摘要：

針對目前網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效研究未涉及多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)的問題，根據(jù)多子網(wǎng)復(fù)合網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，采用負(fù)載—容量模型研究多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效現(xiàn)象?？疾觳煌绊懸蛩叵?，節(jié)點之間的關(guān)系強度和關(guān)系類型對網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效規(guī)模的影響。研究結(jié)果表明，根據(jù)關(guān)系類型調(diào)整關(guān)系強度比例系數(shù)，可有效提高網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。

關(guān)鍵詞：

級聯(lián)失效；多種關(guān)系；負(fù)載重分配；多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型；魯棒性

中圖分類號：

TP311.5

文獻標(biāo)志碼：A

收稿日期：2023-07-21

基金項目：

山東省自然基金面上項目（批準(zhǔn)號：ZR2017MG011）資助；教育部人文社會科學(xué)研究青年項目（批準(zhǔn)號：15YJC860001）資助；山東省社會科學(xué)規(guī)劃項目（批準(zhǔn)號：17CHLJ16）資助。

通信作者：

孫更新，男，博士，副教授，主要研究方向為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中傳播動力學(xué)及相關(guān)傳播模型。E-mail：sungengxin@qdu.edu.cn

隨著科技的進步，系統(tǒng)科學(xué)發(fā)展迅速［1-3］，給人們的生產(chǎn)生活帶來巨大便利的同時，也產(chǎn)生了新的問題，由于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)存在脆弱性，通過指定攻擊和隨機失效使少數(shù)節(jié)點失效后，很容易發(fā)生級聯(lián)反應(yīng)，最終造成整個網(wǎng)絡(luò)癱瘓，如2003年意大利全國大停電事故［4］，2008年中國南方電力網(wǎng)絡(luò)崩潰事故［5］和因擁堵造成的互聯(lián)網(wǎng)崩潰事故［6］等。網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的最早研究對象是單個網(wǎng)絡(luò)，使用負(fù)載容量模型［7］，負(fù)載和容量呈線性關(guān)系；但網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的容量與負(fù)載之間呈非線性關(guān)系［8］，這能更好的模擬真實網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效現(xiàn)象，大大提升了網(wǎng)絡(luò)的魯棒性［9］。對兩層節(jié)點一對一耦合網(wǎng)絡(luò)的研究發(fā)現(xiàn)，雙層耦合網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效現(xiàn)象不同于單個網(wǎng)絡(luò)［10］，雙層耦合網(wǎng)絡(luò)的研究側(cè)重于兩側(cè)節(jié)點一對一耦合的網(wǎng)絡(luò)［11-13］、一對多以及多對多耦合的網(wǎng)絡(luò)［14-17］。探索n層相依網(wǎng)絡(luò)滲逾的理論分析模型發(fā)現(xiàn)，多層網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同，網(wǎng)絡(luò)魯棒性影響因素也不同［18］，相關(guān)研究主要集中在概念模型［19］、功能與動力學(xué)［20-22］、魯棒性優(yōu)化［23］以及級聯(lián)失效預(yù)防［24］。綜上所述，目前復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的研究并未考慮多種關(guān)系的影響，典型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型描述了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中同一類個體及個體間的關(guān)系，僅局限于同一系統(tǒng)和單一關(guān)系；雙耦合網(wǎng)絡(luò)和多層網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的研究主要基于層次網(wǎng)絡(luò)模型，僅能描述具有層次關(guān)系的對象問題，無法描述處于同一層次且彼此具有多種關(guān)系的個體。在現(xiàn)實中，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的節(jié)點之間往往存在包括層次關(guān)系在內(nèi)的多種作用關(guān)系，這些關(guān)系共同影響級聯(lián)失效過程及規(guī)模，因此不能單純用層次關(guān)系描述多種關(guān)系；而邊的權(quán)值只能描述數(shù)值關(guān)系，無法描述關(guān)系的性質(zhì)，所以多種關(guān)系也不能用權(quán)值表示。本文以交通網(wǎng)絡(luò)為例，根據(jù)多子網(wǎng)復(fù)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型［25］構(gòu)建多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，研究多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中發(fā)生的級聯(lián)失效現(xiàn)象，分析在不同影響因素下，不同關(guān)系的性質(zhì)及關(guān)系強度對網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響。

