張蓓 司換敏 江衛(wèi)華 郭春靜 陳坤

摘 要：為了拓展分?jǐn)?shù)階微分方程系統(tǒng)的相關(guān)理論，研究了一類(lèi)具有積分邊界條件的耦合φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)。首先，將具有積分邊界條件的耦合φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為積分系統(tǒng)；其次，定義合適的Banach乘積空間和范數(shù)，構(gòu)造合適的積分算子，分別運(yùn)用壓縮映像原理和Kransnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理得出耦合φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)在積分邊界條件下解的存在性結(jié)果；最后，通過(guò)列舉實(shí)例說(shuō)明所得結(jié)論的正確性。研究表明，積分邊界條件下的耦合φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的解具有存在性。研究結(jié)論豐富了耦合分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)理論可解性的相關(guān)理論，可為深入研究分?jǐn)?shù)階微分方程提供一定的理論參考。

關(guān)鍵詞：解析理論；φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；耦合系統(tǒng)；壓縮影像原理；Kransnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理；解的存在性

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.8? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A??文章編號(hào)：1008-1542（2024）02-0159-09

Existence of solutions of coupled φ-Hilfer fractionaldifferential systems with integral boundary conditions

ZHANG Bei1， SI Huanmin1， JIANG Weihua1， GUO Chunjing1， CHEN Kun2

（1.School of Sciences， Hebei University of Science and Technology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China；2.Office of Academic Affairs，Shijiazhuang People's Medical College，Shijiazhuang，Hebei 050091，China）

Abstract：In order to expand the relevant theory of fractional differential equation systems， a class of coupled φ-Hilfer fractional differential systems with integral boundary conditions was studied. Firstly， the coupled φ-Hilfer fractional differential system with integral boundary conditions was transformed into an integral system. Secondly， the appropriate Banach product space and norm were defined， the appropriate integral operator was constructed， and the existence result of the solution of the coupled? φ-Hilfer fractional differential system under the integral boundary condition was given by using the compressed image principle and Kransnoselskii's fixed point theorem， respectively. Finally， examples were given to illustrate the correctness of the conclusions obtained. The results show that the solutions of the coupled φ-Hilfer fractional differential system under the integral boundary condition exist. The existence of solutions of coupled φ-Hilfer fractional differential systems is studied for the first time by using the compressed image principle and Kransnoselskii's fixed point theorem， respectively， and some innovative new results are obtained. In addition， the research conclusion enriches the relevant theories of the theoretical solvability of coupled fractional differential systems， and provides certain theoretical reference value for the further study of fractional order differential equations.

Keywords：analytic theory; φ-Hilfer fractional order derivative; coupling system; the principle of compressed images; Kransnoselskii's fixed point theorem; existence of solutions

目前，分?jǐn)?shù)階微積分理論得到不斷完善，吸引了越來(lái)越多專(zhuān)家和學(xué)者的關(guān)注[1-13]，推動(dòng)了科學(xué)和工程等諸多領(lǐng)域的發(fā)展。Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用較為廣泛，是分?jǐn)?shù)階微分方程研究的基礎(chǔ)。Hilfer分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)同時(shí)包含Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)和Caputo導(dǎo)數(shù)，而φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)又是Hilfer分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的推廣。因此，對(duì)具有φ-Hilfer導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分方程或者耦合系統(tǒng)進(jìn)行研究得到的結(jié)果更具有一般化，能夠推廣之前得到的研究結(jié)論，具有一定的研究意義。近年來(lái)，有學(xué)者對(duì)φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題及其應(yīng)用進(jìn)行了深入研究，并且取得了一些理論成果[14-17]。

ALMALAHI等[18]利用Schaefer不動(dòng)點(diǎn)定理研究了非線性φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題Dq，r;φ0+v（μ）=λv（t）+f（t，v（t）），v（0）=0， v（b）=∑mi=1δiIζ，φ0+v（τi），其中Dq，r;φ0+是q階r型φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，1

ABDO等[19]利用Kransnoselskiis不動(dòng)點(diǎn)定理和壓縮映像原理研究了φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階微分方程多點(diǎn)邊值問(wèn)題Dα，β;φa+u（t）=f（t，u（t），χu（t））， 0<α<1，0≤β≤1，t∈（a，b］，I1-γ;φa+u（t）|t=a=ua+∑mk=1cku（τk）， τk∈（a，b），α≤γ=α+β-αβ。

