摘要：反應(yīng)-擴(kuò)散方程在科學(xué)和工程的許多分支中有著重要的應(yīng)用，對(duì)此類方程數(shù)值解的研究具有重要意義． 鑒于計(jì)算域的復(fù)雜形狀、大量的自由度等導(dǎo)致計(jì)算非常困難，提出張量積型二元三次 Ｂ 樣條法求解一 類分?jǐn)?shù)階反應(yīng)-擴(kuò)散方程和交叉反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)，首先計(jì)算得出二元三次 Ｂ 樣條擬插值的矩陣表達(dá)式，然后利用 Ｍａｔｌａｂ 進(jìn)行數(shù)值模擬，最后將數(shù)值模擬解與精確解進(jìn)行對(duì)比． 研究表明，當(dāng)變量 ｔ 的迭代次數(shù)較低時(shí)，所提方法行之有效．

關(guān)鍵詞：反應(yīng)-擴(kuò)散方程；Ｂ 樣條擬插值；張量積型；數(shù)值模擬

中圖分類號(hào)：ＴＰ３９１． ４１ 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Ａ 文章編號(hào)：１００１-８３９５（２０２４）０３-０４１１-１１

ｄｏｉ：１０． ３９６９ ／ ｊ． ｉｓｓｎ． １００１-８３９５． ２０２４． ０３． ０１４

對(duì)流-擴(kuò)散-反應(yīng)系統(tǒng)，包括對(duì)流-擴(kuò)散和反應(yīng)-擴(kuò)散方程，在科學(xué)和工程的許多分支中有重要的應(yīng)用 ［１］，這些應(yīng)用包括方程模型運(yùn)輸動(dòng)力學(xué) ［２-４］、人口動(dòng)力學(xué) ［５］、化學(xué)反應(yīng)和燃燒 ［６］、傳熱和傳質(zhì) ［７-９］、 環(huán)境問(wèn)題中濃度或污染的演變 ［１０］以及趨化性、模式形成和細(xì)胞生長(zhǎng)過(guò)程 ［１１-１５］． 因此，此類方程的準(zhǔn)確解對(duì)于準(zhǔn)確描述問(wèn)題中的動(dòng)力學(xué)和傳遞過(guò)程具有重要意義．

由于計(jì)算域的復(fù)雜形狀、相互作用的強(qiáng)度、大量的自由度以及所使用的數(shù)值求解器的穩(wěn)定性，反應(yīng)-擴(kuò)散方程所涉及的相關(guān)復(fù)雜性通常會(huì)非?？量蹋?Ｈｅｎｒｙ 等 ［１６］描述了用于模擬包含反常擴(kuò)散的活化劑-抑制劑動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的雙組分反應(yīng)-擴(kuò)散方程；文獻(xiàn)［９］研究了一類反應(yīng)-擴(kuò)散方程的前沿動(dòng)態(tài)系統(tǒng)．目前已經(jīng)開(kāi)發(fā)了許多數(shù)值方法來(lái)解決分?jǐn)?shù)反應(yīng)擴(kuò)散問(wèn)題，例如：有限差分法 ［５］、有限元法 ［１７-１８］和光譜法 ［１９］． 然而，由于分?jǐn)?shù)階差分算子的非局部特性 ［２０-２１］，數(shù)值方案的穩(wěn)定性通常變得非常敏感 ［２１］．

此外，反應(yīng)-擴(kuò)散方程數(shù)值離散化通常會(huì)生成完整且密集的系數(shù)矩陣，這會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的計(jì)算困難．然而，與反應(yīng)-擴(kuò)散系統(tǒng)不同，交叉擴(kuò)散系統(tǒng)允許交叉擴(kuò)散系數(shù)為負(fù)． 顯著的特點(diǎn)是反應(yīng)擴(kuò)散的均勻穩(wěn)態(tài)是穩(wěn)定的，但對(duì)于交叉擴(kuò)散系統(tǒng)則不穩(wěn)定 ［２２］． 例如具有自擴(kuò)散和交叉擴(kuò)散系統(tǒng) ［２２-２３］、非均勻反應(yīng)系統(tǒng) ［２４-２５］、流行病模型 ［２６-２７］和植被模式多樣性 ［２８］的捕食者-獵物模型． 交叉反應(yīng)-擴(kuò)散過(guò)程在自然界中質(zhì)量和化學(xué)成分的傳輸中起著重要作用．這些系統(tǒng)包含豐富多樣的行為． 由于它們的特性， 人們對(duì)交叉反應(yīng)-擴(kuò)散方程的研究越來(lái)越感興趣．

通過(guò)使用有限體積方法 ［２９-３１］、有限差分方法 ［３２］，已經(jīng)開(kāi)發(fā)了一些交叉擴(kuò)散模型． 然而，這些方法在處理復(fù)雜幾何形狀的傳輸時(shí)被證明具有挑戰(zhàn)性．本文提出二元三次 Ｂ 樣條擬插值方法解決反應(yīng)-擴(kuò)散方程的數(shù)值逼近問(wèn)題，是一元三次 Ｂ 樣條擬插值的推廣形式，可以直接構(gòu)造，不需要求解線性方程組，具有良好的保形性、計(jì)算量小等優(yōu)點(diǎn)，它在計(jì)算幾何和數(shù)值逼近方面有著廣泛的應(yīng)用 ［３３-３４］．

文獻(xiàn)［３５-３７］已證實(shí)用一維三次 Ｂ 樣條擬插值法求解 Ｂｕｒｇｅｒｓ-Ｈｕｘｌｅｙ 等偏微分方程得到的數(shù)值解與解析解非常吻合． 因此本文用二元 Ｂ 樣條擬插值法求解更為復(fù)雜的偏微分方程并考慮其精度．

本文的安排如下：第一節(jié)基于三次 Ｂ 樣條基函數(shù)的表達(dá)式，構(gòu)造二元三次 Ｂ 樣條擬插值算子，并給出其張量積型的矩陣表達(dá)式；第二節(jié)分別對(duì)二元分?jǐn)?shù)階反應(yīng)-擴(kuò)散方程和交叉反應(yīng)-擴(kuò)散方程的 ２ 個(gè)例子進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，得到相應(yīng)的數(shù)值模擬圖和數(shù)值模擬解并與其精確解進(jìn)行對(duì)比分析；最后在第三節(jié)得出相應(yīng)的結(jié)論．

４ 結(jié)論

本文主要探討了基于二維三次 Ｂ 樣條擬插值法求解分?jǐn)?shù)階反應(yīng)-擴(kuò)散方程和交叉反應(yīng)-擴(kuò)散方程的誤差，利用這種方法不需要求解線性方程組，具有計(jì)算量小、保多項(xiàng)式性等優(yōu)點(diǎn)，從數(shù)值模擬的結(jié)果和相應(yīng)的誤差分析可知，在迭代次數(shù)較低時(shí)，用這種方案所得到的數(shù)值解和解析解非常吻合． 數(shù)值模擬解逼近最優(yōu)解，如果迭代次數(shù)較高，也即 ｔ→∞時(shí)，運(yùn)用二維 Ｂ 樣條擬插值法誤差偏大，需要進(jìn)一 步探究該方法的收斂性，但是誤差在可控的范圍內(nèi)，因此對(duì)于一些復(fù)雜的整數(shù)階偏微分方程可以利用此方案得到相應(yīng)的數(shù)值解和數(shù)值模擬圖．

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（編輯 陶志寧）