衡雪 整理

“出入相補”四個字最早出現(xiàn)在三國時期魏國數(shù)學(xué)家劉徽的《九章算術(shù)注》一書中。劉徽在書中提及：半廣者，以盈補虛為直田也，亦可半正從以乘廣，按半廣乘從，以取中平之?dāng)?shù)，故廣從相乘為積步。

這里的“廣”指的是三角形的底邊，“正從”指的是高。“半廣者，以盈補虛為直田也”指的是過三角形兩邊中點做底邊垂線，可將三角形割補成矩形（即直田），如圖1 所示?！耙嗫砂胝龔囊猿藦V”則是另一種辦法：取高的一半，同樣可以割補成矩形，如圖2 所示?！鞍窗霃V乘從，以取中平之?dāng)?shù)，故廣從相乘為積步”，就是說根據(jù)這個圖形可得三角形的面積為底乘高的一半！劉徽就這樣推導(dǎo)出了三角形的面積公式，而這種方法就是“出入相補”之術(shù)，即割補法。這個方法的精彩之處在于把三角形的問題轉(zhuǎn)化成四邊形來解決。

圖1

圖2

清代數(shù)學(xué)家李銳借助三個正方形，用“出入相補”的方法證明了勾股定理。如圖3 所示，將△AFD移到△JGH處，將△FBM移 到△DEN處，將△HIN移 到△GJM處。這樣，兩個小正方形的面積之和就等于大正方形的面積，由此可證明勾股定理。

圖3

“出入相補”在平面幾何中有著廣泛的應(yīng)用。我國數(shù)學(xué)家吳文俊院士通過研究，揭示了中國古代數(shù)學(xué)家在“出入相補”原理的引導(dǎo)下，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解的規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中“幾何代數(shù)化”這一更為本質(zhì)的特征，與希臘演繹幾何形成鮮明的對照。