式中：ua∈R，Dα，β;φa+是α階β型φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，I1-γ;φa+（·）是φ-Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分，χu（t）：=∫t0h（t，s，u（s））ds，a<τ1<…<τm

AHMAD等[20]利用Leray-Schauders非線性抉擇和Banach壓縮映像原理等研究了具有積分邊界條件的耦合Hadamard分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)Dαu（t）=f（t，u（t），v（t））， Dβv（t）=g（t，u（t），v（t）），HDα2，β2;φa+x2（t）+λ2（t）f2（t，x1（t），x2（t））=0， t∈J=［a，b］，u（1）=0， u（e）=Iγu（σ1）， v（1）=0， v（e）=Iγv（σ2）。

式中：γ>0;σ1∈（1，e）;σ2∈（1，e）;Iγ是Hadamard分?jǐn)?shù)階積分;f，g：［1，e］×R×R→R是連續(xù)函數(shù)。

目前，學(xué)者對(duì)φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的存在性和唯一性已經(jīng)進(jìn)行了廣泛研究，但鮮有關(guān)于φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階耦合微分系統(tǒng)的研究。為此，本文研究下列具有積分邊界條件的耦合φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)HDα1，β1;φa+x1（t）+λ1（t）f1（t，x1（t），x2（t））=0， t∈J=［a，b］，HDα2，β2;φa+x2（t）+λ2（t）f2（t，x1（t），x2（t））=0， t∈J=［a，b］，x1（a）=0， x1（b）=η1∫bax2（s）ds，x2（a）=0， x2（b）=η2∫bax1（s）ds（1）

解的存在性，其中1<αi<2，0≤βi≤1，ηi>0，HDαi，βi;φa+是αi階βi型φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，λi：J→R是黎曼可積的函數(shù)，fi∈C（J×R2，R），i=1，2。

1 預(yù)備知識(shí)

為了更好地得出主要結(jié)論，引入一些符號(hào)和重要定義及引理。

η*=max{η1，η2}，A*=max{A1，A2}，ρ1=max{（φ（b）-φ（a））γ1-1，（φ（b）-φ（a））γ2-1}，ρ2=max{（φ（b）-φ（a））1-γ1，（φ（b）-φ（a））1-γ2}，θ=max{K1+K2，L1+L2}，ó=max（φ（b）-φ（a））α1Γ（α1+1），（φ（b）-φ（a））α2Γ（α2+1），ω=max（φ（b）-φ（a））α1+1Γ（α1+1），（φ（b）-φ（a））α2+1Γ（α2+1），σ=max（φ（b）-φ（a））α1-γ1+2Γ（α1+1），（φ（b）-φ（a））α2-γ2+2Γ（α2+1）。

定義1[21] 假設(shè)n-1<α

定義2[21] 設(shè)1<α<2，0≤β≤1，γ=α+2β-αβ，且對(duì)于每一個(gè)t∈J，φ∈C2［a，b］是遞增函數(shù)以及滿足φ′（t）≠0。定義連續(xù)函數(shù)x：［a，b］→R的加權(quán)空間為C2-γ;φ［a，b］={x：［a，b］→R|（φ（t）-φ（a））2-γx（t）∈C［a，b］}，1<γ≤2，賦予范數(shù)為‖x‖C2-γ;φ=maxt∈［a，b］|（φ（t）-φ（a））2-γx（t）|，顯然C2-γ;φ［a，b］是Banach空間。

定義3[21] 對(duì)于任意的（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］，定義乘積空間為C2-γ;φ［a，b］=C2-γ1;φ［a，b］×C2-γ2;φ［a，b］，且范數(shù)為‖（x1，x2）‖C2-γ;φ=‖x1‖C2-γ1;φ+‖x2‖C2-γ2;φ。

引理1[21] 若f∈Cn［a，b］，n-1<α

引理2[22]（壓縮映像原理）設(shè)X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映像，那么T有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

引理3[22][WTHZ]（Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理）設(shè)Ω是Banach空間X中的一個(gè)非空凸閉子集，且設(shè)P，Q是2個(gè)算子，滿足：a）對(duì)任意的x，y∈Ω，有Px+Qy∈Ω；b）P是全連續(xù)映射；c）Q是一個(gè)壓縮映射，那么至少存在一個(gè)z∈Ω，使得z=Pz+Qz。