1 模型構(gòu)建

1.1 多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)模型

多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)是由彼此之間存在多種作用關(guān)系的個體組成，例如城市交通網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點表示各大城市，節(jié)點之間的連邊代表城市之間的交通線路，連邊上的關(guān)系代表影響客運量的多種因素，根據(jù)多子網(wǎng)復(fù)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，用四元組GA=（VA，EA，RA，F(xiàn)A）表示：

1）VA={v1，v2，…，vn}表示節(jié)點的集合，n是集合中元素的個數(shù)，即網(wǎng)絡(luò)總節(jié)點數(shù)；

2）EA={lt;vh，vlgt;|vh，vl∈VA，l≤h，l≤m}VA×VA表示節(jié)點間連邊的集合，EA為網(wǎng)絡(luò)總連邊數(shù)；

3）RA={r1，…，ri，…，rm}表示網(wǎng)絡(luò)A中節(jié)點之間作用關(guān)系的集合，ri表示節(jié)點之間存在的某種關(guān)系，m表示網(wǎng)絡(luò)中存在的所有關(guān)系的數(shù)量；

4）FA∶EA→RA是邊和關(guān)系的映射。

構(gòu)建的多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)A如圖1所示。每個關(guān)系關(guān)聯(lián)的節(jié)點和連邊的數(shù)量分別設(shè)Nr1，Nr2，Nr3和Er1，Er2，Er3，節(jié)點v關(guān)于關(guān)系r的度設(shè)為krv︿，每個關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)平均度分別設(shè)為lt;kr1A︿gt;，" lt;kr2A︿gt;，lt;kr3A︿gt;，每種關(guān)系都存在關(guān)系強度，表示關(guān)系對節(jié)點之間的連邊的影響程度，關(guān)系強度比例設(shè)為sf1∶sf2∶sf3。網(wǎng)絡(luò)中存在不同的關(guān)系類型，例如在交通網(wǎng)絡(luò)中，限制購票或令部分列車停運，都導(dǎo)致交通線路上的客運量減少，將這種對負(fù)載傳輸起抑制作用的因素稱為“逆向關(guān)系”；相反，增加列車的運行班次或促進購票，均使交通線路上的客運量增加，將這種對負(fù)載傳輸起促進作用的因素稱為“正向關(guān)系”。圖1中設(shè)r1，r3為正向關(guān)系，表示兩種促進因素，sf1，sf3表示兩種關(guān)系對負(fù)載傳輸?shù)拇龠M程度，r2為逆向關(guān)系，表示一種對負(fù)載傳輸起阻礙作用的因素，sf2表示該關(guān)系對負(fù)載傳輸?shù)淖璧K程度。

1.2 多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型

在現(xiàn)實中，個體之間普遍存在多種作用關(guān)系，每種關(guān)系對負(fù)載傳輸量的影響是不同的，所以單純考慮一種關(guān)系必然會與實際有所差異，因此建模應(yīng)當(dāng)考慮多種關(guān)系的影響。例如在交通網(wǎng)絡(luò)中，每條交通線路上都可能出現(xiàn)一些突發(fā)事件，這些事件相當(dāng)于不同的影響因素，每種因素對單位時間內(nèi)通過線路上的客流量產(chǎn)生的影響不同，且流量通常與兩端節(jié)點的度關(guān)聯(lián)，所以連邊vhvk關(guān)于ri的流量為

Frivhvl=krivh︿·krivl︿（1）

其中，krivh︿表示vh關(guān)于ri的度。

正向關(guān)系促進負(fù)載的流通，使單位時間內(nèi)通過連邊的負(fù)載增大，也導(dǎo)致節(jié)點承擔(dān)的負(fù)載增大；而逆向關(guān)系會阻礙負(fù)載的流通，導(dǎo)致節(jié)點先前積累的負(fù)載不能及時釋放，如果有大量帶有逆向關(guān)系的連邊與節(jié)點相連，節(jié)點承擔(dān)的負(fù)載會非常大。因此綜合二者的影響，將節(jié)點初始負(fù)載定義為節(jié)點關(guān)于各個關(guān)系的流量之和

Lvh0=∑ri∈R∑vk∈ΓrivhFrivhvkα（2）

其中，ri∈R，R表示與vh相連的連邊上的關(guān)系集合;Γrivh是vh關(guān)于ri的鄰居節(jié)點集合，α（α≥1）為可調(diào)參數(shù)。

節(jié)點容量Cvh衡量了每個節(jié)點可承受負(fù)載的大小，受節(jié)點間多種關(guān)系的影響，初始負(fù)載的定義通過流量描述了關(guān)系對節(jié)點的影響，所以節(jié)點容量仍與初始負(fù)載呈正相關(guān)

