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        多角度思考 多方法解題

        2024-05-15 00:00:00謝天暢
        初中生世界·八年級 2024年5期
        關(guān)鍵詞:證法對角線中點

        蘇科版數(shù)學八年級下冊第73頁有這樣一道題:

        如圖1,在[?]ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,G、H分別是OB、OD的中點,過點O的直線分別交BC、AD于點E、F。求證:四邊形GEHF是平行四邊形。

        要證明一個四邊形是平行四邊形,我們可以從平行四邊形的判定方法入手。我們已經(jīng)知道平行四邊形的判定方法有:兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形,兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形,一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。因此,我們可以從不同的角度進行思考,尋求解決本題的方法。

        證法一:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

        ∴AO=CO,BO=DO,AD∥BC。

        ∴∠DAO=∠BCO。

        又∵∠AOF=∠COE,

        ∴△AOF≌△COE(ASA)。

        ∴OE=OF。

        ∵G、H分別是OB、OD的中點,

        ∴OG=[12]OB,OH=[12]OD。

        ∴OG=OH。

        ∴四邊形GEHF是平行四邊形。

        對于證法一,我根據(jù)四邊形GEHF的對角線GH與四邊形ABCD的對角線BD共線這一特征,選擇從對角線的角度思考解題方法。

        證法二:同證法一,可得AD=CB,AD∥BC,BO=DO,△AOF≌△COE。

        ∴AF=CE。

        ∴AD-AF=BC-CE,即DF=BE。

        ∵ G、H分別是OB、OD的中點,

        ∴ OG=[12]OB,OH=[12]OD。

        ∴OG=OH。

        ∴OD+OG=BO+OH,即DG=BH。

        ∵AD∥BC,∴∠ADO=∠CBO。

        ∴△DGF≌△BHE(SAS)。

        ∴GF=HE。

        同理,可得△DHF≌△BGE,

        ∴HF=GE。

        ∴四邊形GEHF是平行四邊形。

        對于證法二,我找出隱藏在圖形中的全等三角形,證得四邊形兩組對邊分別相等,從而解決問題。

        證法三:同證法二,可得△DGF≌△BHE,

        ∴GF=HE,∠DGF=∠BHE。

        ∴GF∥HE。

        ∴四邊形GEHF是平行四邊形。

        對于證法三,我在證法二的基礎(chǔ)上,根據(jù)圖形中的全等三角形,證得四邊形的一組對邊平行且相等,從而解決問題。

        對于此題,雖然從不同的角度出發(fā),可以選擇不同的解題方法,但是比較上面的3種證明方法,我覺得證法一更為簡捷。

        教師點評

        謝同學能夠依據(jù)所學知識,從多個角度思考問題,積極尋求不同的解題策略,拓寬解題思路,不斷發(fā)展自己的思維能力。這種勇于思考、不斷探索的精神值得大家學習。

        (指導(dǎo)教師:謝射紅)

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