劉曉迪

(江南大學(xué) 輕工過(guò)程與先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無(wú)錫 214122)

0 引言

非線性在各種實(shí)際系統(tǒng)中廣泛存在，這給穩(wěn)定性分析和合成帶來(lái)了更多的困難和復(fù)雜性。T-S模糊模型作為一種非常典型的復(fù)雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模糊模型，通過(guò)使用“IF-THEN”規(guī)則，將復(fù)雜的非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不同的小線段上的問(wèn)題，從而使得復(fù)雜的非線性系統(tǒng)更容易被分析。T-S模糊模型已經(jīng)成為處理非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及控制器綜合的強(qiáng)有力工具，且已被成功應(yīng)用于多種實(shí)際控制問(wèn)題中，如汽車(chē)的防抱死制動(dòng)系統(tǒng)與主動(dòng)懸架系統(tǒng)的集成控制[1]、攪拌反應(yīng)釜系統(tǒng)的性能控制[2]、主從式機(jī)器人的適應(yīng)性的增強(qiáng)[3]等。

然而目前關(guān)于T-S模糊的研究大都集中在李亞普諾夫漸近穩(wěn)定性上，漸近穩(wěn)定只能夠確保系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能良好，但是系統(tǒng)中的某些暫態(tài)性能卻未能體現(xiàn)。在實(shí)踐中，系統(tǒng)在有限時(shí)間間隔內(nèi)的行為也非常重要。文獻(xiàn)[4]引入有限時(shí)間概念，并提出了一個(gè)有限時(shí)間的控制器設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)。此后，許多學(xué)者參與T-S模糊系統(tǒng)有限時(shí)間問(wèn)題的研究[5-8]，研究有限時(shí)間控制具有很重要的實(shí)際意義。

但上述文獻(xiàn)控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中，其狀態(tài)向控制器的傳輸通常是連續(xù)的。在某些情況下，當(dāng)控制目標(biāo)實(shí)現(xiàn)時(shí)，無(wú)需在保持系統(tǒng)性能時(shí)依舊每次都傳輸狀態(tài)，從而造成冗余傳輸，這就導(dǎo)致了資源的浪費(fèi)和低效率。造成這一缺點(diǎn)的主要原因是，更新頻率是由采樣周期決定的，通常假設(shè)采樣周期是一個(gè)較小的值，與系統(tǒng)狀態(tài)無(wú)關(guān)。因此，大量的冗余信息將被傳輸和更新。為了解決這一問(wèn)題，文獻(xiàn)[9]提出了一種事件觸發(fā)控制方案，有效地減少傳輸資源。近年來(lái)，人們對(duì)事件觸發(fā)機(jī)制下的T-S模糊系統(tǒng)分析和控制做了大量的工作[10-13]。但是，其檢測(cè)機(jī)制的被動(dòng)性決定了其必須實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)觸發(fā)條件，會(huì)增大系統(tǒng)的執(zhí)行代價(jià)。而自觸發(fā)控制是根據(jù)當(dāng)前的狀態(tài)測(cè)量值，計(jì)算出控制律的下一個(gè)更新時(shí)刻，進(jìn)一步節(jié)省資源。自觸發(fā)控制也因此得到了越來(lái)越多的關(guān)注[14-18]。文獻(xiàn)[19]利用事件觸發(fā)控制和自觸發(fā)控制實(shí)現(xiàn)線性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定。文獻(xiàn)[20]利用T-S模糊模型針對(duì)一類(lèi)開(kāi)關(guān)非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種事件觸發(fā)通信方案，討論了其有限時(shí)間耗散控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[21]研究了一種在多頻率范圍限制下的馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的自觸發(fā)有限時(shí)間控制策略。

事件觸發(fā)控制都需要事件觸發(fā)器實(shí)時(shí)監(jiān)控系統(tǒng)狀態(tài)和測(cè)量誤差。這在有些情況下很難實(shí)現(xiàn)且會(huì)造成額外計(jì)算資源損耗。因此有必要研究自觸發(fā)控制。同時(shí)，關(guān)于T-S模糊系統(tǒng)通過(guò)自觸發(fā)策略實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間控制的文獻(xiàn)非常稀少，這激發(fā)了我們的研究興趣。

