黃心馨

中國珠算博物館“鎮(zhèn)館之寶”：紫檀大算盤

從古至今，數(shù)學(xué)在我們的生活中發(fā)揮著不可替代的作用?；赝麣v史，我們的祖先就已經(jīng)發(fā)明了巧妙的計量與計算的工具和方法，并在使用的過程中隨著需求的變化和適用范圍的擴大而不斷改進。從考古發(fā)現(xiàn)和歷史文獻記載中，可以窺見古人的數(shù)學(xué)智慧。

數(shù)學(xué)與算籌

在中國歷史上，較早出現(xiàn)的一種計量工具稱為“算籌”，與之對應(yīng)的計算方法名為“籌算”。從考古發(fā)現(xiàn)可以得知，算籌在漢代就已經(jīng)應(yīng)用于當(dāng)時人們的生活中。

算籌的形制是一根根長短、粗細相同的長條，材質(zhì)多為竹子，也有象牙、骨、金屬等。從不同時期的歷史文獻記載和考古發(fā)現(xiàn)中，我們可以看到算籌的長度、數(shù)量的變化。

為了方便使用，算籌的長度由長變短。在西漢時期的出土文物中，算籌的長度多為六漢寸，換算成現(xiàn)代的計量單位為13厘米左右。如廣州南越王墓的象牙籌、陜西千陽的西漢骨籌，長度均約六漢寸。在西漢時期桓寬所著的《鹽鐵論·卷四》中，記載了西漢算籌的長度規(guī)格，即“運之六寸，轉(zhuǎn)之息耗”?！尔}鐵論》是西漢時期較為客觀地記錄統(tǒng)治階級內(nèi)部當(dāng)權(quán)派和非當(dāng)權(quán)派關(guān)于國家的財政、經(jīng)濟、外交、文化等大政方針問題爭論的著作，其中所提到的，一定程度上能夠代表當(dāng)時算籌的常規(guī)形制。到了東漢時期，算籌的長度減少到四漢寸，也就是9厘米左右。河北石家莊東漢墓所出土的算籌，長度已不到四漢寸，這樣更容易拿取和收納。東漢著名的數(shù)學(xué)著作《數(shù)術(shù)記遺》中，記錄了14種算法，籌算（積算）為其中之一，書中注說算籌“長四寸”；到了隋代，在《隋書·律歷志》中，則記載“其算用竹，廣二分，長三寸”，反映出算籌長短的變化。

象牙算籌（圖片來源：陜西歷史博物館）

神禾原秦陵出土紅白籌及黑籌

算籌整套的數(shù)量也經(jīng)歷了由多到少的變化。在《漢書·律歷志》中有記載，一套算籌共271根，一套也叫“一握”。而到了元代著作《湛然居士集》中，一套算籌只有91根。整套的算籌能夠被收納在一個長橢圓形的袋子中，名為算袋。算袋的樣子酷似墨魚，在唐代段成式所著的筆記小說集《酉陽雜俎》中，有一段與墨魚相關(guān)的文學(xué)創(chuàng)作，內(nèi)容為“昔秦皇東游，棄算袋于海，化為此魚”。還有記載，唐代官員會在腰間的革帶上佩戴算袋。

可以看出，算籌長度的縮減、數(shù)量的減少是古人在使用過程中根據(jù)需要和使用方便而不斷改進的結(jié)果。

數(shù)學(xué)與算盤

算盤是中國人更為熟悉的一種計算工具。與算盤相對應(yīng)的運算技術(shù)——珠算，也有著悠久的歷史。在《數(shù)術(shù)記遺》中，就出現(xiàn)了“珠算”一詞——“珠算，控帶四時，經(jīng)緯三才”。北周數(shù)學(xué)家甄鸞對原文進行了注解：“刻板為三分，其上下二分以停游珠，中間分以定算位。位各五珠，上一珠與下四珠色別，其上別色之珠當(dāng)五，其下四珠，珠各當(dāng)一?！贝藭r的珠算，是作為籌算時的輔助工具出現(xiàn)的，這種工具目前未見實物流傳，但從古籍的描述中可以推測，日后真正意義上的算盤的出現(xiàn)與其頗有淵源。

