? 福建省同安第一中學(xué) 范丹妮

深度學(xué)習(xí)是指在教師引領(lǐng)下,學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題,全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程[1].

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析[2].

如何開展教學(xué)才能更好地推動學(xué)生深度學(xué)習(xí)、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)呢?教師需要在把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的同時,兼顧學(xué)生的思維規(guī)律與教學(xué)的基本規(guī)律,創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫?讓學(xué)生圍繞揭示本質(zhì)的問題展開深度學(xué)習(xí).筆者設(shè)計了“n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”的教學(xué)案例,供讀者參考.

1 教材內(nèi)容解析

教學(xué)線索如圖1所示：

圖1

2 教學(xué)分析

2.1 教學(xué)目標(biāo)

(1)理解根式的意義,掌握根式的性質(zhì).

(2)掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義及其與根式之間的互化.

(3)掌握并能夠初步運用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì).

2.2 教學(xué)重難點

重難點：n次方根的概念及性質(zhì)、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化、有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì).

重難點突破：以初中學(xué)習(xí)的根式為切入點,類比歸納出n次方根的概念.結(jié)合具體例子,從特殊到一般,引導(dǎo)學(xué)生得出n次方根的性質(zhì),而平方根、立方根的性質(zhì)則可以進一步推廣到n次方根的性質(zhì),授課時,充分利用平方根、立方根、四次方根,突破學(xué)生對n次方根性質(zhì)的掌握.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是對指數(shù)概念的進一步推廣,課堂上可結(jié)合具體例子讓學(xué)生理解其定義的合理性,明確它其實是根式的另一種表現(xiàn)形式,在根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互相轉(zhuǎn)化中鞏固理解.有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)與初中學(xué)過的整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)一致,學(xué)生學(xué)習(xí)起來應(yīng)該不難.

教學(xué)線索如圖2所示：

3 育人價值

通過n次方根、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念的學(xué)習(xí),體會從特殊到一般的思想,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng).通過對n次方根性質(zhì)的探究,體會分類討論思想方法,培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).通過由整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)得到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì),體會指數(shù)冪的推廣過程中,運算性質(zhì)的前后一致性,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

從更宏觀的視角來看,回顧學(xué)生在小學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)的過程,從正數(shù)到負(fù)數(shù),到有理數(shù),最后到無理數(shù),而指數(shù)冪的推廣恰恰也是按照同樣的路徑展開,從正整數(shù)指數(shù)冪到負(fù)整數(shù)指數(shù)冪,到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(下節(jié)課還會推廣到到無理數(shù)指數(shù)冪),這體現(xiàn)了研究數(shù)學(xué)問題的前后一致性和邏輯連貫性以及數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,是發(fā)展學(xué)生理性思維的良好載體.這對發(fā)展學(xué)生“四基”“四能”,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都具有非常積極的作用.

4 教學(xué)過程

4.1 新課導(dǎo)入

4.2 探究新知(一)

師：初中我們學(xué)過平方根和立方根,請同學(xué)們回顧一下它們的定義.

生：如果x2=a,那么x叫做a的平方根.

生：如果x3=a,那么x叫做a的立方根.

師：如果x4=a呢?仿照前面,你認(rèn)為x叫做a的什么?能舉個例子嗎?

生：四次方根!比如±2是16的四次方根,因為(±2)4=16.

師：進一步推廣,能否得出n次方根的概念?

生：如果xn=a,可以把x叫做a的n次方根.

師：n有沒有范圍?

生：n>1,n∈N*.

師：請思考,一個數(shù)的n次方根可能有幾個?如何表示它們?我們先從特殊情況展開.

設(shè)計意圖：一方面,從平方根、立方根入手引出n次方根.激活了學(xué)生的已有經(jīng)驗,但這并不是最終目的.經(jīng)驗的改造、提升并使之理性化、抽象化,達到知識的高度、豐富度和自覺度才是目的[4].另一方面,明確接下來要研究的問題,引導(dǎo)學(xué)生在具體實例中關(guān)注問題的答案,而非盲目參與活動.

師：23=8,2是8的立方根,33=27,3是27的立方根,能否說出其他類似的例子?

生：25=32,2是32的五次方根.

生：(-2)3=-8,-2是-8的三次方根.

師：能說說一個數(shù)的奇次方根的情況嗎?

生：一個數(shù)的奇次方根只有一個.正數(shù)的奇次方根也為正;負(fù)數(shù)的奇次方根仍為負(fù).

