邱學(xué)堯，劉家文，許 玉

（1.昆明有色冶金設(shè)計(jì)研究院股份公司，云南 昆明 650224；2.昆明鐘英中學(xué)，云南 昆明 650214）

長度有限有2個(gè)邊界點(diǎn)的曲線，面積有限有邊界線的曲面，體積有限有邊界面的空間體，均有相似的特性，可歸納為封閉幾何問題，分別稱為封閉曲線、封閉曲面和封閉空間。長度有限但沒有邊界點(diǎn)的曲線、面積有限但沒有邊界點(diǎn)或邊界線的曲面，體積有限但沒有邊界點(diǎn)、邊界線或邊界面的空間，可歸納為閉合幾何問題，分別稱為閉合曲線、閉合曲面和閉合空間。長度無限且沒有邊界點(diǎn)的曲線，面積無限且沒有邊界點(diǎn)或邊界線的曲面，體積無限且沒有邊界點(diǎn)、邊界線或邊界面的空間，可分別稱為兩端無限曲線、連續(xù)無限曲面和連續(xù)無限空間；長度無限而有1個(gè)端點(diǎn)的曲線，面積無限而有邊界點(diǎn)或邊界線的曲面，體積無限而有邊界點(diǎn)、邊界線或邊界面的空間，可分別稱為一端無限曲線、不連續(xù)無限曲面和不連續(xù)無限空間，可歸納為無限幾何問題。

閉合曲線和閉合曲面在數(shù)學(xué)和物理中有廣泛運(yùn)用，在宇宙學(xué)中，標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型認(rèn)為宇宙空間是有限無界的空間，可能是一種閉合空間。閉合空間只有在四維時(shí)空或更高維度下才能形成，難以認(rèn)知和理解，其定義和性質(zhì)可以通過對(duì)閉合曲線和閉合曲面的研究結(jié)論來推測(cè)，這些推測(cè)出來的性質(zhì)又可以對(duì)標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型進(jìn)行驗(yàn)證。

1 閉合幾何

1.1 閉合曲線

閉合曲線是指長度有限，沒有交叉、沒有重疊、沒有邊界點(diǎn)的連續(xù)曲線。閉合曲線由有限條有限長的曲線組成，這些曲線通過端點(diǎn)之間的1次連接消除所有邊界點(diǎn)，曲線之間沒有交叉或重疊。閉合曲線具有如下性質(zhì)：

①閉合曲線的長度有限。②閉合曲線上沒有邊界點(diǎn)。③與閉合曲線相交的任何連續(xù)無限曲面或閉合曲面都有2個(gè)或2個(gè)以上交點(diǎn)，且交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)（相切的情況除外）。④對(duì)閉合曲線進(jìn)行分割的分割點(diǎn)個(gè)數(shù)與分割出的曲線的條數(shù)相等，且分割后的所有曲線均為封閉曲線。⑤平面上的閉合曲線所包圍的范圍的面積有限。⑥不在一個(gè)平面上的閉合曲線所包圍的范圍的最小面積有限。⑦去掉閉合曲線上任何1段封閉曲線，剩余的曲線也是封閉曲線。

有如下3種情況可分別滿足曲線閉合的充要條件：①長度有限，沒有交叉、沒有重疊、沒有邊界點(diǎn)的連續(xù)曲線；②與曲線相交的任何連續(xù)無限曲面或閉合曲面都有2個(gè)或2個(gè)以上交點(diǎn)，且交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)（相切的情況除外）；③對(duì)曲線進(jìn)行分割的分割點(diǎn)個(gè)數(shù)與分割出的曲線的條數(shù)相等，且分割后的所有曲線均為封閉曲線。

1.2 閉合曲面

閉合曲面是指面積有限，沒有交叉、沒有重疊、沒有邊界點(diǎn)、沒有邊界線的連續(xù)曲面。閉合曲面由有限個(gè)面積有限的曲面組成，這些曲面通過邊界線之間的1次連接消除所有邊界線，曲面之間沒有交叉或重疊。閉合曲面具有如下性質(zhì)。