基于以上討論，本文研究T-S模糊系統(tǒng)的自觸發(fā)有限時(shí)間H∞控制問(wèn)題。主要貢獻(xiàn)為：

針對(duì)T-S模糊系統(tǒng)引入一種自觸發(fā)方案，考慮參數(shù)不確定性和有界干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，結(jié)合所提出的自觸發(fā)機(jī)制，建立了一個(gè)基于自觸發(fā)機(jī)制的連續(xù)時(shí)間T-S模糊系統(tǒng)模型。較事件觸發(fā)方案而言，自觸發(fā)方案不需要額外的硬件來(lái)監(jiān)測(cè)觸發(fā)條件，合理地減少計(jì)算資源及額外硬件資源?？紤]有限時(shí)間間隔內(nèi)的行為，使系統(tǒng)狀態(tài)在固定的有限時(shí)間間隔內(nèi)不超過(guò)一定界限的同時(shí)滿(mǎn)足所期望的H∞性能指標(biāo)。同時(shí)本文所提到的自觸發(fā)機(jī)制避免了芝諾行為的發(fā)生，并且提供理論證明。

1 問(wèn)題描述

考慮如下連續(xù)時(shí)間非線性系統(tǒng)：

(1)

其中：x(t)為系統(tǒng)狀態(tài)，u(t)為控制輸入，引入一個(gè)已知的非線性函數(shù)f(x(t))來(lái)描述其非線性特性。通過(guò)采用模糊理論的方法將上述非線性系統(tǒng)(1)用以下具有第i條模糊規(guī)則的T-S模糊模型來(lái)逼近，其第i條規(guī)則描述的系統(tǒng)模型為：

Plant rulei：

ifξ1(t) isMi1，and … andξn(t) isMin，then

(2)

其中：ξ1，…，ξp為前件變量，x(t)∈nx為系統(tǒng)狀態(tài)，u(t)∈nu為控制輸入，ω(t)∈nω為外部擾動(dòng)且滿(mǎn)足條件ωT(t)ω(t)dt≤W。Ai、Bi、Ci、Di及Gi是適當(dāng)維數(shù)的系數(shù)矩陣。r是規(guī)則數(shù)量，Mij是模糊集，ΔAi(t)，ΔBi(t)是系統(tǒng)矩陣中的不確定時(shí)變參數(shù)，滿(mǎn)足如下形式：

[ΔAi(t)ΔBi(t)]=[HF(t)(E1iE2i)]

i=1，2，…，r

(3)

其中：H，E1i，E2i，i=1，2，…，r是已知的具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)實(shí)矩陣，F(xiàn)(t)是滿(mǎn)足F(t)F(t)T≤I的非線性時(shí)變矩陣函數(shù)，其中I表示適當(dāng)位數(shù)的單位矩陣。則該T-S模糊系統(tǒng)的整體模型為：

(4)

不同于事件觸發(fā)控制，自觸發(fā)控制提供了一種靈活的周期調(diào)整方式。如圖1所示，該機(jī)制根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)知識(shí)和當(dāng)前觸發(fā)時(shí)刻的狀態(tài)信息在自觸發(fā)機(jī)制中計(jì)算下一觸發(fā)時(shí)刻，并且狀態(tài)反饋控制器只與當(dāng)前觸發(fā)時(shí)刻的系統(tǒng)信息x(tk)有關(guān)。也就是說(shuō)，只有在觸發(fā)時(shí)刻控制律才會(huì)更新，從而產(chǎn)生比事件觸發(fā)控制更長(zhǎng)的任務(wù)周期。

圖1 自觸發(fā)機(jī)制原理圖

因此，利用并行分布補(bǔ)償方法，設(shè)計(jì)具有如下規(guī)則的狀態(tài)反饋控制器：

Plant rulei：

ifξ1(t) isMj1and … andξn(t) isMjn，

thenu(t)=Kjx(tk)，?t∈ [tk，tk+1)