引理4 設(shè)1<αi<2，0≤βi≤1，γi=αi+2βi-αiβi，ηi>0且yi∈C（J，R），i=1，2。假設(shè)A1=∫ba（φ（s）-φ（a））γ2-1ds，A2=∫ba（φ（s）-φ（a））γ1-1ds，并且滿足A=（φ（b）-φ（a））γ1+γ2-2-η1η2A1A2≠0，則（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］是下列具有積分邊界條件的耦合φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)

HDα1，β1;φa+x1（t）+y1（t）=0，? t∈J=［a，b］，HDα2，β2;φa+x2（t）+y2（t）=0，? t∈J=［a，b］，x1（a）=0， x1（b）=η1∫bax2（s）ds，x2（a）=0， x2（b）=η2∫bax1（s）ds（2）

的解，當(dāng)且僅當(dāng)（x1，x2）滿足積分方程系統(tǒng)

xi（t）=（φ（t）-φ（a））γi-1A（φ（b）-φ（a））γj-1Γ（αi）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））αi-1yi（τ）dτ-??[DW]ηi（φ（b）-φ（a））γj-1Γ（αj）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））αj-1yj（τ）dτds+1Γ（αi）∫taφ′（τ）（φ（t）-φ（τ））αi-1yi（τ）dτ-ηiAiΓ（αj）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））αj-1yj（τ）dτ-η1η2AiΓ（αi）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））αi-1yi（τ）dτds］，

其中i，j=1，2，i≠j。

證明：由式（2）的第1個(gè)方程可知：

HDα1，β1;φa+x1（t）=-y1（t）。（3）對(duì)式（3）的兩邊同時(shí)作用Iα1;φa+（·），可得Iα1;φa+HDα1，β1;φa+x1（t）=-Iα1;φa+y1（t）。

通過(guò)引理1，可得

x1（t）=c1（φ（t）-φ（a））γ1-1+c2（φ（t）-φ（a））γ1-2-Iα1;φa+y1（t），t∈［a，b］，（4）其中c1=1Γ（γ1）1φ′（t）ddtI（1-β1）（2-α1）;φa+x1（t）|t=a， c2=1Γ（γ1-1）I（1-β1）（2-α1）;φa+x1（t）|t=a。

根據(jù)式（2）的邊界條件x1（a）=0，有c2=0，那么式（4）變?yōu)?/p>

x1（t）=c1（φ（t）-φ（a））γ1-1-Iα1;φa+y1（t），t∈［a，b］。（5）

類(lèi)似地，依據(jù)式（2）的第2個(gè)方程和邊界條件x2（a）=0，可得x2（t）=d1（φ（t）-φ（a））γ2-1-Iα2;φa+y2（t），t∈［a，b］ ，（6）

其中d1=1Γ（γ2）1φ′（t）ddtI（1-β2）（2-α2）;φa+x2（t）|t=a。

一方面，利用邊界條件x1（b）=η1∫bax2（s）ds得

c1（φ（b）-φ（a））γ1-1-Iα1;φa+y1（b）=η1∫ba［d1（φ（s）-φ（a））γ2-1-Iα2;φa+y2（s）］ds ，（7）

因?yàn)锳1=∫ba（φ（s）-φ（a））γ2-1ds，所以通過(guò)式（7），可得

d1=1η1A1c1（φ（b）-φ（a））γ1-1-Iα1;φa+y1（b）+η1∫baIα2;φa+y2（s）ds 。（8）

另一方面，依據(jù)邊界條件x2（b）=η2∫bax1（s）ds得

d1（φ（b）-φ（a））γ2-1-Iα2;φa+y2（b）=η2∫ba［c1（φ（s）-φ（a））γ1-1-Iα1;φa+y1（s）］ds，（9）

利用A2=∫ba（φ（s）-φ（a））γ1-1ds，A=（φ（b）-φ（a））γ1+γ2-2-η1η2A1A2≠0，且將式（8）代入式（9），可以得到

c1=1A（φ（b）-φ（a））γ2-1Γ（α1）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））α1-1y1（τ）dτ-η1（φ（b）-φ（a））γ2-1Γ（α2）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））α2-1y2（τ）dτds+η1A1Γ（α2）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））α2-1y2（τ）dτ-η1η2A1Γ（α1）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））α1-1y1（τ）dτds，