①閉合曲面的面積有限。②閉合曲面上沒有邊界點(diǎn)。③閉合曲面上沒有邊界線。④與閉合曲面相交的任何兩端無限曲線或閉合曲線都有2個(gè)或2個(gè)以上交點(diǎn)，且交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)（相切的情況除外）。⑤只能通過閉合曲線在曲面上分割出1個(gè)封閉曲面，且分割出任何封閉曲面后剩余的所有曲面均屬于封閉曲面。⑥三維空間中的閉合曲面所包圍的范圍是體積有限的封閉空間。

有如下3種情況可分別滿足曲面閉合的充要條件：①面積有限，沒有交叉、沒有重疊、沒有邊界點(diǎn)、沒有邊界線的連續(xù)曲面。②與曲面相交的任何兩端無限曲線或閉合曲線都有2個(gè)或2個(gè)以上交點(diǎn)，且交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)。③只能通過閉合曲線在曲面上分割出1個(gè)封閉曲面，且分割出任何封閉曲面后剩余的所有曲面均屬于封閉曲面。

1.3 閉合空間

閉合空間是指體積有限，沒有交叉、沒有重疊、沒有邊界點(diǎn)、沒有邊界線、沒有邊界面的連續(xù)空間。閉合空間由有限個(gè)體積有限的空間組成，這些空間之間通過邊界的1次連接消除所有邊界面，空間之間沒有交叉或重疊。閉合空間應(yīng)該具有如下性質(zhì)。

①閉合空間的體積有限。②閉合空間上沒有邊界點(diǎn)。③閉合空間上沒有邊界線。④閉合空間上沒有邊界面。⑤閉合空間內(nèi)的任何無限曲線都無法到達(dá)或超出閉合空間的邊界點(diǎn)，只能形成閉合曲線。⑥閉合空間內(nèi)的任何無限曲面都無法到達(dá)或超出閉合空間的邊界面，只能形成閉合曲面。⑦只能通過閉合曲面在閉合空間上分割出1個(gè)封閉空間，且分割出任何封閉空間后剩余的所有空間均屬于封閉空間。

四維時(shí)空中的閉合空間應(yīng)該是時(shí)間與空間在一種特殊機(jī)制下有機(jī)結(jié)合的空間，在這種特殊機(jī)制下，時(shí)間維度將三維空間的所有對(duì)稱邊界實(shí)現(xiàn)了無縫連接。當(dāng)然這只是四維時(shí)空中單個(gè)空間對(duì)稱邊界連接合成閉合空間的猜測(cè)，至于四維時(shí)空中多個(gè)空間的邊界連接合成閉合空間的情況本文不作過多論述。

有如下4種情況可分別滿足空間閉合的充要條件。①體積有限，沒有交叉、沒有重疊、沒有邊界點(diǎn)、沒有邊界線、沒有邊界面的連續(xù)空間。②空間的體積有限，但空間上的任何無限曲線都無法到達(dá)或超出閉合空間的邊界點(diǎn)，只能形成閉合曲線。③空間的體積有限，但空間上的任何無限曲面都無法到達(dá)或超出閉合空間的邊界面，只能形成閉合曲面。④只能通過閉合曲面在閉合空間上分割出1個(gè)封閉空間，且分割出任何封閉空間后剩余的空間屬于封閉空間。

2 不同宇宙模型的驗(yàn)證

2.1 不同宇宙模型空間屬性及基本假設(shè)

