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        拼圖研究整式的乘法

        2024-05-11 05:58:38趙維坤
        初中生世界 2024年17期
        關(guān)鍵詞:利用

        文/趙維坤

        小學(xué)里,我們學(xué)習(xí)了長方形、平行四邊形、三角形面積等圖形的面積計算,發(fā)現(xiàn)圖形的面積可以用一個表達(dá)式表示。下面,我們利用面積的表達(dá)式進(jìn)行新的研究。

        請制作若干張3種類型的紙片:邊長為a的正方形、邊長為b的正方形和長為a、寬為b的長方形(如圖1)。下面,我們利用這些紙片拼圖,探究整式的乘法。

        圖1

        單項式與單項式相乘

        用6 張長為a、寬為b的長方形紙片,拼成一個大長方形,我們可以拼出不同的圖形(圖2—圖5)。

        圖2

        圖3

        圖4

        圖5

        以圖2 為例,這個圖形可以看成長為3a、寬為2b的大長方形,面積是3a·2b;也可以看成6 個小長方形的和,面積是6ab。所以3a·2b=6ab,其余圖形類似。

        用不同的方法計算圖形的面積,所得結(jié)果相等,從而有單項式與單項式相乘的討論。反過來,對于2a·4b,我們能通過拼出如圖6 的圖形,得到它的結(jié)果為8ab,所以2a·4b=8ab。

        圖6

        單項式與多項式相乘

        對于2a(3a+b),我們?nèi)匀挥脙蓚€因式代表長方形的長和寬,拼出長為(3a+b)、寬為2a的長方形(如圖7)。它由6 個邊長為a的正方形和2 個長為a、寬為b的長方形拼成,所以它的面積可以表示為6a2+2ab。所以2a(3a+b)=6a2+2ab。

        根據(jù)前面的經(jīng)驗,2a(3a-b)可用長為(3a-b)、寬為2a的長方形表示。如何得到(3a-b)2呢?在3a的基礎(chǔ)上減去b,我們可以采用覆蓋的方法(如圖8),未被遮蓋的部分等于大的長方形的面積減去遮住的面積,所以,2a(3a-b)=6a2-2ab。

        圖7

        圖8

        多項式與多項式相乘

        (a+b)(3a+b)可用長為(3a+b)、寬為(a+b)的長方形表示(如圖9),它由3 個邊長為a的正方形及4 個長為a、寬為b的長方形和1個邊長為b的正方形拼成,面積可以表示為3a2+4ab+b2,所以(3a+b)(a+b)=3a2+4ab+b2。

        類似地,(a+b)(3a-b)可用一邊為(a+b)、另一邊為(3a-b)的長方形的面積來表示(如圖10),未被遮住的面積又可表示為3a2+3ab-ab-b2,所以(a+b)(3ab)=3a2+2ab-b2。

        圖9

        圖10

        我們除了用紙片直觀地得出單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式與多項式的結(jié)果,還可以從運(yùn)算的角度解釋這些結(jié)果的合理性。例如,利用乘法交換律,將a與4 交換,并將2 與4 相乘,即可得到2a·4b=8ab;利用乘法分配律,可得 到2a(3a+b)=2a·3a+2a·b=6a2+2ab;同樣,利用乘法分配律,將(a+b)看作一個整體,有(a+b)(3a+b)=(a+b)·3a+(a+b)·b=a·3a+b·3a+a·b+b·b=3a2+4ab+b2。

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