將c1代入式（5），則可以得到積分方程系統(tǒng)的第1個(gè)方程。再將c1代入式（8）得

d1=1A（φ（b）-φ（a））γ1-1Γ（α2）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））α2-1y2（τ）dτ- η2（φ（b）-φ（a））γ1-1Γ（α1）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））α1-1y1（τ）dτds+η2A2Γ（α1）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））α1-1y1（τ）dτ-η1η2A2Γ（α2）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））α2-1y2（τ）dτds，

最后，將d1代入式（6），則可以得到積分方程系統(tǒng)的第2個(gè)方程，即引理得證。

2 主要結(jié)果

引入3個(gè)算子Ti：C2-γi;φ［a，b］→C2-γi;φ［a，b］和T：C2-γ;φ［a，b］→C2-γ;φ［a，b］，分別定義為T(mén)i（x1，x2）（t）=（φ（t）-φ（a））γi-1（φ（b）-φ（a））γj-1AΓ（αi）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））αi-1λi（τ）fi（τ，x1（τ），x2（τ））dτ-ηi（φ（t）-φ（a））γi-1（φ（b）-φ（a））γj-1AΓ（αj）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））αj-1λj（τ）fj（τ，x1（τ），x2（τ））dτds+ηiAi（φ（t）-φ（a））γi-1AΓ（αj）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））αj-1λj（τ）fj（τ，x1（τ），x2（τ））dτ-η1η2Ai（φ（t）-φ（a））γi-1AΓ（αi）×∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））αi-1λi（τ）fi（τ，x1（τ），x2（τ））dτds-1Γ（αi）∫taφ′（τ）（φ（t）-φ（τ））αi-1λi（τ）fi（τ，x1（τ），x2（τ））dτ，?t∈［a，b］，i，j=1，2，i≠j，且T（x1，x2）（t）=（T1（x1，x2）（t），T2（x1，x2）（t）），?t∈［a，b］，（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］，則（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］是系統(tǒng)（1）的解當(dāng)且僅當(dāng)（x1，x2）是算子T的不動(dòng)點(diǎn)。

假設(shè)λi：J→R是黎曼可積函數(shù)，fi：J×R2→R是連續(xù)函數(shù)，i=1，2，并且滿足下列條件：

（H1）存在常數(shù)M>0，使得對(duì)?t∈J，有|λi（t）|≤M，i=1，2;

（H2）存在常數(shù)Ki，Li>0，i=1，2，使得對(duì)（u1，u2），（v1，v2）∈C2-γ;φ［a，b］，有fi（t，u1，u2）-fi（t，v1，v2）≤Ki（φ（t）-φ（a））2-γ1u1-v1+Li（φ（t）-φ（a））2-γ2u2-v2。

（H3）存在常數(shù)r，N>0，使得對(duì)t∈J，（u1，u2）∈C2-γ;φ［a，b］且‖（u1，u2）‖C2-γ;φ［a，b］≤r，有fi（t，u1，u2）≤N，i=1，2，并且r≥4MN·max{ω（ρ1+η*A*）η*（b-a）+1A，σ}。

定理1 假設(shè)條件（H1）和條件（H2）成立，且滿足條件Mωθ|A|{（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］+|A|ρ2}<1，則系統(tǒng)（1）存在唯一解。

證明：對(duì)（x1，x2），（y1，y2）∈C2-γ;φ［a，b］，?t∈J有|（φ（t）-φ（a））2-γi［Ti（x1，x2）（t）-Ti（y1，y2）（t）］|≤M（φ（b）-φ（a））αi+1|A|Γ（αi+1）［（φ（b）-φ（a））γj-1+η*2A*（b-a）+|A|（φ（b）-φ（a））1-γi］×（Ki‖x1-y1‖C2-γ1;φ［a，b］+Li‖x2-y2‖C2-γ2;φ［a，b］）+M（φ（b）-φ（a））αj+1|A|Γ（αj+1）［η*（φ（b）-φ（a））γj-1（b-a）+η*A*］×（Kj‖x1-y1‖C2-γ1;φ［a，b］+Lj‖x2-y2‖C2-γ2;φ［a，b］），i，j=1，2，i≠j。

