數(shù)是人類日常生活中不可缺少的內(nèi)容，從遠(yuǎn)古時(shí)期以繩打結(jié)、以石刻痕的計(jì)數(shù)方式到近現(xiàn)代四元數(shù)的產(chǎn)生，經(jīng)歷了漫長而復(fù)雜的歷史進(jìn)程，實(shí)數(shù)是最為重要和常見的數(shù)域之一，可以說實(shí)數(shù)的起源和發(fā)展已經(jīng)成為人類文明的一個(gè)重要組成部分．

一、數(shù)的第一次擴(kuò)充

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)．有理數(shù)的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)史上數(shù)的第一次擴(kuò)充，

縱觀數(shù)的發(fā)展史可知，人們在認(rèn)識(shí)了自然數(shù)后義認(rèn)識(shí)了正分?jǐn)?shù)，所謂分?jǐn)?shù)就是把兩個(gè)自然數(shù)相除所得之商當(dāng)作一個(gè)數(shù)（0不能為除數(shù)）．分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生是現(xiàn)實(shí)生活的需要，正整數(shù)不能表示一些事物整體與部分之問的關(guān)系時(shí)（比如七個(gè)人分三只獵物，每人分多少），分?jǐn)?shù)便產(chǎn)生了．中國古代《周髀算經(jīng)》中已有了分?jǐn)?shù)運(yùn)算，而后的中國占代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》“方田”章給出了完整的分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則以及求最大公約數(shù)的方法．

隨著社會(huì)的發(fā)展，人們引進(jìn)r負(fù)數(shù)的概念，其具體年代已無從考證，但負(fù)數(shù)產(chǎn)生的直接原因卻是為了滿足解方程的需要．中國人最早提出了負(fù)數(shù)的概念，并對它有深刻的認(rèn)識(shí)，負(fù)數(shù)大大促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的進(jìn)一步發(fā)展，

中國的《九章算術(shù)》一書記載了“正負(fù)開方術(shù)”，魏晉時(shí)期的中國古代大數(shù)學(xué)家劉徽（如圖1）對負(fù)數(shù)的出現(xiàn)做了很自然的解釋：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之，”

同時(shí)，中國也是最早認(rèn)識(shí)零的國家．劉徽在《九章算術(shù)》注中，已明確以“零”為數(shù)，在算籌中用空位表示“零”．沒有零就沒有原點(diǎn)，沒有原點(diǎn)也就沒有了坐標(biāo)系，解析幾何的大廈就會(huì)分崩離析．?dāng)?shù)的重要性不言而喻，

二、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

從某種意義上來講，現(xiàn)代數(shù)學(xué)，也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學(xué)，來源于古希臘畢達(dá)哥拉斯（如圖2）學(xué)派．該學(xué)派是一個(gè)唯心主義學(xué)派，興旺的時(shí)期為公元前500年左右，該學(xué)派認(rèn)為“萬物皆數(shù)”，一切量都可以用整數(shù)或整數(shù)的比（分?jǐn)?shù)）表示．

后來，當(dāng)這一學(xué)派中的希帕索斯發(fā)現(xiàn)邊長為l的正方形的對角線的長度不能用整數(shù)或整數(shù)的比表示（2不是有理數(shù)）時(shí)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派感到驚恐不安，由此，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，首先，對于全部依靠整數(shù)的畢氏哲學(xué)，這是一次致命的打擊．其次，在幾何上的對應(yīng)情況同樣也是令人驚訝的，因?yàn)榇嬖诓豢赏s的線段，由于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)于比例定義假定了任何兩個(gè)同類量是可通約的，所以畢達(dá)哥拉斯學(xué)派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上，顯然，這對于他們的關(guān)于相似形的一般理論也是致命打擊，

在實(shí)數(shù)理論中，無理數(shù)的引入是數(shù)學(xué)史上數(shù)的第二次擴(kuò)充，它的引入解除了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，使無理數(shù)登了二數(shù)學(xué)的舞臺(tái)，這充分說明了科學(xué)是批判的、創(chuàng)造的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)暮颓髮?shí)的．第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，古希臘的數(shù)學(xué)已由經(jīng)驗(yàn)科學(xué)變?yōu)檠堇[科學(xué)．

三、中國古代對無理數(shù)的研究

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的無理數(shù)產(chǎn)生于開方開不盡和圓周率的計(jì)算．不過，中國古代算術(shù)與古希臘數(shù)學(xué)有著不同的傳統(tǒng)．古希臘人總是將數(shù)與形截然分開，對涉及無限的問題總是持有恐懼的態(tài)度．中國算學(xué)中，數(shù)與形是有機(jī)統(tǒng)一的，中國人對于無限的問題總是泰然處之，能夠正視無理數(shù)，