln12-n>(n+12)lnn-n+56即可,即證(n+12)ln(1+12n)+12ln2-56>0.注意到lnx>1-1x(x≠1),故ln(1+12n)>1-11+12n=12n+1,故(n+12)ln(1+12n)>12.另一方面,在第(2)小題結(jié)論中取x=1知ln2>23,從而(n+12)ln(1+12n)+12ln2-56>12+13-56=0得證. 至此,我們發(fā)現(xiàn)通過積分放縮,以及對ln2的粗糙估計,恰好可以得到an的下界56,或許這也是命題者的意圖之一.事實上,本題{an}遞減,為了求an下界,需考慮n→+∞的情況,而由Stirling公式可知n→+∞時,有n!~2πnnen,取對數(shù)得limn→+∞ln(n?。璴n2πn-n(lnn-1)=0,即limn→+∞ln(n?。╪+12)lnn+n=ln2π≈0.9189>56. 由此可見,此處的56只是一個粗略的下界,為了得到更精細的下界,可構(gòu)造一些精度較高的不等式加以證明,此處不再贅述. 參考文獻 [1]波利亞.怎樣解題[M].徐泓,馮承天譯.上海:上??萍冀逃霭嫔?,2007. [2]單墫.解題研究[M].上海:上海教育出版社,2016.