0,b>0)的右焦點為F(2,0),一條漸近線方程為y=3x.(1)"/>
周建剛 閆偉
1試題呈現(xiàn)
已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F(2,0),一條漸近線方程為y=3x.
(1)求雙曲線C的方程;(2)在x軸上是否存在與點F不重合的點P,使得當過點F的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點時,AFBF=APBP總成立?若存在,求出P點坐標;若不存在,請說明理由.
本題為2023年山東省棗莊市3月份高三模擬試題第21題,該題目的命題背景平和,內(nèi)涵深刻,知識層面主要考查雙曲線的標準方程、幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系、線段比值問題,是解析幾何專題中的常規(guī)題目;重點考查學(xué)生運用坐標法研究圓錐曲線中的存在性問題,側(cè)重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等素養(yǎng);試題分兩問,第一問結(jié)合雙曲線的焦點坐標和漸近線方程求標準方程,屬于基礎(chǔ)題,第二問尋找滿足線段比值相等的點P,屬于圓錐曲線中探索性的問題,思維難度適中,但運算量較大,需要借助角平分線的性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)系進行變形轉(zhuǎn)化,對學(xué)生的能力要求較高,較好地體現(xiàn)了對直線與圓錐曲線的核心內(nèi)容和基本思想方法的考查[1].
參考答案:(1)雙曲線方程為x2-y23=1;(2)存在點P(12,0)使得AFBF=APBP成立.
2試題推廣
注意到點P(12,0)恰好是雙曲線的右準線與x軸的交點,這個結(jié)果是巧合嗎?也就是說,是不是對于任一焦點在x軸上的雙曲線,當點P為雙曲線的右準線與x軸的交點時,按照題目的表述,都有AFBF=APBP成立?筆者借助GeoGebra軟件進行探究,證實了這一結(jié)果的正確性,即有:
性質(zhì)1已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F(c,0),過點F的直線l與雙曲線的右支交于A、B兩點,當點P為右準線x=a2c與x軸的交點,有AFBF=APBP.
將題目中的右焦點F改為x軸上的任意一點,不包含雙曲線的頂點和原點,其他條件不變,是否還存在點P滿足上述條件?經(jīng)探究得到:
性質(zhì)2已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F(xiàn)(t,0)(t≠±a且t≠0),過點F的直線l與雙曲線交于A、B兩點,當點P為直線x=a2t與x軸的交點時,有AFBF=APBP.
顯然性質(zhì)1是性質(zhì)2的特例,上述命題中將題目中的點F(t,0)(t≠±a且t≠0)改為坐標系內(nèi)不在雙曲線上的任意一點F(x0,y0),將對應(yīng)的直線x=a2t改為x0xa2-y0yb2=1,其他條件不變,是否還存在點P滿足上述等式?經(jīng)探究得到:
性質(zhì)3已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F(xiàn)(x0,y0)為不在雙曲線上的任意一點,過點F的直線l與雙曲線交于A、B兩點,過點F作直線m:x0xa2-y0yb2=1的垂線,垂足為P,則有AFBF=APBP.
證明:過點A、B分別作直線m的垂線,垂足分別為C,D,如圖1所示.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則AC=x0x1a2-y0y1b2-1(x0a2)2+(y0b2)2,結(jié)合x21a2-y21b2=1可得AC=x1(x0-x1)a2-y1(y0-y1)b2(x0a2)2+(y0b2)2;同理可得
BD=x2(x0-x2)a2-y2(y0-y2)b2(x0a2)2+(y0b2)2. 因為直線FP與直線m垂直,且直線m的斜率為b2x0a2y0,所以直線FP的斜率為-a2y0b2x0,從而直線FP的方程為y-y0=-a2x0b2y0(x-x0),即y0xb2+x0ya2-x0y0a2-x0y0b2=1.又因為FP∥AC∥BD,所以點A到直線FP的距離等于CP,即CP=y0(x1-x0)b2+x0(y1-y0)a2(x0a2)2+(y0b2)2,同理可得DP=y0(x2-x0)b2+x0(y2-y0)a2(x0a2)2+(y0b2)2.在RtΔAPC中,tan∠APC=ACCP=x1(x1-x0)a2-y1(y1-y0)b2y0(x1-x0)b2+x0(y1-y0)a2;同理tan∠BPD=BDDP=x2(x2-x0)a2-y2(y2-y0)b2y0(x2-x0)b2+x0(y2-y0)a2.
當直線l與x軸垂直時,即x1=x2=x0,易得tan∠APC=a2y1b2x0,tan∠BPD=a2y2b2x0,由雙曲線的對稱性有y1=y2,所以tan∠APC=tan∠BPD,即∠APC=∠BPD,因為FP垂直于直線m,于是∠APF=∠BPF,即FP平分∠APB,由角平分線性質(zhì)不難得到AFBF=APBP.
當直線l與x軸不垂直時,其斜率存在,設(shè)為k,于是tan∠APC=x1a2-y1(y1-y0)b2(x1-x0)y0b2+x0(y1-y0)a2(x1-x0)=x1a2-ky1b2y0b2+kx0a2,同理可得tan∠BPD=x2a2-ky2b2y0b2+kx0a2,又因為A、B兩點在雙曲線上,于是x21a2-y21b2=1,x22a2-y22b2=1,兩式作差得(x1-x2)(x1+x2)a2-(y1-y2)(y1+y2)b2=0,化簡整理得x1+x2a2-k(y1+y2)b2=0,即x1a2-ky1b2=-(x2a2-ky2b2),從而有x1a2-ky1b2=x2a2-ky2b2,所以tan∠APC=tan∠BPD,故∠APC=∠BPD,由FP垂直于直線m可得∠APF=∠BPF,即FP平分∠APB,由角平分線性質(zhì)不難得到AFBF=APBP. 綜上,AFBF=APBP成立.