Cvh=（1+λ）·Lvh（0）（3）

其中，λ（λgt;0）表示容限系數(shù)，λ越大節(jié)點容量越大，抵御級聯(lián)失效的能力越強，但相應(yīng)的成本越高。

負(fù)載重分配策略普遍采用局域擇優(yōu)重分配，由于該方法不能識別關(guān)鍵節(jié)點，容易導(dǎo)致橋節(jié)點失效，使得網(wǎng)絡(luò)的故障規(guī)模增大，而節(jié)點重要性能反映節(jié)點的重要程度，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)生級聯(lián)失效時，要盡量保護重要性高的節(jié)點，分配盡可能少的負(fù)載，因此根據(jù)節(jié)點重要性制定負(fù)載重分配策略。由于網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點和連邊受多種關(guān)系的影響，所以根據(jù)如下步驟定義節(jié)點的重要性。

首先，連邊兩端節(jié)點的度越大，該邊關(guān)聯(lián)的路徑的數(shù)量就越多，該邊重要程度就越高，如果有其他連邊能夠取代該邊的聯(lián)通功能，則該邊的重要性下降，連邊vhvl關(guān)于ri的重要性為

Irivhvl=krivh︿·krivl︿privhvl+1 （4）

其中，privhvl表示由連邊vhvl根據(jù)關(guān)系ri組成的三角形數(shù)量。

其次，連邊兩端的節(jié)點由于各自關(guān)聯(lián)的連邊數(shù)量不同對該邊的重要度影響也不同，對邊影響大的節(jié)點受到連邊重要性的影響也偏大，反之對邊影響小的就偏小，節(jié)點vl對于連邊vhvl關(guān)于關(guān)系ri的重要性

erivhvl（vl）=krivl︿krivh︿+krivl︿（5）

最后，節(jié)點vl關(guān)于關(guān)系ri的重要性定義為

Wrivl=Irivhvl×erivhvl（vl）（6）

與單個網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載分配方式不同，在多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中，每個關(guān)系對負(fù)載傳輸?shù)挠绊懖煌?，?fù)載的分配應(yīng)當(dāng)考慮多種影響因素，以交通網(wǎng)絡(luò)為例，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中存在正向關(guān)系和逆向關(guān)系，正向關(guān)系表示增加客流量的因素，逆向關(guān)系表示減少客流量的因素，節(jié)點失效表示城市中大量人口的滯留，根據(jù)不同的情境采取不同的負(fù)載重分配方案。

部分地區(qū)為促進經(jīng)濟增長而開通車次時，失效節(jié)點與鄰居節(jié)點間只有正向關(guān)系，開通的車次越多，客流量就越大，正向關(guān)系強度越大，通過的負(fù)載就越大，失效節(jié)點分配給鄰居節(jié)點關(guān)于關(guān)系ri的負(fù)載為

ΔLrivhvl=sfi∑ri∈R+sfi×Lvh0×Lvl0-Wrivl∑vk∈Γrivh（Lvk0-Wrivk（7）

其中，sfi表示正向關(guān)系ri對負(fù)載傳輸?shù)拇龠M程度，且0lt;sfi，R+為失效節(jié)點與鄰居節(jié)點間的正向關(guān)系集合，Γrivh為與節(jié)點vh之間存在正向關(guān)系ri的鄰居節(jié)點集合。

當(dāng)部分地區(qū)因突發(fā)因素導(dǎo)致城市之間大量交通方式停運時，失效節(jié)點與鄰居節(jié)點間只有逆向關(guān)系，雖然逆向關(guān)系會阻礙負(fù)載的傳輸，但是不會全部阻礙，如果不存在正向關(guān)系，則只導(dǎo)致負(fù)載傳輸速率減慢，負(fù)載傳輸?shù)目偭坎皇苡绊?，因此分配給鄰居節(jié)點關(guān)于關(guān)系rj的負(fù)載為

ΔLrjvhvl=Lvh0×Lvl0-Wrjvl∑rn∈R-（∑vk∈Ωrnvh（Lvk0-Wrnvk）（8）

其中，R-為失效節(jié)點與鄰居節(jié)點間的逆向關(guān)系集合，Ωrnvh為與節(jié)點vh之間存在逆向關(guān)系rn的鄰居節(jié)點集合。