師：仿照剛才的探究過程,我們來看看偶次方根的情況.(±2)2=4,±2是4的平方根,還有嗎?

生：(±2)4=16,±2是16的四次方根;(±3)4=81,±3是81的四次方根.

師：有沒有一個數(shù)的平方等于-4?-16?或者有沒有一個數(shù)的四次方等于-81?

生：沒有.任意實數(shù)的偶次方必是非負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)均不存在偶次方根.

師：那么正數(shù)是否存在偶次方根呢?如果存在,有幾個?

生：存在,而且有兩個,二者互為相反數(shù).如±2是4的平方根.

師：一個數(shù)的n次方根的情況與什么有關(guān)?

生：與這個數(shù)的正負(fù)以及n的奇偶有關(guān).

設(shè)計意圖：從聯(lián)想與結(jié)構(gòu)的角度思考深度學(xué)習(xí),可以通過喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗來推進本節(jié)課的教學(xué),在當(dāng)下的學(xué)習(xí)內(nèi)容與已有的經(jīng)驗之間搭建橋梁,處理好學(xué)生已有經(jīng)驗——平方根、立方根與新授知識——n次方根之間的過渡與轉(zhuǎn)化.其實,把平方根、四次方根的性質(zhì)推廣就得到了偶次方根的性質(zhì),把立方根的性質(zhì)推廣就得到了奇次方根的性質(zhì).

師：有了新的概念,如何用符號語言表示一個數(shù)的n次方根呢?

師：能否用簡潔的符號語言表示發(fā)現(xiàn)的結(jié)論呢?

引導(dǎo)學(xué)生歸納,得到表1.

表1

師：數(shù)學(xué)有三種語言,文字語言、符號語言和?

生：圖形語言!

師：上面的結(jié)論,能否用圖形語言來說明呢?看到xn=a,你會聯(lián)想到最近學(xué)的什么知識?

生：冪函數(shù).

生：xn=a可以理解為y=xn的函數(shù)值為a.

師：能否從冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的角度考慮上面的結(jié)論.

生：如果n為正奇數(shù),易知y=xn為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點成中心對稱;如果n為正偶數(shù),則y=xn為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱.

圖3

圖4

設(shè)計意圖：課程標(biāo)準(zhǔn)中指出,直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)[2].這里借助冪函數(shù)的圖象與性質(zhì),讓學(xué)生從不同角度理解n次方根,突破本節(jié)課的重難點,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會利用圖象理解和解決數(shù)學(xué)問題,發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng),滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

師：哪個小組能總結(jié)一下?

設(shè)計意圖：“活動與體驗”是深度學(xué)習(xí)的核心特征,也是讓學(xué)生全身心投入知識發(fā)生發(fā)展過程的有效途徑.要想讓學(xué)生從被迫接受知識轉(zhuǎn)化為主動探求知識,就需要教師尋找合適的時機,為學(xué)生創(chuàng)造“活動”的機會,讓其切身經(jīng)歷n次方根性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程.

4.3 探究新知(二)

生：應(yīng)該可以.

師：能否推廣到一般情況?

(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);

(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);

(3)(ab)r=arbr(a>0,r∈Q).

4.4 總結(jié)提升

師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識?你有哪些收獲?你認(rèn)為接下來我們還可以研究什么?

設(shè)計意圖：回顧學(xué)習(xí)過程,揭示研究路徑,啟發(fā)學(xué)生思考,為接下來無理數(shù)指數(shù)冪的學(xué)習(xí)做鋪墊.

5 教學(xué)反思

深度學(xué)習(xí)應(yīng)關(guān)注不同學(xué)科之間、同學(xué)科內(nèi)部的相互滲透和交融,多以真實情境為起點展開教學(xué).從碳14的殘留量引入,體現(xiàn)了學(xué)科交融,也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用價值.從函數(shù)的觀點思考一個數(shù)的n次方根的情況,體現(xiàn)了學(xué)科內(nèi)知識的前后聯(lián)系,同時也有助于學(xué)生的進一步理解,發(fā)展了直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).深度學(xué)習(xí)應(yīng)突出深度思辨的思維指向,n次方根的性質(zhì)涉及到分類討論,學(xué)生在探究的過程中,經(jīng)歷了操作、猜想、思辨、聯(lián)想,這比知識本身更有價值,同時發(fā)展了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng),培養(yǎng)了學(xué)生實事求是、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度.