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        一道代數(shù)不等式的兩種新證及猜想

        2024-05-23 03:48:36汪長(zhǎng)斌
        中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2024年4期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)

        汪長(zhǎng)斌

        文[1]中提出了如下一個(gè)優(yōu)美的代數(shù)不等式:

        已知正數(shù)x,y,z滿足xy+yz+zx=1,求證:

        12x+y+z+1x+2y+z+1x+y+2z≤334.

        文[2],[3]給出了上述不等式的精彩證明,受其啟發(fā),經(jīng)過(guò)研究,筆者也發(fā)現(xiàn)了兩種證明該不等式的方法,現(xiàn)介紹出來(lái),以供參考.

        證法一:不妨設(shè)s=x+y+z,則有s2=(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz,從而s2≥3xy+3yz+3xz=3,則有s≥3.則12x+y+z+1x+2y+z+1x+y+2z=1s+x+1s+y+1s+z =(s+x)(s+y)+(s+y)(s+z)+(s+z)(s+x)(s+x)(s+y)(s+z)=5s2+12s3+s+xyz≤33463s3-20s2+33s+33xyz-4≥0.又(x+y)(y+z)(z+x)=y2z+y2x+z+x=(yz+yx+zx)y+z+x-xyz=x+y+z-xyz,而(x+y)(y+z)(x+z)≤2(x+y+z)33,所以x+y+z-xyz≤2(x+y+z)33xyz≥s-827s3,從而63s3-20s2+33s+33xyz-4≥63s3-20s2+33s+33(s-827s3)-4=4693s3-20s2+63s-4.

        故只要證4693s3-20s2+63s-4≥0即可.

        設(shè)f(s)=4693s3-20s2+63s-4,則f′(s)=4633s2-40s+63,又由于當(dāng)s≥3,有f′(s)≥0,

        所以f(s)在區(qū)間[3,+∞)為單增函數(shù),從而有f(s)≥f(3),

        而f(3)=4693(3)3-20(3)2+63×3-4=0 ,所以f(s)≥0成立.從而原不等式成立.

        證法二:由條件式xy+yz+zx=1聯(lián)想到類似于三角形中的三角公式tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=1.

        作代換x=tanA2,y=tanB2,z=tanC2,從而由平均值不等式,則有

        12x+y+z+1x+2y+z+1x+y+2z=1(x+y)+(x+z)+1(y+x)+(y+z)+1(z+x)+(z+y)≤12(x+y)(x+z)+12(y+x)(y+z)+12(z+x)(z+y)

        =12x2+1+12y2+1+12z2+1=12(tanA2)2+1+12(tanB2)2+1+12(tanC2)2+1=12(cosA2+cosB2+cosC2),

        對(duì)照原不等式,故只要證明cosA2+cosB2+cosC2≤332成立即可.

        而由[4]知不等式cosA2+cosB2+cosC2≤332成立, 從而原不等式成立.

        由柯西不等式,可得原不等式的一個(gè)下界,即12x+y+z+1x+2y+z+1x+y+2z≥94(x+y+z),從而我們提出:

        問(wèn)題1已知非負(fù)數(shù)x,y,z滿足xy+yz+zx=1,請(qǐng)證明或否定:

        12x+y+z+1x+2y+z+1x+y+2z≥76.

        問(wèn)題2已知正數(shù)x,y,z滿足xy+yz+zx=1, λ≥2,請(qǐng)證明或否定:

        1λx+y+z+1x+λy+z+1x+y+λz≤33λ+2.

        參考文獻(xiàn)

        [1]安振平.三十個(gè)有趣的不等式問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬刊),2011(11).

        [2]劉康寧.金版奧數(shù)教程數(shù)學(xué)高二分冊(cè)[M].浙江大學(xué)出版社,2009,4.

        [3]安振平,王峰.一個(gè)代數(shù)不等式的簡(jiǎn)明證法[J].數(shù)學(xué)通訊(上半月)2015(4):37~38.

        [4]嚴(yán)鎮(zhèn)軍.幾何不等式的證法(一),高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程[M].江蘇教育出版社.

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