(5)

式中，Kj為局部反饋控制增益矩陣，tk是當(dāng)前觸發(fā)時(shí)刻，tk+1是下一觸發(fā)時(shí)刻，x(tk)是當(dāng)前觸發(fā)時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)。模糊控制器的總體模型為：

(6)

定義e(t)為誤差，且

e(t)=x(tk)-x(t)

(7)

(8)

本文所涉及定義及引理較多，為方便下文討論，在此先給出介紹。

定義1 ：對(duì)于給定的常數(shù)c1，c2，T(c1

xT(0)Rx(0)≤c1?xT(t)Rx(t)≤c2，?t∈[0，T]

(9)

則自觸發(fā)閉環(huán)系統(tǒng)(8)是(c1，c2，T，R，W)有限時(shí)間穩(wěn)定的。

定義2 ：對(duì)于給定的常數(shù)c1，c2，T(c1

xT(0)Rx(0)≤c1?xT(t)Rx(t)≤c2，?t∈[0，T]

(10)

則自觸發(fā)閉環(huán)系統(tǒng)(8)是(c1，c2，T，R，W)有限時(shí)間有界。

定義3：給定參數(shù)00，W>0及正定矩陣R，若系統(tǒng)(8)有限時(shí)間有界且滿(mǎn)足零初始條件下：

(11)

則系統(tǒng)(8)關(guān)于(c1，c2，T，R，W)有限時(shí)間有界且同時(shí)滿(mǎn)足所期望的干擾抑制水平γ。

引理1：對(duì)給定的適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y，H，E，其中Y是對(duì)稱(chēng)矩陣，F(xiàn)滿(mǎn)足FTF≤I，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)β>0，使得Y+βHHT+β-1EET<0成立時(shí)，有Y+HFE+ETFTHT<0。

引理2 ：對(duì)于任意適維實(shí)矩陣X，Y和任意正標(biāo)量λ>0，下列不等式成立：

XTY+YTX≤λXTX+λ-1YTY

注：前文提到的有限時(shí)間穩(wěn)定與通常意義下李雅普諾夫穩(wěn)定是截然不同的概念。有限時(shí)間穩(wěn)定是指在一個(gè)有限的時(shí)間區(qū)間范圍，系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡始終能保持在預(yù)先給定的界限，它注重研究的是系統(tǒng)的暫態(tài)性能。

2 主要成果

自觸發(fā)控制系統(tǒng)的核心通常包括一個(gè)反饋控制器和一個(gè)預(yù)測(cè)何時(shí)傳輸數(shù)據(jù)和更新控制信號(hào)的觸發(fā)器。觸發(fā)器決定傳輸數(shù)據(jù)之前，兩個(gè)觸發(fā)間隔之間的控制信號(hào)沿用上一觸發(fā)時(shí)刻的控制信號(hào)保持不變，即在此期間不進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸和控制信號(hào)的更新以達(dá)到節(jié)約通信資源的目的。然而由于觸發(fā)器的存在，使自觸發(fā)控制下的閉環(huán)系統(tǒng)是一個(gè)同時(shí)具有連續(xù)和離散特征的混合系統(tǒng)，這勢(shì)必會(huì)增大對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的難度。

本文主要針對(duì)不確定T-S模糊系統(tǒng)進(jìn)行基于自觸發(fā)機(jī)制下有限時(shí)間的干擾魯棒控制研究，研究主要分為兩步：

1) 針對(duì)不確定T-S模糊系統(tǒng)(4)引入自觸發(fā)機(jī)制，主要任務(wù)為設(shè)計(jì)并推導(dǎo)自觸發(fā)間隔函數(shù)，使其僅根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前采樣信息決定下一個(gè)執(zhí)行時(shí)刻以減少通訊及計(jì)算資源的占用。并針對(duì)不同的模糊子系統(tǒng)設(shè)計(jì)不同的觸發(fā)閾值、觸發(fā)矩陣，顯著提高了設(shè)計(jì)的靈活性，有效地減輕了通信負(fù)擔(dān)，直接反映了模糊模型的結(jié)構(gòu)特征。