宇宙是指所有的空間、時(shí)間、物質(zhì)等及其所產(chǎn)生的一切事物的統(tǒng)稱，是物理學(xué)和天文學(xué)的最大研究對(duì)象。當(dāng)前科學(xué)界廣泛認(rèn)可的標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型認(rèn)為宇宙由奇點(diǎn)爆炸產(chǎn)生，爆炸后宇宙一直在膨脹，每個(gè)時(shí)刻宇宙的體積有限但沒有邊界，是閉合空間。在標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型提出之前也有很多的宇宙模型，古希臘數(shù)學(xué)家阿爾希塔斯假設(shè)宇宙有邊界，則邊界處的“擲矛者”必然能穿過邊界，進(jìn)入外部區(qū)域，因此原來假設(shè)的邊界就不存在，宇宙空間是無限空間；牛頓經(jīng)典物理假設(shè)宇宙的體積是有限大的，則會(huì)因?yàn)槿f有引力而收縮成一團(tuán)，因此宇宙物質(zhì)分布范圍的體積無限，是無限空間；德國哲學(xué)家奧伯斯假設(shè)宇宙是無限大的，則地球上只有白天沒有黑夜，而實(shí)際上是白天和黑夜交替的，因此宇宙物質(zhì)分布范圍的體積有限，是封閉空間或閉合空間。接力大爆炸宇宙模型認(rèn)為宇宙物質(zhì)由分布在空間中的基本粒子爆炸產(chǎn)生，爆炸產(chǎn)生的沖擊波接力引爆外層基本粒子，接力演化為星體、星系以及星際物質(zhì)，這種模型認(rèn)為宇宙物質(zhì)范圍的體積有限且有邊界是封閉空間，宇宙空間的體積無限大是無限空間。

對(duì)比發(fā)現(xiàn)，阿爾希塔斯宇宙模型認(rèn)為宇宙空間范圍無限和奧伯斯宇宙模型認(rèn)為宇宙物質(zhì)分布范圍有限，兩者區(qū)分開來，這兩個(gè)宇宙模型并不矛盾。①從宇宙空間的范圍看，僅有標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型認(rèn)為其范圍是有限但沒有邊界的屬于閉合空間，當(dāng)然該模型并沒有空間范圍無限大但沒有邊界的直接證據(jù)，更多的是配合對(duì)宇宙物質(zhì)范圍有限但沒有邊界的論證，但是需要解釋閉合空間膨脹新增的空間是如何產(chǎn)生的。②從宇宙物質(zhì)分布范圍看：牛頓經(jīng)典宇宙模型從萬有引力作用方面進(jìn)行論證，認(rèn)為宇宙物質(zhì)分布范圍是無限空間，但該模型是一種靜態(tài)的宇宙模型，無法解釋地球的白天黑夜交替，也無法解釋宇宙微波背景輻射和星系紅移。為解釋星系紅移現(xiàn)象，標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型引入了暗能量，認(rèn)為暗能量的推力大于萬有引力所以導(dǎo)致了宇宙物質(zhì)的加速膨脹，而微波背景輻射則是大爆炸在宇宙空間殘留的能量。接力大爆炸宇宙模型則認(rèn)為距離爆炸中心越遠(yuǎn)，宇宙物質(zhì)的質(zhì)量密度越大，所以萬有引力作用是遠(yuǎn)離爆炸中心的，從而導(dǎo)致宇宙物質(zhì)加速膨脹，而微波背景輻射也是爆炸過程在宇宙空間殘留的能量。標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型和接力大爆炸宇宙模型也均與奧伯斯宇宙模型相符，文章主要對(duì)這兩個(gè)模型進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證。

2.2 標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型時(shí)空及物質(zhì)分布的假設(shè)條件

關(guān)于宇宙的體積膨脹：如同拉伸橡皮環(huán)或吹氣球一樣，宇宙膨脹過程中，每個(gè)時(shí)刻空間的體積可能是有限的，但需要解釋宇宙新增的體積如何產(chǎn)生。正如奇點(diǎn)爆炸假設(shè)產(chǎn)生了時(shí)間、空間和宇宙物質(zhì)，需要假設(shè)宇宙的膨脹過程也產(chǎn)生時(shí)間、空間和宇宙物質(zhì)，這就導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型的時(shí)間、空間和宇宙物質(zhì)不守恒。

