摘 要：萬有引力普遍存在，但萬有引力公式只適用于質(zhì)點(diǎn)之間，牛頓證明了球狀物體之間的萬有引力.高中物理熟知“均勻球殼對(duì)殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零”這個(gè)結(jié)論，但教學(xué)中通常忽視對(duì)它的嚴(yán)格證明，僅僅用微積分的思想作定性說明，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)論證.微元法是從微積分降解出來的初等方法，利用微元法從不同的視角證明以上結(jié)論，揭示出結(jié)論背后隱藏的普遍性規(guī)律和深層次物理原理，從根本上反映了平方反比規(guī)律具有的必然結(jié)論，促進(jìn)學(xué)生科學(xué)思維的發(fā)展.

關(guān)鍵詞：高中物理；初等方法；微元法；萬有引力定律；平方反比規(guī)律

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2024）04-0111-03

萬有引力定律堪稱物理學(xué)中普適性的經(jīng)典楷模，贏得了后世無數(shù)科學(xué)家的贊賞.萬有引力普遍存在于自然界中任何兩個(gè)物體之間，因此是“萬有”的，但萬有引力公式F＝GMm/r2只適用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間，因?yàn)橹挥袃蓚€(gè)點(diǎn)之間的距離r才能確定.當(dāng)實(shí)際的物體不能看作質(zhì)點(diǎn)時(shí)，如何求解它們之間的萬有引力，這在牛頓時(shí)代是個(gè)不小的難題，然而，牛頓自己發(fā)明了微積分把它解決了.即便如此，微積分方法也只能求解質(zhì)量分布已知的情況，特別是質(zhì)量分布具有某種對(duì)稱性的情況.后來數(shù)學(xué)家高斯創(chuàng)立了一個(gè)定理——高斯定理，可以非常簡捷地處理具有一定對(duì)稱性分布的問題[1].

質(zhì)量分布均勻的球殼具有球?qū)ΨQ性（繞球心任意旋轉(zhuǎn)都是相同的），球殼對(duì)殼內(nèi)外質(zhì)點(diǎn)的萬有引力都可以用微積分或高斯定理求解[2]，而球體是一層層同心球殼的疊加，因此只要解決球殼的問題，那么相關(guān)的一系列問題都迎刃而解.其中有一個(gè)很重要的結(jié)論：均勻球殼對(duì)殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零.這個(gè)結(jié)論還可以借助空間“立體角”的概念進(jìn)行證明，但這些方法都屬于高等數(shù)學(xué).高中物理通常把這個(gè)結(jié)論不加證明地告訴學(xué)生，盡管不礙于問題的解決，卻難免有“強(qiáng)行灌輸”之嫌，終究給學(xué)生留下“知其然而不知其所以然”的疑惑和缺憾，這不利于學(xué)生思維能力的發(fā)展.

雖然高中階段對(duì)微積分不作要求，但由它派生出來的微元法屬于初等方法，并且非常巧妙地實(shí)現(xiàn)了降解.微元法是高中物理處理問題的重要方法，基本思路是“先無限分割，再累積求和”，即先把物體分割成足夠小的質(zhì)量微元，求出它們之間的萬有引力，再求力的矢量和就可得到物體之間的萬有引力.本文利用微元法從兩種不同的視角，證明均勻球殼對(duì)殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零.

1 用微元法處理的基本思路

當(dāng)物體不能看作質(zhì)點(diǎn)時(shí)，物體之間的萬有引力如何計(jì)算？基本思路是將物體進(jìn)行分割，當(dāng)分割得足夠細(xì)時(shí)，每一部分都可以看作質(zhì)點(diǎn)[3].如圖1所示，首先把A、B兩個(gè)物體分割成很多小塊，每一小塊的體積都很小，可以看作質(zhì)量為Δm的質(zhì)點(diǎn)，A、B物體上任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力為

然后求出B物體上所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)Δmai的萬有引力，將這些力進(jìn)行矢量求和，得到B對(duì)A上任意質(zhì)點(diǎn)Δmai的萬有引力為

3 結(jié)束語

從證明的過程來看，之所以分割的每一對(duì)質(zhì)量微元對(duì)球殼內(nèi)任意質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零，是因?yàn)槿f有引力具有一個(gè)很明顯的特點(diǎn)，那就是它與距離的平方成反比.換句話說，“均勻球殼對(duì)殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零”這個(gè)結(jié)論并非偶然，而是平方反比規(guī)律的必然結(jié)果.既然如此，由于庫侖定律同樣遵循平方反比規(guī)律，那么本文的證明方法和結(jié)論也同樣適用于庫侖力，即“電荷分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)任意位置點(diǎn)電荷的庫侖力為零”.只不過帶電體產(chǎn)生的靜電場容易與物質(zhì)發(fā)生相互作用，引起明顯的靜電感應(yīng)現(xiàn)象或電介質(zhì)極化現(xiàn)象，導(dǎo)致電荷的分布難以保證具有球?qū)ΨQ性.

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［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者簡介：段石峰（1992-），男，湖南省常寧人，本科，中學(xué)二級(jí)教師，從事高中物理教學(xué)研究.