2) 設(shè)計(jì)模糊反饋控制器，結(jié)合H∞理論、有限時(shí)間有界思想，使得自觸發(fā)閉環(huán)控制系統(tǒng)(8) 具有一個(gè)給定的有限時(shí)間H∞性能，且保證系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡不會(huì)超過(guò)一定的界限。

2.1 自觸發(fā)機(jī)制

在事件觸發(fā)控制策略中，常常定義一個(gè)事件觸發(fā)函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)事件觸發(fā)函數(shù)滿(mǎn)足一定條件時(shí)事件觸發(fā)/發(fā)生，此時(shí)更新采樣值。但是對(duì)于此條件的檢測(cè)往往是需要額外硬件設(shè)備進(jìn)行持續(xù)檢測(cè)的。

與事件觸發(fā)控制相比，自觸發(fā)控制是指系統(tǒng)或設(shè)備通過(guò)內(nèi)部機(jī)制來(lái)執(zhí)行某些操作，不需要外部的觸發(fā)信號(hào)或指令。此控制方式的一個(gè)基本要求是如何設(shè)計(jì)觸發(fā)間隔函數(shù)τ(x(tk))。通過(guò)表達(dá)式tk+1=τ(x(tk))+tk預(yù)測(cè)下一觸發(fā)時(shí)刻，從而降低控制的實(shí)現(xiàn)成本。

引入下列觸發(fā)條件(12)，Φi為第i條模糊規(guī)則下待求的觸發(fā)參數(shù)矩陣，0<εi≤1為第i條模糊規(guī)則下對(duì)應(yīng)的觸發(fā)系數(shù)。

eT(t)Φie(t)≥εixT(t)Φix(t)

(12)

定理1：對(duì)于給定參數(shù)β及觸發(fā)系數(shù)εi，且滿(mǎn)足1-εi(1-β-1)>0，則自觸發(fā)控制系統(tǒng)的觸發(fā)間隔函數(shù)表達(dá)式如下：

(13)

其中：

(14)

(15)

若在時(shí)間間隔 [tk，tk+1) 系統(tǒng)沒(méi)有觸發(fā)，由事件觸發(fā)條件(12)結(jié)合式(7)可知下式成立：

eT(t)Φie(t)<εixT(t)Φix(t)<

εi[xT(tk)-eT(t)]Φi[x(tk)-e(t)]<

εixT(tk)Φix(tk)+εieT(t)Φie(t)-

εieT(tk)Φix(tk)-εixT(tk)Φie(tk)

(16)

結(jié)合引理2，有：

eT(t)Φie(t)<εi(1-β-1)eT(tk)Φie(tk)+

εi(1-β)xT(tk)Φix(tk)

(17)

不等式(17)可以寫(xiě)為：

故系統(tǒng)觸發(fā)時(shí)應(yīng)該滿(mǎn)足以下條件：

(18)

結(jié)合不等式(15)、(18)，可得：

(19)

(20)

對(duì)不等式(20)兩邊取對(duì)數(shù)，則可得到自觸發(fā)間隔函數(shù)關(guān)系式(13)，證畢。

此外，從自觸發(fā)間隔函數(shù)關(guān)系式(13)可以得出：

(21)

Zeno行為是事件驅(qū)動(dòng)函數(shù)-段時(shí)間內(nèi)被無(wú)限次數(shù)觸發(fā)，排除芝諾行為是事件驅(qū)動(dòng)機(jī)制可以使用的重要前提條件。

2.2 自觸發(fā)有限時(shí)間H∞性能分析

在實(shí)際工業(yè)過(guò)程中，除了系統(tǒng)在無(wú)限時(shí)間內(nèi)的穩(wěn)態(tài)性能外，有時(shí)暫態(tài)性能尤其重要。實(shí)際上，如果一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)具有較壞的暫態(tài)性能，比如震蕩劇烈、反應(yīng)遲緩等，將會(huì)造成很壞的影響，從而無(wú)法滿(mǎn)足工業(yè)過(guò)程的應(yīng)用要求?；谶@種情況的存在使得在有限時(shí)間內(nèi)約束系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡成為必要。

