王愛(ài)玲

空間幾何體中的最短路線問(wèn)題，往往是先轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的最短路線問(wèn)題，可先畫(huà)出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對(duì)于幾何題內(nèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。

方法總結(jié)。1.解決立體圖形中最短距離問(wèn)題的關(guān)鍵是把立體圖形平面化，即把立體圖形沿著某一條線展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題后，借助“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“垂線段最短”，進(jìn)而構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理求解。

2.平面圖形的最短路徑通常是作軸對(duì)稱(chēng)變換，轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”的模型來(lái)解決問(wèn)題。常見(jiàn)的有圓柱體的展開(kāi)、長(zhǎng)方體的展開(kāi)、樓梯的展開(kāi)、繞繩的展開(kāi)等等，下面我們就通過(guò)一些典型的例題對(duì)這些問(wèn)題逐一講解。

題型一 用展開(kāi)圖求長(zhǎng)方體中的最短問(wèn)題

例1 （2022秋·南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，一長(zhǎng)方體木塊長(zhǎng)AB=6，寬BC=5，高BB1=2.一只螞蟻從木塊點(diǎn)A處，沿木塊表面爬行到點(diǎn)C1位置最短路徑的長(zhǎng)度為（）

A.[89] B.[85] C.[125] D.[80]

【分析】連接AC1，求出AC1的長(zhǎng)即可，分為三種情況：畫(huà)出圖形，根據(jù)勾股定理求出每種情況時(shí)AC1的長(zhǎng)，再找出最短的即可。

【解答】解：展開(kāi)成平面后，連接AC1，則AC1的長(zhǎng)就是繩子最短時(shí)的長(zhǎng)度，如圖1，由勾股定理得：AC1=[85]（cm）；如圖2，由勾股定理得：AC1=5[5]（cm）；如圖3，同法可求AC1=[89]（cm）?！遊85]＜[89]＜5[5]，∴最短路徑的長(zhǎng)度為[85]cm。

題型二 用展開(kāi)圖求圓柱體的最短問(wèn)題

例2 （2022秋·惠濟(jì)區(qū)校級(jí)期末）一只螞蟻從圓柱體的下底面A點(diǎn)沿著側(cè)面爬到上底面B點(diǎn)，已知圓柱的底面周長(zhǎng)為12cm，高為8cm，則螞蟻所走過(guò)的最短路徑是? ? ? ? cm．

【分析】將圓柱體展開(kāi)，利用勾股定理進(jìn)行求解即可。

【解答】解：如圖，線段AB即為所求，由題意得：∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB=10（cm）。即螞蟻?zhàn)哌^(guò)的最短路徑為：10cm。故答案為：10。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面展開(kāi)——最短路線問(wèn)題，勾股定理的應(yīng)用。圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，此矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開(kāi)成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決。

學(xué)會(huì)把幾何體表面展開(kāi)成平面圖形，找到最短路徑。通過(guò)展開(kāi)圖形，構(gòu)建直角三角形，運(yùn)用勾股定理求出最短路徑。過(guò)程與方法：通過(guò)動(dòng)手操作，找到最短路徑；畫(huà)出展開(kāi)后的平面圖形，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成用勾股定理能解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題。情感態(tài)度與價(jià)值觀：能靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，提高運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的能力，培養(yǎng)歸納總結(jié)規(guī)律的能力。