關(guān)于宇宙對(duì)稱邊界的消除：閉合曲線通過邊界點(diǎn)的連接消除全部邊界點(diǎn)，閉合曲面通過邊界線的連接消除全部邊界線，四維時(shí)空可能通過特殊的時(shí)間機(jī)制連接空間所有對(duì)稱邊界面，但需要解釋連接后對(duì)稱邊界的物質(zhì)傳輸、能量和信息傳輸是通暢的。宇宙空間越大，對(duì)稱邊界跨越的距離越大，傳輸?shù)哪芰肯脑酱?，如此大的能耗從何而來呢？由于宇宙膨脹過程中同步產(chǎn)生了時(shí)間和空間，可以假設(shè)新增的時(shí)間全部被消耗用于維持對(duì)稱邊界物質(zhì)、能量和信息傳輸?shù)哪芰肯?，這可能也是時(shí)間只能指向未來、不能回到過去的原因。

2.3 接力大爆炸宇宙模型時(shí)空及物質(zhì)分布假設(shè)條件

接力大爆炸宇宙模型宇宙物質(zhì)分布范圍是封閉空間，不需要新的假設(shè)條件。參照阿爾希塔斯的論證，假設(shè)宇宙空間有邊界，則站在宇宙空間不需要新的假設(shè)。類似的，假設(shè)宇宙的過去有盡頭，那么總會(huì)有過去的盡頭的過去，假設(shè)宇宙的未來有盡頭，那么總會(huì)有未來的盡頭的未來，因此宇宙的時(shí)間也是無限的。

2.4 標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型與接力大爆炸宇宙模型的假設(shè)條件對(duì)比

根據(jù)奧卡姆剃刀定律“如無必要勿增實(shí)體”，通過假設(shè)條件的對(duì)比也可以為宇宙模型的優(yōu)選提供幫助。

表1 標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型和接力大爆炸宇宙模型假設(shè)條件對(duì)比表

從假設(shè)的數(shù)量來看，接力大爆炸宇宙模型假設(shè)數(shù)量更少，可能是更合理的模型。而且這些假設(shè)導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型的時(shí)間、空間和物質(zhì)是不守恒的，是一種高能耗的模型，另外其空間的閉合特性不穩(wěn)定，容易被破壞。當(dāng)然，文章無法確切地否定標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型，也無法確切地肯定接力大爆炸宇宙模型，希望其他學(xué)者進(jìn)行更深入的論證，找到更合理的宇宙模型。

3 存在問題和建議

（1）雖然閉合曲線、閉合曲面和閉合空間具有相似的定義和性質(zhì)，但也存在差異；利用閉合曲線和閉合曲面的研究結(jié)論來推測(cè)閉合空間的定義和性質(zhì)具有一定的合理性，但這個(gè)推測(cè)過程可能還存在漏洞，需要系統(tǒng)深入地研究才能得出更為準(zhǔn)確的結(jié)論。

（2）標(biāo)準(zhǔn)宇宙模型的宇宙物質(zhì)分布范圍是閉合空間，接力大爆炸宇宙模型的宇宙物質(zhì)分布范圍是封閉空間，均是體積有限的空間，可以解釋地球上白天和黑夜交替的現(xiàn)象，但這兩個(gè)模型的宇宙物質(zhì)范圍都在增大，是否表明地球上晚上的亮度是在逐漸增大的呢？如果沒有則需要其他解釋。

（3）閉合幾何在數(shù)學(xué)、物理和宇宙學(xué)中有廣泛的運(yùn)用，對(duì)其系統(tǒng)深入的研究，有助于學(xué)科問題的解決，建議專業(yè)學(xué)者將閉合幾何學(xué)發(fā)展成為一門系統(tǒng)學(xué)科，為人類社會(huì)的發(fā)展服務(wù)。