本節(jié)將自觸發(fā)條件與H∞理論相結(jié)合，同時(shí)考慮有限時(shí)間穩(wěn)定。對(duì)自觸發(fā)閉環(huán)系統(tǒng)(8)進(jìn)行H∞性能分析，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到定理2、定理3。

定理2：如果對(duì)于給定參數(shù)0<εi≤1，00，W>0，T>0和適維矩陣R，存在實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣P>0，自觸發(fā)參數(shù)矩陣Φi>0，以及控制器增益Kj使下列線性矩陣不等式成立，則自觸發(fā)控制系統(tǒng)(8)關(guān)于(c1，c2，T，R，W)有限時(shí)間有界且滿(mǎn)足期望的H∞性能。

(22a)

(22b)

(22c)

證明：取李亞普諾夫函數(shù)為：

(23)

ζ=[xT(t)eT(t)ωT(t)]不等式(23)可以寫(xiě)為：

ζT+αV(x(t))+eT(t)Φie(t)-

εixT(t)Φix(t)+γ2ωT(t)ω(t)

(24)

利用引理4對(duì)不等式(22a)進(jìn)行變形，可得：

(25)

由不等式(22)、(23)，可得如下條件：

(26)

對(duì)上式兩邊同乘e-αt，則有：

d(e-αtV)/dt

(27)

對(duì)于?t∈[0，T]，如下不等式成立：

(28)

同時(shí)我們有：

(29)

結(jié)合(28)、(29)兩式，可得：

(30)

顯然，由式(30)可看出，對(duì)于?t∈[0，T]，xT(t)Rx(t)

定義ξ=[xT(t)eT(t)ωT(t)zT(t)]

εixT(t)Φix(t)-γ2ωT(t)ω(t)+zT(t)z(t)

(31)

結(jié)合式(22a)、式(31)以及觸發(fā)條件(13)，可以得到：

對(duì)上式左右兩邊同乘e-αt，并取0到T積分，得到如下不等式：

則有：

(32)

由定義3可知，上述不等式成立可確保自觸發(fā)控制系統(tǒng)(8)關(guān)于(c1，c2，T，R，W)有限時(shí)間有界且滿(mǎn)足所期望的H∞性能。

定理2給出的矩陣不等式(22a)～(22c)并不是嚴(yán)格意義上的線性矩陣不等式，在編程工具中無(wú)法直接求解。

線性矩陣不等式的求解可轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題的求解，自1988 年Nesterov和Nemirovski提出內(nèi)點(diǎn)法，并直接用以求解具有線性矩陣不等式約束的凸優(yōu)化問(wèn)題，使得求解線性矩陣不等式成為處理控制問(wèn)題的一種有效手段。將上述不等式進(jìn)行處理，得到定理3。

Ψii<0，i=1，2，…，r

(33a)

Ψij+Ψji<0，i

(33b)

(33c)

(33d)

(β1+β2)HHT

證明：

(34)

結(jié)合(2)式及引理1，不等式(34)等價(jià)于下式：

上式等價(jià)于：

(35)

同理，利用引理1對(duì)參數(shù)不確定項(xiàng)進(jìn)行上述處理，結(jié)合引理2。令Yj=KjQ可得：

顯然，上式等價(jià)于下式

(36)

從而式(33a)、(33b)成立。由前述李亞普諾夫函數(shù)的定義可知：

λmaxxT(t)Rx(t)≤V(x(t))≤λminxT(t)Rx(t)

(37)

(38)

即式(33c)成立，條件(22c)舒爾補(bǔ)化簡(jiǎn)可得式(33d)成立，證畢。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證所建立的模糊控制器以及所設(shè)計(jì)的自觸發(fā)方案的有效性，通過(guò)數(shù)值仿真說(shuō)明了該方法的可行性，單連桿剛性機(jī)器人系統(tǒng)驗(yàn)證自觸發(fā)機(jī)制及控制器在實(shí)踐中的有效性。