當(dāng)部分地區(qū)因道路維護，令某種交通方式的運行班次停運，而開通其他交通方式的運行班次時，失效節(jié)點與鄰居節(jié)點間同時存在正向關(guān)系和逆向關(guān)系，逆向關(guān)系會阻擋住一部分負(fù)載，且逆向關(guān)系強度越大，對負(fù)載的阻礙作用越明顯，設(shè)關(guān)系rj為逆向關(guān)系，失效節(jié)點分配給鄰居節(jié)點關(guān)于關(guān)系rj的負(fù)載為

ΔLrjvhvl=Lvh0×1-sfj×Lvl0-Wrjvl∑rm∈R（∑vk∈Γrmvh（Lvk0-Wrmvk））（9）

其中，ΔLrjvhvl表示節(jié)點vh傳遞給節(jié)點vl關(guān)于逆向關(guān)系rj的負(fù)載，sfj表示逆向關(guān)系rj對負(fù)載傳輸?shù)淖璧K程度，且0lt;sfjlt;1。

由于存在正向關(guān)系，被逆向關(guān)系阻擋住的負(fù)載傾向于從正向關(guān)系傳遞給其他節(jié)點，例如列車部分車次停運，人們?yōu)榱藫Q乘會乘坐其它的交通方式，如果開通的班次越多，人們就越傾向于使用該交通方式，所以負(fù)載傾向于從關(guān)系強度大的正向關(guān)系流向其他節(jié)點，失效節(jié)點分配給鄰居節(jié)點關(guān)于關(guān)系ri的負(fù)載為

ΔLrivhvl=sfi∑ri∈R+sfi×Lvh0-∑rj∈R-（∑vm∈ΩrjvhΔLrjvhvm））×Lvl0-Wrivl∑vk∈Γrivh（Lvk0-Wrivk（10）

其中，ΔLrivhvl表示節(jié)點vh傳遞給節(jié)點vl關(guān)于正向關(guān)系ri的負(fù)載，R+為失效節(jié)點與鄰居節(jié)點間的正向關(guān)系集合，R-為失效節(jié)點與鄰居節(jié)點間的逆向關(guān)系集合，Γrivh表示與節(jié)點vh之間存在正向關(guān)系ri的鄰居節(jié)點集合，Ωrjvh表示與節(jié)點vh之間存在逆向關(guān)系rj的鄰居節(jié)點集合。

鄰居節(jié)點vl與失效節(jié)點vh之間存在多種關(guān)系，節(jié)點vl將收到來自各個關(guān)系傳遞過來的負(fù)載，自身負(fù)載就發(fā)生改變，如果此時節(jié)點的總負(fù)載大于容量

LRvlt=Lvl0+∑rn∈RΔLrnvhvlgt;Cvl（11）

則節(jié)點vl因超負(fù)荷而失效，其自身負(fù)載會沿著連邊上的關(guān)系傳遞給其鄰居節(jié)點，如圖2所示。可以看出，節(jié)點vh故障后，其負(fù)載根據(jù)連邊上3個關(guān)系依次傳遞給節(jié)點vl，該節(jié)點接收到的負(fù)載為ΔLr1vhvl+ΔLr2vhvl+ΔLr3vhvl，如果此時節(jié)點的負(fù)載大于容量，即Lvl0+∑ri∈RΔLrivhvlgt;Cvl，則節(jié)點vl失效。同理，其負(fù)載以上述方式傳遞給鄰居節(jié)點，該過程不斷循環(huán)，故障在網(wǎng)絡(luò)中蔓延，直到?jīng)]有節(jié)點失效，網(wǎng)絡(luò)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

2 仿真分析

在實驗中，為了探究不同影響因素對網(wǎng)絡(luò)總體的破壞程度，攻擊網(wǎng)絡(luò)中每一個節(jié)點，并在每一次級聯(lián)失效過程結(jié)束后計算CFv值，該值表示為移除節(jié)點v后失效節(jié)點的數(shù)量，其中，0≤CFv≤N-1，將CFv值歸一化處理，令S作為網(wǎng)絡(luò)故障規(guī)模的衡量指標(biāo)