因此，‖T（x1，x2）（t）-T（y1，y2）（t）‖C2-γ;φ［a，b］≤Mωθ|A|{（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］+|A|ρ2}‖（x1，x2）-（y1，y2）‖C2-γ;φ［a，b］，又因?yàn)镸ωθ|A|{（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］+|A|ρ2}<1，根據(jù)引理2，可以得出系統(tǒng)（1）存在唯一解。

定理2 假設(shè)條件（H1）-（H3）成立，且滿足Mσθ<1，‖（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］則系統(tǒng)（1）至少有1個(gè)解。

證明：取閉球Br={（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］|‖（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］≤r}，其中r≥4MN·max[JB（{]ω（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］|A|，σ。

定義算子如下：

P=（P1，P2）：Br→C2-γ;φ［a，b］和Q=（Q1，Q2）：Br→C2-γ;φ［a，b］，其中對(duì)t∈［0，1］，（x1，x2）∈Br。Pi，Qi：Br→C2-γi;φ［a，b］定義為

Pi（x1，x2）（t）=（φ（t）-φ（a））γi-1（φ（b）-φ（a））γj-1AΓ（αi）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））αi-1λi（τ）fi（τ，x1（τ），x2（τ））dτ-ηi（φ（t）-φ（a））γi-1（φ（b）-φ（a））γj-1AΓ（αj）∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））αj-1λj（τ）fj（τ，x1（τ），x2（τ））dτds+ηiAi（φ（t）-φ（a））γi-1AΓ（αj）∫baφ′（τ）（φ（b）-φ（τ））αj-1λj（τ）fj（τ，x1（τ），x2（τ））dτ-η1η2Ai（φ（t）-φ（a））γi-1AΓ（αj）×∫ba∫saφ′（τ）（φ（s）-φ（τ））αi-1λi（τ）fi（τ，x1（τ），x2（τ））dτds，Qi（x1，x2）（t）=-1Γ（αi）∫taφ′（τ）（φ（t）-φ（τ））αi-1λi（τ）fi（τ，x1（τ），x2（τ））dτ，i，j=1，2，i≠j。

因此，T1=P1+Q1，T2=P2+Q2，T=P+Q。

1）證明對(duì)于?（x1，x2），（y1，y2）∈Br，有P（x1，x2）+Q（y1，y2）∈Br。

因?yàn)?t∈［0，1］，P1（x1，x2）（t），P2（x1，x2）（t），Q1（y1，y2）（t），Q2（y1，y2）（t）連續(xù)，所以，P（x1，x2）+Q（y1，y2）∈C2-γ;φ［a，b］成立；由條件（H1）和條件（H3），可得|（φ（t）-φ（a））2-γiPi（x1，x2）（t）|≤MNω|A|（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］≤r4，且|（φ（t）-φ（a））2-γiQi（y1，y2）（t）|≤MN（φ（b）-φ（a））2-γiΓ（αi+1）（φ（t）-φ（a））αi≤MNσ≤r4，i=1，2。

因此，‖P（x1，x2）+Q（y1，y2）‖C2-γ;φ［a，b］≤r。故對(duì)（x1，x2），（y1，y2）∈Br，有P（x1，x2）+Q（y1，y2）∈Br。

2）證明P是全連續(xù)映射。

設(shè)序列（x1n，x2n）∈C2-γ;φ［a，b］，（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］，且limn→∞‖（x1n，x2n）-（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］=0，則對(duì)t∈［a，b］，根據(jù)條件（H1）、條件（H2）和定理1的證明方法，可得

|（φ（t）-φ（a））2-γi［Pi（x1n，x2n）（t）-Pi（x1，x2）（t）］|≤M（φ（b）-φ（a））αi+1|A|Γ（αi+1）［（φ（b）-φ（a））γj-1+η*2A*（b-a）］×（Ki‖x1n-x1‖C2-γ1;φ［a，b］+Li‖x2n-x2‖C2-γ2;φ［a，b］）+M（φ（b）-φ（a））αj+1|A|Γ（αj+1）［η*（φ（b）-φ（a））γj-1（b-a）+η*A*］×（Kj‖x1n-x1‖C2-γ1;φ［a，b］+Lj‖x2n-x2‖C2-γ2;φ［a，b］），其中i，j=1，2，i≠j。所以，