對于直線l與雙曲線交于不同支的兩點,該結(jié)論同樣成立,此處不再贅述,留給感興趣的讀者自行證明. 上述性質(zhì)中F點的縱坐標為零時,就是性質(zhì)2的結(jié)果,即它是性質(zhì)3的特殊情況.
3類比探究
將上述性質(zhì)引申到橢圓和雙曲線中,可得到以下性質(zhì):
性質(zhì)4已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F(xiàn)(x0,y0)為不在橢圓上的任意一點,過點F的直線l與橢圓交于A、B兩點,過點F作直線m:x0xa2+y0yb2=1的垂線,垂足為P,則有AFBF=APBP.
性質(zhì)5已知拋物線C:y2=2px(p>0),F(xiàn)(x0,y0)為不在拋物線上的任意一點,過點F的直線l與拋物線交于A、B兩點,過點F作直線m:p(x+x0)-yy0=1的垂線,垂足為P,則有AFBF=APBP.
證明:過點A、B分別作直線m的垂線,垂足分別為C,D,如圖2所示,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則AC = p(x0 ?+ x1 )-y0 y1 p2 + y0 2,又因y1 2 = 2px1 ,
代入上式得AC = y1 (y1 -y0 )-p(x1 -x0 )p2 + y0 2,同理有BD = y2 (y2 -y0 )-p(x2 -x0 )p2 + y0 2.因為直線FP與直線m垂直,且直線m的斜率為py0,所以直線FP的斜率為-y0p,從而直線FP的方程為y-y0=-y0p(x-x0),即y0x+py-py0-x0y0=0.又因為FP∥AC∥BD,所以點A到直線FP的距離等于CP,即CP = p(y1 -y0 ) + y0 (x1 -x0 )p2 + y0 2,同理可得DP = p(y2 -y0 ) + y0 (x2 -x0 )p2 + y0 2.在RtΔAPC中,tan∠APC=ACCP=y1(y1-y0)-p(x1-x0)p(y1-y0)+y0(x1-x0);同理有tan∠BPD=BDDP=y2(y2-y0)-p(x2-x0)p(y2-y0)+y0(x2-x0).
當直線l與x軸垂直時,即x1=x2=x0,有tan∠APC=ACCP=y1p,同理有tan∠BPD=y2p,由拋物線的對稱性知y1=y2,所以tan∠APC=tan∠BPD,即∠APC=∠BPD,由FP垂直于直線m可得∠APF=∠BPF,即FP平分∠APB,由角平分線性質(zhì)易得到AFBF=APBP.
當直線l與x軸不垂直時,其斜率存在,設(shè)為k,于是tan∠APC=y1·y1-y0x1-x0-pp·y1-y0x1-x0+y0=ky1-pkp+y0,同理可得tan∠BPD=ky2-pkp+y0,又因為A、B兩點在拋物線上,于是y1 2 = 2px1 ,y2 2 = 2px2 ,兩式作差得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),化簡整理得k(y1+y2)=2p,即ky1-p=p-ky2,從而ky1-p=p-ky2,所以tan∠APC=tan∠BPD,故有∠APC=∠BPD,由FP垂直于直線m知∠APF=∠BPF,即FP平分∠APB,由角平分線性質(zhì)易得到AFBF=APBP. 綜上所述,AFBF=APBP成立.
上述結(jié)論中,直線m實際是點F關(guān)于圓錐曲線對應(yīng)的極線,因而P點本質(zhì)上是過F點與其對應(yīng)極線垂直的垂線與極線的交點,因此本文中的性質(zhì)3-5可以進一步統(tǒng)一概括為:
性質(zhì)6已知圓錐曲線C,點F是不在曲線上的任意一點,過點F的直線l與曲線交于A、B兩點,過點F作其對應(yīng)的極線m的垂線,垂足為P,則有AFBF=APBP.
極點與極線是解析幾何中的一條重要性質(zhì),它在圓錐曲線問題的探究中具有十分重要的應(yīng)用,本文對這一線段比值問題的探究很好地佐證了這一點[2]. 近些年很多高考題和模擬試題都以極點、極線相關(guān)結(jié)論作為命題的落腳點,在復(fù)習(xí)備考的過程中,引導(dǎo)學(xué)生掌握圓錐曲線的極點極線理論不僅能快速高效地解決與之相關(guān)的試題,還能有助于學(xué)生更深刻、更全面的把握試題的本質(zhì)[3].
參考文獻
[1] 閆偉.解析試題背景 探究數(shù)學(xué)本質(zhì) 發(fā)展核心素養(yǎng)——2021年福建賽區(qū)預(yù)賽試題第12題的深度思考[J].理科考試研究.2022(9)上:7-10.
[2] 閆偉.運用GeoGebra軟件助力可視化探究教學(xué)——以圓錐曲線中的一類動點軌跡問題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2021.(3)13-16.
[3] 閆偉.借助GeoGebra對圓錐曲線中一類定直線問題的探究及拓展[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊.2020(9):41-42.