S=∑v∈NCFvN（N-1）（12）

其中，S表示整個網(wǎng)絡(luò)的癱瘓程度，值越大，網(wǎng)絡(luò)故障規(guī)模越大，值越小，網(wǎng)絡(luò)的破壞程度就越小。通過查看S值的變化考察正向關(guān)系和逆向關(guān)系對多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的影響，根據(jù)多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型制定的算法如下：

a）攻擊網(wǎng)絡(luò)A中的節(jié)點v使其失效，將該節(jié)點的過載函數(shù)值記為“0”，并找出與v相連的鄰居節(jié)點；

b）對節(jié)點v和其鄰居節(jié)點的負(fù)荷進行重分配，有節(jié)點過載則將過載函數(shù)記為“0”；

c）找出網(wǎng)絡(luò)A中的失效節(jié)點；

d）找出其中一個失效節(jié)點的全部鄰居節(jié)點，對失效節(jié)點和其鄰居節(jié)點進行負(fù)載重分配，其中，過載函數(shù)值為“0”的節(jié)點不再接受外來負(fù)荷，有節(jié)點過載則記為“0”；

e）重復(fù)步驟c）～d），直到?jīng)]有節(jié)點失效；

f）計算整個網(wǎng)絡(luò)中失效節(jié)點的數(shù)目，記為CFv；

g）重復(fù)步驟a）～f），直到完成對網(wǎng)絡(luò)A中每個節(jié)點進行了一次攻擊，計算網(wǎng)絡(luò)A的故障規(guī)模S。

調(diào)節(jié)容限系數(shù)λ的大小，根據(jù)上述算法進行實驗，記錄網(wǎng)絡(luò)故障規(guī)模S值，當(dāng)S=0時，容限系數(shù)λ越小網(wǎng)絡(luò)魯棒性就越好。

2.1 網(wǎng)內(nèi)關(guān)系拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同條件下關(guān)系強度對多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)的影響

2.1.1 正向關(guān)系對多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的影響 在典型的單網(wǎng)絡(luò)模型中，節(jié)點處于同一層次，節(jié)點之間只存在單個關(guān)系；在多層網(wǎng)絡(luò)中，每個子網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點屬于不同類別且處于不同層次，節(jié)點之間存在耦合關(guān)系；而在本文構(gòu)建的多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)模型中，雖然每個節(jié)點屬于同一類別且都處于同一層次，但節(jié)點之間的連邊存在多種關(guān)系，節(jié)點根據(jù)每個關(guān)系組成的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮卣魇遣煌?，因此本文模型與以往的網(wǎng)絡(luò)模型相比存在本質(zhì)上的差別，當(dāng)關(guān)系強度比例參數(shù)取不同值時，網(wǎng)絡(luò)中發(fā)生的故障現(xiàn)象將出現(xiàn)不同的性質(zhì)。

為了探究在網(wǎng)內(nèi)關(guān)系對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同條件下，正向?qū)W(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的影響，首先構(gòu)建關(guān)系r1，r2，r3關(guān)聯(lián)的節(jié)點數(shù)目為200，連邊數(shù)目為400，每個關(guān)系對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)平均度均為4的多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，其中，關(guān)系r1，r3為正向關(guān)系，關(guān)系r2為逆向關(guān)系，由于現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)更傾向于WS小世界網(wǎng)絡(luò)和BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，因此在實驗中，將每個關(guān)系對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為WS、BA其一進行任意組合，設(shè)參數(shù)α=1，固定逆向關(guān)系r2的強度為0.1。當(dāng)正向關(guān)系強度比例參數(shù)取不同值時，所得S-λ曲線如圖3所示。

關(guān)系對應(yīng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為不同的組合時，取得的實驗結(jié)果一致，為進一步觀察，選取圖3（c）列出表1?？芍?，當(dāng)正向關(guān)系r1，r3的關(guān)系強度比例為1∶1時，網(wǎng)絡(luò)故障規(guī)模S=0所需的容限系數(shù)λ最小，說明此時網(wǎng)絡(luò)達(dá)到最優(yōu)魯棒性所需的成本最小，該比例為最優(yōu)的比例；但是當(dāng)正向關(guān)系r1和r3的關(guān)系強度差距增大時，網(wǎng)絡(luò)故障規(guī)模S隨之?dāng)U大，網(wǎng)絡(luò)魯棒性明顯下降。因此，在網(wǎng)內(nèi)關(guān)系對應(yīng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同條件下，當(dāng)正向關(guān)系強度比例一致時，網(wǎng)絡(luò)魯棒性最佳。

2.1.2 逆向關(guān)系對多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的影響 由于被逆向關(guān)系阻擋住的負(fù)載會沿著正向關(guān)系傳遞給其他節(jié)點，導(dǎo)致這些節(jié)點分配到更多的負(fù)載，阻礙程度的大小會對網(wǎng)絡(luò)故障規(guī)模產(chǎn)生一定的影響，為了進一步研究，按照上述實驗的網(wǎng)絡(luò)特征，令每個關(guān)系對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為WS、BA中的一種，以任意形式組合，構(gòu)建多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)。設(shè)參數(shù)α=1，將正向關(guān)系r1，r3的強度比例固定為1∶1。當(dāng)逆向關(guān)系強度分別取0.1，0.3，0.5，0.7，0.9時，得出的S-λ曲線如圖4所示。