‖P（x1n，x2n）-P（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］=‖P1（x1n，x2n）-P1（x1，x2）‖C2-γ1;φ［a，b］+‖P2（x1n，x2n）-P2（x1，x2）‖C2-γ2;φ［a，b］≤Mωθ|A|（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］‖（x1n，x2n）-（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］，

所以，當(dāng)n→∞時(shí)，‖P（x1n，x2n）-P（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］→0，即P關(guān)于（x1，x2）∈C2-γ;φ［a，b］連續(xù)。

3）證明算子P的緊性。

任?。▁1，x2）∈Br，得‖P（x1，x2）‖C2-γ;φ［a，b］≤2MNω|A|（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］，即P（Br）一致有界。

又因?yàn)閷?duì)（x1，x2）∈Br，t1，t2∈［a，b］，t1

同理，當(dāng)t1→t2時(shí)，|（φ（t1）-φ（a））2-γ2P2（x1，x2）（t1）-（φ（t2）-φ（a））2-γ2P2（x1，x2）（t2）|→0，則P1（Br）和P2（Br）是等度連續(xù)的，因此，P（Br）是等度連續(xù)的。根據(jù)Arzela -Ascoli定理可知，P在C2-γ;φ［a，b］上是緊的，故算子P全連續(xù)。

4）證明Q為壓縮算子。

對(duì)?（x1，x2），（y1，y2）∈Br，?t∈［a，b］，有|（φ（t）-φ（a））2-γi［Qi（x1，x2）（t）-Qi（y1，y2）（t）］|≤Mσ（Ki‖x1-y1‖C2-γ1;φ［a，b］+Li‖x2-y2‖C2-γ2;φ［a，b］），‖Q（x1，x2）-Q（y1，y2）‖C2-γ;φ［a，b］≤Mσ［（K1+K2）‖x1-y1‖C2-γ1;φ［a，b］+（L1+L2）‖x2-y2‖C2-γ2;φ［a，b］］≤Mσθ‖（x1，x2）-（y1，y2）‖C2-γ;φ［a，b］，i=1，2，又因?yàn)镸σθ<1，所以Q（x1，x2）為壓縮算子得證。

綜上，根據(jù)引理3可知，系統(tǒng)（1）在J上至少有1個(gè)解。

3 應(yīng)用舉例

例1 考慮下列分?jǐn)?shù)階微分方程系統(tǒng)：

HD54，12;4t3+ta+x1（t）+（t3+1）f1（t，x1（t），x2（t））=0，? t∈［0，1］，HD85，13;4t3+ta+x2（t）+（t5+2）f2（t，x1（t），x2（t））=0，? t∈［0，1］，x1（0）=0， x1（1）=12∫10x2（s）ds， x2（0）=0， x2（1）=13∫10x1（s）ds（10）

解的存在性，其中

f1（t，u1，u2）=（4t3+t）38arctan u124×（t2+9）2+（4t3+t）415sin u22t3+1 945+3486×（t+2）2，

f2（t，u1，u2）=（4t3+t）38u1（t+4）5+916+（4t3+t）415|u2|78×（5+|u2|）+4（2t+35）2+715。

解：α1=54，β1=12，α2=85，β2=13，γ1=138，γ2=2615，a=0，b=1，η1=12，η2=13，φ（t）=4t3+t，λ1（t）=t3+1，λ2（t）=t5+2。顯然，λ1（t），λ2（t）在［0，1］上黎曼可積，f1，f2是［0，1］×R2上的連續(xù)函數(shù)，并且滿足下列條件：

1）存在常數(shù)M=2>0，對(duì)t∈J=［0，1］，有|λi（t）|≤max{1，2}=2=M；

2）存在K1>0，K2>0，L1>0，L2>0，使得對(duì)?（u1，u2），（v1，v2）∈C2-γ;φ［0，1］，有|fi（t，u1，u2）-fi（t，v1，v2）|≤Ki（φ（t）-φ（0））2-γ1|u1-v1|+Li（φ（t）-φ（0））2-γ2|u2-v2|，i=1，2；

3）由于η*=12，θ≈0.001 0，A*≈1.223 9，ρ1≈3.255 2，ρ2≈0.365 7，ω≈45.930 4，|A|≈8.667 7，因此，Mωθ|A|{（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］+|A|ρ2}≈0.095 1<1。由定理1可得系統(tǒng)（10）存在唯一解。

