? 江蘇省靖江市第一高級中學 聞 君

數(shù)學是一門邏輯性較強的學科,但受學生認知水平、思維能力等因素的影響,這些邏輯連貫的數(shù)學知識可能分散于不同的章節(jié)中,因此數(shù)學教學要注重整體性.在日常教學中,教師應從整體視角出發(fā),有意識地引導學生將相似或相關(guān)的知識聯(lián)系起來,構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的知識體系,提高靈活應用知識解決問題的能力.如何開展整體性教學一直是高中數(shù)學教學的重要課題.筆者認為,在課堂教學中融入思維導圖,有利于整體性教學的開展.筆者以“數(shù)列的前n項和”為例,談談具體的心得體會,請指正.

1 教學實錄

1.1 巧借思維導圖,促進知識整體把握

師：回顧數(shù)列相關(guān)知識,對于數(shù)列我們經(jīng)歷了怎樣的學習歷程?

生1：從一般數(shù)列出發(fā),到等差數(shù)列、等比數(shù)列,再回到一般數(shù)列.

師：很好,這里面蘊含了一般與特殊的數(shù)學思想方法.我們可以從哪幾個角度研究一般數(shù)列呢?

生2：數(shù)列的通項及其前n項和.

師：對于通項,是如何研究的?(學生一時不知如何回答.)

師：結(jié)合實例想一想,我們是如何研究數(shù)列通項問題的?(教師用PPT給出數(shù)列讓學生觀察、思考.)

(1)已知a1=2,an+1-an=2n+1(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項公式.

(2)已知{an}滿足a1=1,an+1=2an+1,求這個數(shù)列的通項公式an.

學生獨立求解,教師展示學生的解題過程(略).

師：對于問題(1),你是如何想到用累加法求解的呢?

生3：發(fā)現(xiàn)該遞推關(guān)系與等差數(shù)列的定義類似,所以解題時聯(lián)想到等差數(shù)列通項的推導方法,利用累加法得到了答案.

師：很好.對于問題(2),你們有什么想說的嗎?

生4：將遞推關(guān)系變形得an+1+1=2(an+1),又an+1=2≠0,所以問題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列{an+1}的通項問題.

師：很好.結(jié)合已有經(jīng)驗和具體實例說說,求一般數(shù)列通項的核心思想是什么?

生5：在求一般數(shù)列的通項時,或類比等差、等比數(shù)列通項的推導方法,或?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列.

學生回答問題后,教師帶領(lǐng)學生進一步回顧研究一般數(shù)列的基本內(nèi)容和基本思想方法,然后給出如圖1所示的思維導圖.

圖1

師：總結(jié)得非常好!對于一般數(shù)列的通項,我們可以用“類比”與“轉(zhuǎn)化”的思想來研究,那么對于一般數(shù)列的前n項和,是否也能用這兩種思想來研究呢?

1.2 巧借思維導圖,提高學生實踐能力

師：為了檢驗“類比”與“轉(zhuǎn)化”是否通用,我們看一個具體實例.(教師用PPT出示例題.)

問題給出后,教師讓學生獨立求解,教師巡視,很多學生無從下手.

師：數(shù)列的通項是什么?

師：該數(shù)列通項有何特征?

生6：它是等差數(shù)列通項與等比數(shù)列通項之積.

師：結(jié)合這一發(fā)現(xiàn),你有什么想法?

生7：感覺也可以像研究一般數(shù)列的通項一樣,借助研究等差、等比數(shù)列前n項和的方法來研究它.

師：不錯的思路,大家試一試,看看有什么發(fā)現(xiàn).

(教師繼續(xù)讓學生獨立思考.)

生8：直接轉(zhuǎn)化是不行的,因為例1的通項無法轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的通項.

生9：我從類比的角度出發(fā),先與等差數(shù)列相類比,發(fā)現(xiàn)應用倒序相加法不能解決問題,其他方法還沒有來得及嘗試.

師：分析得非常有道理.大家不妨用錯位相減法試一試,看看你有什么發(fā)現(xiàn)?

在教師的啟發(fā)和指導下,學生利用錯位相減法得到該數(shù)列的前n項和.教師投影展示生10的解答過程：

師：根據(jù)這一發(fā)現(xiàn),你能得到一般結(jié)論嗎?

生11：若一般數(shù)列的通項形如anbn,其中{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,則求一般數(shù)列的前n項和時,可以使用錯位相減法.

師：很好,這樣通過與等比數(shù)列求和相類比,得到了這個一般數(shù)列的求和方法.

師：若通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列對應項和的形式,則只需分別計算等差、等比數(shù)列的前n項和,然后將二者相加得到結(jié)果,我們稱該方法為分組求和法.

這樣從學生已有經(jīng)驗出發(fā),學生理解并掌握一般數(shù)列求和的方法后,教師提供時間讓學生反思回顧,并通過師生互動交流得到如圖2所示的思維導圖,以此借助思維導圖加深對基本思想方法的理解,增強學生解題信心.

圖2

1.3 巧借思維導圖,培養(yǎng)學生整體意識

師：本節(jié)課我們主要研究了哪些內(nèi)容?你有哪些收獲?請用思維導圖歸納總結(jié)相關(guān)內(nèi)容.

教師預留時間讓學生反思回顧,然后嘗試利用思維導圖進行歸納總結(jié),學生得到草圖后,教師鼓勵學生進行組內(nèi)交流,以此通過生生合作逐步完善個體的認知結(jié)構(gòu).教師展示各組的交流結(jié)果后,又對其作進一步優(yōu)化,從而得到如圖3所示的思維導圖.

2 教后反思

周知,數(shù)學知識之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系,若教學中不能通過有效的方式將這些知識聯(lián)系起來,那么將很容易出現(xiàn)遺忘的情況.這樣學生在面對一些綜合性的題目時往往會感覺無從下手,直接影響解題效果.思維導圖在整合知識、幫助記憶、發(fā)散思維等方面發(fā)揮著重要作用,因此教學中應充分發(fā)揮思維導圖的優(yōu)勢,將知識、思想方法等有效地聯(lián)系起來,讓學生逐步形成整體觀,提高學習效率.

在本課教學中,教師從學生已經(jīng)掌握的一般數(shù)列的通項入手,通過問題的解決引導學生提煉轉(zhuǎn)化和類比思想方法.在此基礎上,教師巧妙地設計問題,引導學生將研究一般數(shù)列通項的思想方法遷移至一般數(shù)列求和的推導中,實現(xiàn)由等差、等比數(shù)列求和到一般數(shù)列求和的推廣,充分展示各知識點之間的聯(lián)系,逐步培養(yǎng)學生整體意識.另外,在各個教學環(huán)節(jié)中,教師引導學生用思維導圖進行歸納總結(jié),幫助學生生成數(shù)列的知識體系.相信在思維導圖的指引下,學生在研究一般數(shù)列的問題時,可以快速找到思考方向,形成解題策略,提升解題信心.

總之,在整體性教學中,教師要適時地引入思維導圖,有意識地指導學生利用思維導圖將相關(guān)的知識聯(lián)系起來,幫助學生更好地理解知識,形成完善的知識體系,提高分析問題和解決問題的能力.