關(guān)系對應(yīng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為不同的組合時，取得的實驗結(jié)果一致，為進一步觀察，選取圖4（c）列出表2?？芍?，隨著逆向關(guān)系r2強度的增強，網(wǎng)絡(luò)故障規(guī)模S=0所需的容限系數(shù)λ隨之增大，網(wǎng)絡(luò)魯棒性明顯下降。在網(wǎng)內(nèi)關(guān)系對應(yīng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同條件下，逆向關(guān)系對網(wǎng)絡(luò)的影響是負(fù)面的，逆向關(guān)系強度越強，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越差，為了保護網(wǎng)絡(luò)，應(yīng)該盡量減少逆向關(guān)系對負(fù)載的阻礙程度，以避免其他鄰居節(jié)點分配的負(fù)載過大。

2.2 網(wǎng)內(nèi)關(guān)系平均度不同條件下關(guān)系強度對多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)的影響

2.2.1 正向關(guān)系對多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的影響 網(wǎng)絡(luò)平均度是反映網(wǎng)絡(luò)整體的平均交互程度，本文定義的網(wǎng)絡(luò)故障規(guī)模衡量指標(biāo)S表示網(wǎng)絡(luò)整體的平均故障程度，所選指標(biāo)和測度都是均值，因此實驗中不會受網(wǎng)絡(luò)個別因素的影響，而且網(wǎng)絡(luò)平均度是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效研究［9］中普遍應(yīng)用的指標(biāo)，因此該指標(biāo)具有合理性。研究表明，網(wǎng)絡(luò)平均度越大，網(wǎng)絡(luò)抵御級聯(lián)失效的能力越強。但在多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點間存在多種關(guān)系，且存在著不同的關(guān)系類型，當(dāng)每個關(guān)系對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)平均度不同時，網(wǎng)絡(luò)中發(fā)生的級聯(lián)失效現(xiàn)象會以往的研究有所差異。

首先探究正向關(guān)系對網(wǎng)絡(luò)的影響，在實驗中，構(gòu)建網(wǎng)內(nèi)關(guān)系拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)都為WS的多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，且每個關(guān)系關(guān)聯(lián)的節(jié)點數(shù)目相同，網(wǎng)絡(luò)總節(jié)點數(shù)為200，設(shè)α=1，關(guān)系r1，r3為正向關(guān)系，關(guān)系r2為逆向關(guān)系，固定逆向關(guān)系強度為0.1，關(guān)系r1，r2的平均度設(shè)為2和4，當(dāng)關(guān)系r3的平均度分別取2、4、6、8時，調(diào)節(jié)正向關(guān)系強度比例得出的S-λ曲線如圖5所示。

圖5（a）和（b）中，當(dāng)關(guān)系r1，r3強度比例為1∶1時，網(wǎng)絡(luò)魯棒性最強，隨著關(guān)系r1，r3關(guān)系強度差距的增大，網(wǎng)絡(luò)魯棒性隨之下降；圖（b）中，當(dāng)增大關(guān)系r1的強度占比時，網(wǎng)絡(luò)魯棒性下降更明顯，說明當(dāng)增大平均度較小的關(guān)系強度占比時，會對網(wǎng)絡(luò)造成更嚴(yán)重的損壞。圖5（c）和（d）中，隨著關(guān)系r3平均度的增大，關(guān)系r1，r3強度比例為1∶1不再是網(wǎng)絡(luò)達(dá)到最佳魯棒性的最優(yōu)比例，為進一步觀察，選取圖（d）列出表3。

可以看出，當(dāng)關(guān)系r1的強度占比越小，關(guān)系r3的強度占比越大時，S=0的容限系數(shù)越小，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強。因此，在網(wǎng)內(nèi)關(guān)系平均度不同條件下，網(wǎng)絡(luò)平均度小的關(guān)系的強度占比越小，網(wǎng)絡(luò)平均度大的關(guān)系的強度占比越大，網(wǎng)絡(luò)抵御級聯(lián)失效的能力越強。