例2 考慮下述分?jǐn)?shù)階微分方程系統(tǒng)：

HD32，13;5t65+2ta+x1（t）+2t2f1（t，x1（t），x2（t））=0，? t∈［0，1］，HD53，12;5t65+2ta+x2（t）+3t2f2（t，x1（t），x2（t））=0，? t∈［0，1］，x1（0）=0，? x1（1）=14∫10x2（s）ds，? x2（0）=0，? x2（1）=15∫10x1（s）ds（11）

解的存在性，其中

f1（t，u1，u2）=（5t65+2t）13|u1|3（t+8）3（1+|u1|）+（5t65+2t）16arctan u21 537+196t2+256，

f2（t，u1，u2）=（5t65+2t）13sin u11 735+（5t65+2t）16|u2|6×（t+17）2（1+|u2|）+15×（et+6）3+19。

解：α1=32，β1=13，α2=53，β2=12，γ1=53，γ2=116，a=0，b=1，η1=14，η2=15，λ1（t）=2t2，λ2（t）=3t2，φ（t）=5t65+2t。λ1（t），λ2（t）在［0，1］上黎曼可積，f1，f2在［0，1］×R2上連續(xù)且滿足：

1）存在常數(shù)M=3>0，對(duì)t∈J=［0，1］，有|λi（t）|≤max{2，3}=3=M；

2）存在K1>0，K2>0，L1>0，L2>0，使得對(duì)?（u1，u2），（v1，v2）∈C2-γ;φ［0，1］，有|fi（t，u1，u2）-fi（t，v1，v2）|≤Ki（φ（t）-φ（0））2-γ1|u1-v1|+Li（φ（t）-φ（0））2-γ2|u2-v2|，i=1，2；

3）存在r=2，N=1512，使得對(duì)t∈J，（u1，u2）∈C2-γ;φ［a，b］且‖（u1，u2）‖C2-γ;φ［a，b］≤2，有|fi（t，u1，u2）|≤N，并且由于ω≈119.173 8，ρ1≈5.061 1，η*=14，A*≈2.597 1，|A|≈18.250 1，因此，可得2=r≥4MN·maxω（ρ1+η*A*）［η*（b-a）+1］|A|，σ[JB）}]≈1.092 5；

4）因?yàn)镸=3，θ≈0.001 2，σ≈23.546 8，所以Mσθ<1。由定理2可以得到系統(tǒng)（11）至少有1個(gè)解。

4 結(jié) 語(yǔ)

1）本文使用壓縮映像原理和Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理，研究了一類(lèi)具有積分邊界條件的耦合φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)，得到了這類(lèi)微分系統(tǒng)解的存在性結(jié)果，并且列舉了2個(gè)具體實(shí)例說(shuō)明結(jié)論的正確性。研究結(jié)果表明，壓縮映像原理和Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理能夠有效解決具有積分邊界條件的耦合φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)解的存在性問(wèn)題。

2）由于φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義更具有一般性，因而本研究包含并推廣了之前學(xué)者研究的具有Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)以及Hilfer分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的耦合分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的結(jié)果，豐富了分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)理論，可為許多數(shù)學(xué)模型的建立開(kāi)拓思路，解決更多現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題。

但是，本文是在非線性項(xiàng)連續(xù)的條件下考慮的耦合系統(tǒng)，限制條件較強(qiáng)，因此在以后的研究中，將通過(guò)削弱非線性項(xiàng)滿足的條件，進(jìn)一步探究此類(lèi)系統(tǒng)存在解的更一般化的結(jié)果。

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責(zé)任編輯：張士瑩

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（11775169）；河北省自然科學(xué)基金（A2018208171）

第一作者簡(jiǎn)介：張蓓（1975—），女，河北石家莊人，副教授，碩士，主要從事微分方程邊值問(wèn)題方面的研究。

通信作者：江衛(wèi)華，教授。E-mail：jianghua64@163.com張蓓，司換敏，江衛(wèi)華，等.具有積分邊界條件的耦合φ-Hilfer分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)解的存在性［J］.河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2024，45（2）：159-167.ZHANG Bei， SI Huanmin， JIANG Weihua，et al.Existence of solutions of coupled? φ-Hilfer fractional differential systems with integral boundary conditions［J］.Journal of Hebei University of Science and Technology，2024，45（2）：159-167.