? 北京師范大學未來教育學院 廣東省廣州市藝術中學 吳景峰

1 新題呈現(xiàn)

2023年高中數(shù)學命題比賽中,筆者受華南師范大學吳康教授將2022年新高考Ⅰ卷第22題拓展到四個交點情形的啟發(fā),通過對高考原題進行改編,命制了如下一道導數(shù)壓軸題.

(1)求a;

本題的題源是2022年新高考Ⅰ卷第22題,主要涉及利用導數(shù)研究函數(shù)性質的綜合性應用、函數(shù)與方程、基本不等式等知識,研究了函數(shù)的最值、零點等問題,考查了數(shù)形結合、分類與整合、轉化與化歸等數(shù)學思想及邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

2 命制過程

2022年新高考導數(shù)壓軸題頗有新意,以零點構成等差數(shù)列的新穎方式設問,考查創(chuàng)新思維.筆者發(fā)現(xiàn)類似的試題不常見,于是在此基礎上對指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的常見組合函數(shù)作進一步探究,改編出此題及一些變式訓練題.

疑問：同樣具備同構關系的函數(shù)是否也有類似性質?于是在探究的過程中確定了命題方向,同時總結了改編命制試題的三個步驟,本次命題即按如下三步進行.

2.1 類比推廣,初步改編

對題源的結論進行推廣后,再通過類比,改變條件得到新結論,從而對題源進行改編.由此命制的第一稿試題如下：

說明：最初的改編稿,類比原題,對于接觸過原題的學生沒有太大新意,于是作進一步改編.

2.2 探究加工,深度改編

在初步改編的基礎上,對試題作進一步探究,深挖出試題的本質,深度加工試題的條件和結論.由此命制的第二稿試題如下：

說明：把題目作更深一步拓展,但結論不夠優(yōu)美簡潔,于是作進一步優(yōu)化.

第三稿試題如下：

說明：題目基本定稿,下一步是拓展試題的寬度,嘗試加入一些新元素.

2.3 構建情境,創(chuàng)新改編

高考數(shù)學情境包括多種情境,如學習再現(xiàn)情境、學習關聯(lián)情境、綜合聯(lián)想情境、拓展遷移情境及模型識別情境等[1],在命題時,可以構建適當?shù)那榫?把問題嵌入其中.本文的最終稿試題即在此啟發(fā)下命制出來.

說明：在第三稿試題的基礎上,以“結構不良試題”形式引進其他常見函數(shù),構建模型識別情境,并對結論作進一步改編,得到前文的最終試題.

3 試題分析與解答

3.1 第(1)問的分析與解答

通過分析,第(1)問的思維導圖如圖1.

圖1

本題第(1)問的解答過程如下：

點評：此問知識點源于人教A版數(shù)學新教材選擇性必修第二冊第五章5.3節(jié),解法較常規(guī).

3.2 第(2)問的分析與解答

第(2)問,先結合方程與根的知識,如圖2分析零點個數(shù)問題;再聯(lián)想基本不等式將問題進行轉化,即證明x1x4=x2x3,可得如圖3所示的思維導圖.

圖2

圖3

由上分析,本題第(2)問有三種證明方法,解答過程可掃碼查看.

4 試題測試數(shù)據(jù)與分析

本題用在高三的周測進行測試,該校生源屬中等水平.試題滿分12分,該測試題平均分1.44,難度系數(shù)0.12,區(qū)分度0.1,由于周測套題的難度較大,能做到本題的學生較少.學生出現(xiàn)的問題主要有：①運算基礎不扎實,如第(1)問帶參求導出錯、忽略定義域的限制等.②解題不夠嚴謹.如第(2)問的四個零點,只考慮了其中一種而忽略了另一種;又如直接寫出a=1,沒有過程.③轉化能力不強,沒把零點問題轉化出來,導致找不到解題方向.因此,暴露了學生思維和運算等方面存在的問題.

5 反饋練習

由于得分情況并不理想,因此在反饋練習中,可給學生搭建支架,讓學生“跳一跳,夠著桃”.

練習1(山東省淮坊市2023屆高三10月模擬試題第11題改編)已知函數(shù)f(x)=ex+x-2和g(x)=lnx+x-2的零點分別為x1,x2.

(1)證明：x1+x2=2;

(2)證明：x1lnx2+x2lnx1<0;

(4)證明：x2lnx2-x1lnx1<2.

練習2(深圳部分學校2023屆高三年級9月份大聯(lián)考數(shù)學第22題)已知a>0,函數(shù)f(x)=xex-a,g(x)=xlnx-a.

(1)證明：函數(shù)f(x),g(x)都恰有一個零點;

(2)設函數(shù)f(x)的零點為x1,g(x)的零點為x2,證明x1x2=a.

練習3已知函數(shù)f(x)=ex-a(x-2)2,a>0,f′(x)為f(x)的導函數(shù).

(1)討論f(x)的單調性,設f′(x)的最小值為m,并求證：m≤e2;

(2)若f(x)有三個零點,求a的取值范圍.

說明：三道習題層層遞進,適合學后反饋練習.

6 試題的變式推廣

在學生學有余力的情況下,教師可引導學生對其他常見函數(shù)作進一步探究,從而把本試題進一步變式推廣,得到如下結論.

結論1函數(shù)f(x)=ex+x-b和g(x)=lnx+x-b有：(1)二者具有同構關系f(lnx)=g(x),g(ex)=f(x);(2)函數(shù)y=f(x),y=g(x)共有兩個不同的零點,記為x1,x2,且x1+x2=b.

結論3函數(shù)f(x)=xex-b和g(x)=xlnx-b有：(1)符合結論1的同構關系,且二者有相同的最小值;(2)若函數(shù)y=f(x),y=g(x)共有兩個不同零點,記為x1,x2,則x1x2=b;(3)若函數(shù)y=f(x),y=g(x)共有四個不同零點,由小到大記為x1,x2,x3,x4,則x1x3=x2x4=b.

說明：這些素材,可結合前文中改編命制試題的三步驟,命制新的試題,也可給學生探究.

7 結束語

我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：“出題比做題更難,題目要出得妙,出得好,要測得出水平.”命題是一次由內(nèi)而外的工作,是一個將解題引向深人的研究過程.本次命題比賽,除了享受過程,筆者體驗了一回“確定考查目標、選擇恰當背景、構造試題雛形、打磨形成試題”的過程[2],更重要的是發(fā)現(xiàn)自身不足.今后,筆者將以命制出富有創(chuàng)新、讓師生津津樂道的新題為目標不斷學習,繼續(xù)努力.