2.2.2 逆向關(guān)系對多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的影響 根據(jù)前面的實驗結(jié)論，在每個關(guān)系平均度相同條件下，逆向關(guān)系對網(wǎng)絡(luò)影響是負(fù)面的，因此實驗中令正向關(guān)系和逆向關(guān)系對應(yīng)的平均度不同，探究逆向關(guān)系對網(wǎng)絡(luò)的影響。首先構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)節(jié)點總數(shù)為200，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)都為WS的多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，令每個關(guān)系關(guān)聯(lián)的節(jié)點數(shù)目相同，α=1，關(guān)系r1，r3為正向關(guān)系，關(guān)系r2為逆向關(guān)系，固定正向關(guān)系r1，r3的強度比例為1∶1，當(dāng)逆向關(guān)系強度分別取0.1、0.3、0.5、0.7、0.9時，得出的S-λ曲線如圖6所示。

圖6（a）和（b）中，逆向關(guān)系平均度與正向關(guān)系平均度相比越小，逆向關(guān)系對網(wǎng)絡(luò)的影響越微弱，可以推測，當(dāng)逆向關(guān)系平均度與正向關(guān)系平均度相比足夠小時，逆向關(guān)系對網(wǎng)絡(luò)沒有影響；圖（c）和（d）中，逆向關(guān)系平均度與正向關(guān)系平均度相比越大，逆向關(guān)系對網(wǎng)絡(luò)的作用效果越明顯，為進一步觀察，選取圖（d）列出表4?？芍?，隨著逆向關(guān)系強度的增大，S=0的容限系數(shù)隨之增大，說明逆向關(guān)系只對網(wǎng)絡(luò)起負(fù)面作用，逆向關(guān)系強度越強，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越差。

通過上述實驗可以看出，多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效與一般網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的流程是相同的，但依然存在著不同點：在多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點間的關(guān)系可以作用于負(fù)載傳遞，間接地影響到整個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的規(guī)模，根據(jù)關(guān)系的性質(zhì)調(diào)節(jié)關(guān)系強度比例系數(shù)可以有效提高網(wǎng)絡(luò)魯棒性，而一般網(wǎng)絡(luò)模型無法描述多種關(guān)系對網(wǎng)絡(luò)的作用形式，存在局限性。

3 結(jié)論

本文根據(jù)多子網(wǎng)復(fù)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，采用負(fù)載-容量模型描述多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的過程，考察多種關(guān)系對網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效規(guī)模的影響。正向關(guān)系與逆向關(guān)系對網(wǎng)絡(luò)的影響不同，逆向關(guān)系強度越強，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越差，而正向關(guān)系相反，正向關(guān)系越強，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越好；在不同網(wǎng)絡(luò)拓?fù)錀l件下，不同強度的正向關(guān)系對網(wǎng)絡(luò)的影響不同：平均度較小的正向關(guān)系強度占比越小，平均度較大的正向關(guān)系強度占比越大，網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強。因此網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效時，要根據(jù)不同網(wǎng)絡(luò)拓?fù)錉顟B(tài)，以及影響負(fù)載分配的因素來處理，不能單純地阻礙負(fù)載的流動。本文僅從理論角度建模與仿真，實驗部分均為數(shù)值模擬，缺少針對實際網(wǎng)絡(luò)的實驗，后續(xù)研究中，將模型應(yīng)用在實際網(wǎng)絡(luò)中，從真實的網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)出發(fā)，分析多種關(guān)系對基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)安全和維護的影響。

參考文獻

［1］賈寧，賓晟，孫更新.基于多子網(wǎng)復(fù)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的級聯(lián)失效研究［J］.青島大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2021，34（3）：28-37.

［2］高峰，孫更新，賓晟.基于多關(guān)系網(wǎng)絡(luò)的邊轉(zhuǎn)移擴容策略［J］.青島大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2021，34（3）：38-42.

［3］李志云，李英，李建波.移動社交網(wǎng)絡(luò)中基于用戶動態(tài)需求的D2D數(shù)據(jù)分流方法［J］.青島大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2021，34（1）：1-6+12.

［4］ROSATO V， ISSACHAROFF L， TIRITICCO F， et al. Modelling interdependent infrastructures using interacting dynamical models［J］. International Journal of Critical Infrastructure， 2008， 4（1-2）： 63-79.

［5］孫雅萍.對中國南方特大雪災(zāi)的成因分析及思考［J］. 國土與自然資源研究，2009（2）： 72-73．

［6］GOH K I， KAHNG B， KIM D. Fluctuation-driven dynamics of the Internet topology［J］. Physical Review Letters， 2002， 88（10）：108701.