數(shù)值仿真：

考慮以下具有狀態(tài)量化的T-S模糊系統(tǒng)：

兩條模糊規(guī)則下的系統(tǒng)參數(shù)矩陣如下：

不確定參數(shù)ΔAi(t)ΔBi(t)滿(mǎn)足(3)式定義，選取

求解把不等式(33a)～(33d)，可以得到一系列可行解：

K1=[-6.849 -5.856]K2=[-7.883 -5.518]

仿真結(jié)果及分析：

圖2為T(mén)-S模糊系統(tǒng)開(kāi)環(huán)狀態(tài)軌跡圖。c1為有限時(shí)間有界的下界，c2為有限時(shí)間有界的上界，根據(jù)有限時(shí)間有界的定義，規(guī)定系統(tǒng)初始狀態(tài)在c1界內(nèi)，在一個(gè)有限的時(shí)間區(qū)間范圍，系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡始終能夠保持在預(yù)先給定的界限內(nèi)。從圖2可以看出，當(dāng)系統(tǒng)無(wú)控制輸入時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡超出所給的界限。圖3為T(mén)-S模糊系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)軌跡圖。對(duì)比兩圖可知，在控制作用下，T-S模糊系統(tǒng)能夠達(dá)到有限時(shí)間有界，這也說(shuō)明所設(shè)計(jì)的控制器的有效性。

圖2 T-S模糊系統(tǒng)開(kāi)環(huán)狀態(tài)軌跡圖

圖3 T-S模糊系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)軌跡圖

圖4為自觸發(fā)機(jī)制作用時(shí)所產(chǎn)生的觸發(fā)間隔圖。通常周期觸發(fā)方式是以一個(gè)固定時(shí)間周期進(jìn)行系統(tǒng)觸發(fā)，這種方式就會(huì)使控制器增益按照此時(shí)間周期頻繁觸發(fā)。由圖4可知，觸發(fā)間隔均大于0，避免了芝諾行為的發(fā)生，并且可以看到t=5 s時(shí)，觸發(fā)間隔達(dá)到0.25 s并保持此值進(jìn)行觸發(fā)。

圖4 自觸發(fā)時(shí)間間隔圖

一方面，由圖5得知，此時(shí)控制器增益u接近于0，此時(shí)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，觸發(fā)時(shí)刻不變。假設(shè)以最小觸發(fā)間隔為周期觸發(fā)間隔，可以看到，在系統(tǒng)穩(wěn)定后，觸發(fā)間隔可以達(dá)到最初的8倍左右，所設(shè)計(jì)的自觸發(fā)機(jī)制可以節(jié)約80.2%的資源。

圖5 控制器增益變化圖

另一方面，結(jié)合圖4和圖5，系統(tǒng)控制器增益的變化與觸發(fā)頻率呈現(xiàn)正相關(guān)趨勢(shì)。這也與自觸發(fā)機(jī)制自身的設(shè)計(jì)理念相吻合，模糊控制器的更新只與觸發(fā)時(shí)刻的狀態(tài)變量有關(guān)。可以看出，當(dāng)系統(tǒng)頻繁觸發(fā)時(shí)，控制器增益數(shù)值變化率大，當(dāng)控制器增益變化較小時(shí)，觸發(fā)頻率也相應(yīng)減小，觸發(fā)間隔增大。通過(guò)以上分析，可以說(shuō)明所設(shè)計(jì)的自觸發(fā)機(jī)制在資源利用率上更具有優(yōu)勢(shì)。

