? 湖北省荊州中學(xué) 謝 俊

泰勒(Taylor)以微積分中將函數(shù)展開(kāi)成無(wú)窮級(jí)數(shù)的定理而著稱于世.泰勒公式把初等函數(shù)與超越函數(shù)以逼近形式緊密地聯(lián)系了起來(lái),泰勒公式扮演了非常重要的角色,泰勒公式即有高考導(dǎo)數(shù)命題中最常見(jiàn)的高等數(shù)學(xué)背景,又有以其背景而衍生出來(lái)的一些精彩結(jié)論.這些結(jié)論備受高考命題者的青睞,本文中試圖就歷年的高考試題來(lái)探究其深厚的淵源,從而展示泰勒公式阿娜多姿的風(fēng)采.

1 高數(shù)知識(shí)

1.1 泰勒公式

若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處存在n階導(dǎo)數(shù),則有

①

上面①式也稱為麥克勞林(Maclanrin)公式.

1.2 常見(jiàn)的泰勒公式

截取片段,就構(gòu)成了高考中常見(jiàn)的不等式：

由泰勒公式演繹出來(lái)的不等式是高考的熱點(diǎn),通過(guò)對(duì)其變形、賦值、替換等,又可以得出很多精彩的結(jié)論.我們對(duì)這些結(jié)論追本溯源,掌握其基本規(guī)律,就可以從容面對(duì),快速找到解題思路、方法.

2 高考試題

2.1 泰勒公式與大小比較

A.a

C.c

解：由泰勒公式,有

顯然c

2.2 泰勒公式與探路求值

例2(2021年八省新高考適應(yīng)考試題)已知f(x)=ex-sinx-cosx,g(x)=ex+sinx+cosx.

(2)若g(x)≥2+ax,求a.

解：(1)證明略.

(2)(必要性探路)由泰勒公式,有

②

③

④

由②+③+④,得

上式中,sinx,cosx中的負(fù)項(xiàng)全部被ex中的正項(xiàng)抵消,于是得到g(x)=ex+sinx+cosx≥2+2x成立,所以,背景出來(lái)了,a=2.

(充分性證明)在(1)中,令

F(x)=g(x)-2-ax=ex+sinx+cosx-2-ax.

故當(dāng)a=2時(shí),F(x)≥0.

綜上所述,可知a=2.

2.3 泰勒公式與近似估值

例3(2014年新課標(biāo)Ⅱ卷)已知f(x)=ex-e-x-2x.

(1)設(shè)g(x)=f(2x)-4bf(x),當(dāng)x>0時(shí),g(x)>0,求b的最大值;

解：(1)由題意知g(x)=f(2x)-4bf(x)=(e2x-e-2x-4x)-4b(ex-e-x-2x).

所以b≤2.故b的最大值為2.

2.4 泰勒公式與極值界定

例4(2018年新課標(biāo)Ⅲ卷)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x,若x=0是f(x)的極大值點(diǎn),求a的值.

解：(2)由泰勒公式,有

2.5 泰勒公式與放縮變形

例5(2020年高考全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解：當(dāng)0

當(dāng)a>1時(shí),有

f(x)=aex-1-lnx+lna>ex-1-lnx≥1.

由泰勒公式,有

于是有ex≥1+x,把x換成x-1,得ex-1≥x.

于是有l(wèi)n(1+x)≤x,把x換成x-1,得lnx≤x-1,即-lnx≥1-x.

所以,ex-1-lnx≥1,此式即當(dāng)a=1時(shí)的情形.

綜上,a的取值范圍為[1,+∞).

2.6 泰勒公式與數(shù)列不等式

例6(2017年高考浙江卷)已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1),n∈N*.證明：當(dāng)n∈N*,

(1)0

證明：第(1)問(wèn)略.

(3)由泰勒公式,有l(wèi)n(1+x)≤x(x>0).

泰勒公式在高考試題中的美妙身姿何止這些,限于篇幅,在此就不再一一撰述.盡管高考試題的設(shè)計(jì)有來(lái)源于泰勒公式,但命題者提供的方法,最終還是要用中學(xué)所學(xué)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)解決,但是如果利用泰勒公式來(lái)思考,則解題思維會(huì)更加流暢,更容易接近問(wèn)題的本質(zhì)[1].

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)的知識(shí),直接應(yīng)用恐有失分,但如果知道常見(jiàn)函數(shù)的泰勒公式,我們就很容易發(fā)現(xiàn)試題的背景,應(yīng)用初等數(shù)學(xué)方法解決即可[2].學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)適當(dāng)掌握一點(diǎn)高等數(shù)學(xué)知識(shí),對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)不僅僅是一舉多得的好事,更可以直達(dá)“會(huì)當(dāng)臨絕頂,一覽眾山小”的解題仙境!