［7］MOTTER A E， LAIY C. Cascade-based attacks on complex networks［J］. Physical Review E， 2002， 66（6）： 065102.

［8］HOLME P， KIM B J， YOON C N， et al. Attack vulnerability of complex networks［J］. Physical Review E， 2002， 65（2）： 056109.

［9］竇炳琳，張世永.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上級聯(lián)失效的負(fù)載容量模型［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報，2011，23（7）： 1459-1463.

［10］ BULDYREV S V， PARSHANI R， PAUL G， et al. Catastrophic cascade of failures in interdependent networks［J］. Nature， 2010， 464： 1025-1028.

［11］ HUANG X Q， GAO J X， BULDYREV S V， et al. Robustness of interdependent networks under targeted attack［J］. Physical Review E， 2011， 83（6）： 778-804.

［12］ 王竣德，老松楊，阮逸潤，等.基于節(jié)點負(fù)載容忍度的相依網(wǎng)絡(luò)魯棒性研究［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2017，39（11）：2477-2483.

［13］ 劉文靜，靳嵐，張金剛.負(fù)載作用下相互依存網(wǎng)絡(luò)的魯棒性分析［J］.甘肅科學(xué)學(xué)報，2018，30（4）：115-118．

［14］ SHAO J， BULDYREV S V， HAVLIN S， et al. Cascade of failures in coupled network systems with multiple support-dependence relations［J］. Physical Review E， 2011.83（3）：036116.

［15］ 陳世明，鄒小群，呂輝，等.面向級聯(lián)失效的相依網(wǎng)絡(luò)魯棒性研究［J］.物理學(xué)報，2014，63（2）：432-441.

［16］ 劉鳳增， 肖兵， 劉俊杰， 等.級聯(lián)失效下非對稱依賴網(wǎng)絡(luò)魯棒性研究［J］.國防科技大學(xué)學(xué)報， 2021，43（1）： 49-56.

［17］ 董威， 李永剛.基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的智能電網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)攻擊影響分析研究［J］.信息網(wǎng)絡(luò)安全，2020，20（1）：52-60.

［18］ GAO J X， BULDYREV S V， HAVLIN S， et al. Robustness of a network of networks ［J］. Physical Review Letters， 2011，107（19）： 195701.

［19］ 張欣.多層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論研究進展：概念、理論和數(shù)據(jù)［J］.復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)，2015，12（2）：103-107.

［20］ 陸君安.從單層網(wǎng)絡(luò)到多層網(wǎng)絡(luò)——結(jié)構(gòu)、動力學(xué)和功能［J］.現(xiàn)代物理知識，2015，27（4）：3-8.

［21］ 吳宗檸， 狄增如， 樊瑛. 多層網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)與功能研究進展［J］. 電子科技大學(xué)學(xué)報， 2021，50（1）： 106-120.

［22］ 賈春曉，李明，劉潤然.多層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的滲流與級聯(lián)失效動力學(xué)［J］.電子科技大學(xué)學(xué)報，2022，51（1）：148-160.

［23］ 王哲，李建華，康東，等.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)魯棒性增強策略研究綜述［J］.復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)，2020，17（3）：1-26+46.

［24］ JIANG W J， LIU R R， FAN T L， et al. Overview of precaution and recovery strategies for cascading failures in multilayer networks［J］. ActaPhysica Sinica，2020，69：088904.

［25］ 隋毅.多子網(wǎng)復(fù)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型及其相關(guān)性質(zhì)和研究［D］.青島：青島大學(xué)，2012.

Research on Cascading Failure Based on Multi-relational Network Model

JIA Ning1， BIN Sheng2， SUN Geng-xin2

（1. College of Information Engineering， Liaoning Institute of Science and Engineering， Jinzhou 121000， China；

2. College of Computer Science and Technology， Qingdao University， Qingdao 266071， China）

Abstract：

In view of the fact that the current research methods of network cascading invulnerability do not relate to the problem of" multi-relational networks. And the multi-subnet compound network is calculated by the subnet compound network model， which used load-capacity model aim at the cascading failure phenomenon of multiple relational networks has researched. Expounding the influence of relationship strength and relationship type between network nodes has different influence on network cascading invulnerability under different influencing factors. The results show that adjusting the scale factor of relationship strength according to the type of relationship can improve the robustness of the network effectively.

Keywords：

cascading failure; multiple relationships; load redistribution; multi-relationship network cascade failure model; robustness