? 河南省汝州市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 遼寧師范大學(xué)教育學(xué)院 胡正波

“一題多解”是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與學(xué)習(xí)中比較常用的一種基本手段,更是高考復(fù)習(xí)中非常有效的一種教學(xué)方式.借助“一題多解”,可以有效引領(lǐng)復(fù)習(xí),夯實(shí)“四基”,進(jìn)而全面克服學(xué)生解題中的思維定勢(shì),有效發(fā)散數(shù)學(xué)的靈動(dòng)思維,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與創(chuàng)新性,這對(duì)復(fù)習(xí)備考是非常有益的.而借助“一題多解”,能更加充分體現(xiàn)學(xué)生對(duì)整體知識(shí)的理解掌握情況,以及更加靈活的應(yīng)用能力,也能更加有效地提升學(xué)生的“四能”,達(dá)到高效復(fù)習(xí)的最佳效益.

1 梳理整合知識(shí),構(gòu)建知識(shí)體系

借助“一題多解”策略進(jìn)行高考復(fù)習(xí)與教學(xué)分析,往往可以將不同知識(shí)體系中的知識(shí)點(diǎn)加以合理整合,構(gòu)建不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系,使知識(shí)點(diǎn)之間“點(diǎn)連成線、織成面、構(gòu)成體”,從而構(gòu)建一個(gè)更加和諧、完整的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系,對(duì)于知識(shí)的全面理解與掌握,以及知識(shí)的靈活應(yīng)用更加有效,從而提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

(2)若b=4,求△ABC面積的最大值．

結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,有

解法2(坐標(biāo)法)：以AC所在直線為x軸,AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,則A(-2,0),C(2,0).

(x-4)2+y2=12(y≠0).

感悟反思：在同一數(shù)學(xué)問題中滲透多個(gè)知識(shí)點(diǎn)是高考命題的基本指導(dǎo)思想,而解題時(shí)利用不同的知識(shí)點(diǎn)來求解,也是必然所在．解法1中通過二次函數(shù)知識(shí)來處理,解法2中通過解析幾何中的坐標(biāo)知識(shí)來處理,利用各自不同的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)加以切入與應(yīng)用,優(yōu)化解題過程,合理梳理并整合數(shù)學(xué)知識(shí),提高課堂效益．

2 發(fā)散數(shù)學(xué)思維,培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

借助“一題多解”策略進(jìn)行高考復(fù)習(xí)與教學(xué)分析,可開闊學(xué)生的眼界,形成知識(shí)的融會(huì)貫通,培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì),特別對(duì)于數(shù)學(xué)思維的變通性、靈活性、多樣性與創(chuàng)新性等可以起到非常好的拓寬與應(yīng)用效果,真正培育學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用．

例2〔福建省泉州市2023屆高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)(三)數(shù)學(xué)試卷·8〕已知向量a,b,c中,|a|=1,且滿足b·c=0,a·b=1,a·c=-1,則|b+c|的最小值為( ).

解法1：幾何意義法.

依題意并結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義,有AB⊥OA,DC⊥DO,OB⊥OC,如圖1所示.

圖1

圖1

解法2：坐標(biāo)法.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)向量a=(1,0),b=(x1,y1),c=(x2,y2),如圖2所示,

因?yàn)閍·b=1,a·c=-1,b·c=0,所以x1=1,x2=-1,x1x2+y1y2=0,即y1y2=1.

感悟反思：波利亞曾說過,掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題．抓住問題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì),從不同數(shù)學(xué)思維視角來切入與展開,是“一題多解”策略與應(yīng)用的關(guān)鍵．解法1從幾何思維切入,回歸平面向量“形”的幾何特征,從數(shù)形結(jié)合視角進(jìn)行直觀想象,解決起來更加直觀簡(jiǎn)捷;解法2從代數(shù)思維切入,根據(jù)平面向量的“數(shù)”的結(jié)構(gòu)屬性,通過平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建,合理引入平面向量的坐標(biāo),利用平面向量中的相關(guān)要素,轉(zhuǎn)化為涉及坐標(biāo)的函數(shù)、方程或不等式等,進(jìn)而從代數(shù)視角來數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理．

3 提升變形能力,培育邏輯推理

借助“一題多解”策略進(jìn)行高考復(fù)習(xí)與教學(xué)分析,關(guān)注對(duì)問題的深入挖掘、深度學(xué)習(xí)與研究,對(duì)數(shù)學(xué)變形能力和推理有著較高的要求,結(jié)合不同的變形方向與縱深思維,展開不同的邏輯推理與解題應(yīng)用,這對(duì)于邏輯推理素養(yǎng)的形成是非常有效的,也對(duì)推理能力的提升有很大的幫助.

例3(2023屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研數(shù)學(xué)試卷·8)在數(shù)列{an}中,a1=1,其前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)任意正整數(shù)n,有Sn+1=-3an+1+an+3,且滿足Sn+an>(-1)na,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

解法1：整體構(gòu)建法.

令bn=Sn+an,則bn+1=Sn+1+an+1.由Sn+1=-3an+1+an+3,可得Sn+1=-2an+1-(Sn+1-Sn)+an+3,即2(Sn+1+an+1)=(Sn+an)+3,所以2bn+1=bn+3,即2(bn+1-3)=bn-3.

解法2：分層構(gòu)建法(這里從略,可掃碼閱讀)

感悟反思：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式來分析,利用對(duì)應(yīng)數(shù)列的構(gòu)建來求解相應(yīng)的數(shù)列通項(xiàng)公式是解決問題的關(guān)鍵,也是最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)．解法1利用整體構(gòu)建相關(guān)的數(shù)列來變形,解法2利用分層構(gòu)建相關(guān)的數(shù)列來變形,進(jìn)而利用對(duì)應(yīng)數(shù)列的轉(zhuǎn)化來分析與解決問題．在處理數(shù)列相關(guān)問題中,要挖掘問題本質(zhì),根據(jù)題設(shè)條件或所求結(jié)論加以合理變形與轉(zhuǎn)化,通過概念、性質(zhì)、公式等的應(yīng)用,優(yōu)化解題,提升效益．

其實(shí),借助“一題多解”合理引領(lǐng)并指導(dǎo)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)以及針對(duì)性的復(fù)習(xí)備考,對(duì)教師自身的能力與水平提出了更高的要求,需要教師進(jìn)行集體備課,整合團(tuán)隊(duì)的力量,更加有效地研究教材、考綱、考題等,進(jìn)而有針對(duì)性地制定更加行之有效的教學(xué)目標(biāo),合理精選精編教學(xué)中的素材與典例,多學(xué)習(xí)、多思考、多研究、多探尋,平時(shí)要勤于實(shí)踐和反思,在深度理解與深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上開展教學(xué)與復(fù)習(xí);同時(shí)要注意教師之間、備課組等的協(xié)同合作．