實(shí)例仿真：

單連桿剛性機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程如下[4]：

Plant Rule 1：

ifx1is about 0， then

Plant Rule 2：

其中：

受控輸出方程參數(shù)選?。?/p>

不確定參數(shù)ΔAi(t)ΔBi(t)滿(mǎn)足(3)式定義，選取

本實(shí)驗(yàn)的控制目標(biāo)是在系統(tǒng)參數(shù)不確定并且存在外部干擾的情況下，設(shè)計(jì)一個(gè)自觸發(fā)機(jī)制及模糊控制器使得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡在有限時(shí)間內(nèi)不會(huì)超過(guò)一定的界限，保證了系統(tǒng)的暫態(tài)性能。經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，同時(shí)保證系統(tǒng)滿(mǎn)足所期待的H∞性能指標(biāo)。設(shè)計(jì)該機(jī)制能夠使得系統(tǒng)無(wú)需依賴(lài)外部硬件設(shè)備對(duì)觸發(fā)條件進(jìn)行持續(xù)監(jiān)測(cè)，節(jié)約硬件資源與計(jì)算資源。

利用Matlab軟件的線性矩陣不等式工具，求解(33a)～(33d)，得到如下控制器增益及自觸發(fā)參數(shù)矩陣：

K1=[-0.5830 -0.5117]

K2=[-0.6882 -0.3978]

將有限時(shí)間控制器增益和所提出的自觸發(fā)策略以及求解所得的自觸發(fā)參數(shù)矩陣應(yīng)用到系統(tǒng)(8)中，來(lái)驗(yàn)證所提方法的有效性。

圖6、圖7分別為參數(shù)不確定的T-S模糊系統(tǒng)開(kāi)環(huán)、閉環(huán)狀態(tài)軌跡圖。對(duì)比兩圖可知，在所設(shè)計(jì)的自觸發(fā)機(jī)制下，施加控制作用的單連桿剛性機(jī)器人系統(tǒng)是滿(mǎn)足有限時(shí)間有界且滿(mǎn)足期望的性能水平。在一些活動(dòng)范圍受限、執(zhí)行動(dòng)作精度較高的情況下，其狀態(tài)軌跡在有限時(shí)間內(nèi)不超過(guò)一定的界限，這證明了該方法的可用性。而開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中其運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)超過(guò)所規(guī)定的界限c2。

圖6 單連桿剛性機(jī)器人系統(tǒng)開(kāi)環(huán)狀態(tài)軌跡圖

圖7 單連桿剛性機(jī)器人系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)軌跡圖

圖8為系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)響應(yīng)圖，圖9為觸發(fā)間隔圖?？梢园l(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)在性能較差時(shí)，自觸發(fā)機(jī)制頻繁工作，觸發(fā)間隔較小。隨著系統(tǒng)穩(wěn)定性提高，觸發(fā)間隔不斷增大，觸發(fā)次數(shù)減少。從圖5中可以看出，當(dāng)時(shí)間在80 s后，觸發(fā)間隔可以達(dá)到2 s以上，使得系統(tǒng)觸發(fā)頻率不斷降低，假設(shè)以最初觸發(fā)間隔0.7 s為恒定采樣周期，可以得出此方法可以節(jié)省35%的資源占用，這也進(jìn)一步證明了所設(shè)計(jì)的自觸發(fā)機(jī)制能夠提高資源利用率。

圖8 單連桿剛性機(jī)器人系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)響應(yīng)圖

4 結(jié)束語(yǔ)

為了減少通信資源的浪費(fèi)，針對(duì)不確定性T-S模糊系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種自觸發(fā)機(jī)制。利用觸發(fā)周期不固定的特性，在能夠保障穩(wěn)定性的前提下，實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的能耗優(yōu)化。自觸發(fā)機(jī)制裝載在系統(tǒng)內(nèi)部，無(wú)需額外硬件設(shè)備接收觸發(fā)信號(hào)。同時(shí)考慮外部有界干擾的存在，設(shè)計(jì)只與觸發(fā)時(shí)刻狀態(tài)有關(guān)的模糊控制器，推導(dǎo)了保證具有期望H∞性能水平的T-S模糊系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件。通過(guò)求解一組LMI，同時(shí)獲得了有限時(shí)間H∞控制器的狀態(tài)反饋增益及自觸發(fā)參數(shù)矩陣。最后通過(guò)數(shù)值仿真及實(shí)例仿真，驗(yàn)證了所建立的模糊控制器以及所設(shè)計(jì)的自觸發(fā)方案的有效性。