在宋代，已經(jīng)可見算盤的身影。在我們熟知的《清明上河圖》中，有一處“趙太丞家”的場景，在其正對門的柜子上，擺放著一個長方形的分檔之物，形似算盤。此外，1921年河北邢臺宋巨鹿故城曾出土類似算盤珠的物件。有文獻記載，元代的詩詞和著作中 ，“算盤”一詞已多有出現(xiàn)，如劉因的《算盤詩》、劉君錫的《龐居士誤放來生債》等。如果說宋元時期仍處于由算籌到算盤演變的過渡時期，那么到了明代，以算盤為計算工具的珠算就可以說較為普遍了。明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》，就是一本以算盤為主要計算工具、以珠算為主要計算方法的應(yīng)用型中國古代數(shù)學(xué)論著。這部著作描述了算盤的用法，在書中提供了算盤學(xué)習(xí)圖示，為算盤的實際使用和推廣提供了便利。此外，這部著作還完善了珠算的運算法則，并整理了大量運算口訣，被認為是完成了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)由籌算向珠算過渡的標志性著作。

珠算使用的算盤

“見簡即用，見繁即變”的智慧

從籌算到珠算，體現(xiàn)著古人一以貫之的數(shù)學(xué)思維，以及在生活實踐中積累的數(shù)學(xué)智慧。“籌算”一詞除了代表著古代的一種運算方法，在古代漢語中還有著“計謀”“謀略”的意思，以“籌”字所組的詞語也多有智慧的含義，如運籌帷幄、略勝一籌、拔得頭籌等?？梢?，從字源含義來看，籌算方法自產(chǎn)生之日起就深刻影響著人們生活的各個方面，精巧的算籌，蘊含著古人在生活中的大智慧。運算過程中，一般不會留下書面的計算痕跡。在擺放算籌時，遵循縱橫相間的規(guī)則，如《孫子算經(jīng)》中所記錄的：“凡算之法，先識其位。一從十橫，百立千僵。千十相望，萬百相當(dāng)?！?/p>

籌算使用的是十進制的運算法則?！秾O子算經(jīng)》中記錄了籌算的計數(shù)法和乘法、除法的運算規(guī)則，均在三行里演算。如在乘法運算中，一個乘數(shù)置于上層，另一個乘數(shù)置于下層，所得的積記于中層；在除法運算中，被除數(shù)位于中層，除數(shù)位于下層，所得的商記于上層。后來，在長期的使用過程中，籌算的方法逐漸簡化，變?yōu)槟軌蛟谝粋€橫行里演算的做法。

成書于漢代的數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》影響著后來以算盤為計算工具的珠算?！毒耪滤阈g(shù)》中記錄了開平方和開立方的具體方法，雖然其成書的年代算盤還沒有出現(xiàn)，但書中記錄的開方方法，每一個數(shù)位都可以對應(yīng)算盤上的每一檔，一則說明漢代數(shù)學(xué)算力的優(yōu)秀，一則也可以看出從算籌到算盤的發(fā)展，是古人數(shù)學(xué)智慧的延續(xù)。

在古代，復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題能夠在算籌和算盤上被化為簡單的運算法則。北宋時期著名的科學(xué)家沈括在其著作《夢溪筆談》中，提出了算數(shù)當(dāng)化繁為簡的思想，他認為“然算術(shù)不患多學(xué)，見簡即用，見繁即變，不膠一法，乃為通術(shù)也”。這樣的思想也使數(shù)學(xué)計算方法和計算工具不斷改進，“九歸口訣”和“撞歸口訣”等口訣的產(chǎn)生，就體現(xiàn)了古人將復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算進行簡化的智慧，直接促成了算盤這樣一種構(gòu)造簡單、運算高效的算具的產(chǎn)生。同時，這些口訣也成為珠算的重要口訣。

古人將生活中的數(shù)學(xué)問題化解于構(gòu)造簡單的算籌與算盤上，寫出了一部部影響至今的中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)著作。除了影響深遠的《九章算術(shù)》《算法統(tǒng)宗》，還有明代后期的《盤珠算法》《數(shù)學(xué)通軌》《算學(xué)新說》等。北宋數(shù)學(xué)家賈憲所著的《黃帝九章算經(jīng)細草》，解決了原本的珠算方法在開高次方根時受限的問題，給出了著名的開方作法本源圖，即賈憲三角。到南宋時期，數(shù)學(xué)家楊輝將其引用到所著的《詳解九章算法》中，后人也稱賈憲三角為楊輝三角。精巧的算籌與算盤，體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)思想重視問題導(dǎo)向、注重實踐應(yīng)用的特點，蘊含了古人“大道至簡”的智慧。

算籌與對應(yīng)的數(shù)字