徐境鴻

(南寧市第四十七中學(xué),廣西 南寧 530029)

2023年的中考已經(jīng)落下帷幕,在“雙減”政策背景下,廣西首次省級(jí)統(tǒng)一命題,這一轟轟烈烈的改革在今年中考釋放了大量信號(hào),中考的指揮棒為中考備考指明了方向.本次中考試題圍繞核心素養(yǎng),依標(biāo)務(wù)本,最大的亮點(diǎn)是降低了難度,減少模式化試題,增加了綜合實(shí)踐性、情境探究性、跨學(xué)科類題目的考查.不難發(fā)現(xiàn),第24題是一道既經(jīng)典又創(chuàng)新的試題,現(xiàn)就該題進(jìn)行詳細(xì)的探究.

1 試題呈現(xiàn)

如圖1,ΔABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,點(diǎn)D,E,F分別在邊AB,BC,CA上運(yùn)動(dòng),滿足AD=BE=CF．

圖1 廣西中考第24題圖

(1)求證：△ADF≌△BED;

(2)設(shè)AD的長(zhǎng)為x,△DEF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;

(3)結(jié)合(2)所得的函數(shù),描述△DEF的面積隨AD的增大如何變化．

2 試題分析

本題源于課本和課程標(biāo)準(zhǔn),將代數(shù)與幾何完美結(jié)合,有效考查了學(xué)生的推理能力和幾何直觀.本題改變了往年中考放置壓軸題的位置,今年放在了24題,大大降低了難度.本題主要考查三角形全等、等邊三角形的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)、銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的綜合及函數(shù)的概念.掌握三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù),理解并掌握函數(shù)概念的本質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.這是一道既常規(guī)又新穎的試題,該題由淺入深,逐步遞增難度,合理設(shè)置問(wèn)題層次,每個(gè)問(wèn)題之間均有邏輯關(guān)聯(lián),符合學(xué)生的心理特征,注重考查學(xué)生的思維過(guò)程,體現(xiàn)學(xué)科思想的連貫性、邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性等.

問(wèn)題(1)主要考查全等三角形的證明,全等的條件比較明顯,屬于基礎(chǔ)內(nèi)容,學(xué)生易得分.問(wèn)題(2)是一道典型的用代數(shù)式表達(dá)幾何結(jié)論的問(wèn)題,考查數(shù)形結(jié)合思想,此問(wèn)題有一定的難度,如果能突破此問(wèn)題,則問(wèn)題(3)就容易解決.近幾年,學(xué)生受應(yīng)試思潮的影響,對(duì)二次函數(shù)出現(xiàn)了一些比較固化的試題模型,如用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,某些點(diǎn)的確定性和存在性問(wèn)題.學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解不到位,教師缺少關(guān)注學(xué)科本質(zhì).該題的實(shí)質(zhì)就是考查學(xué)生對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解,讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)是描述一個(gè)變化過(guò)程的工具.由于很多學(xué)生理解不透徹,所以這一問(wèn)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定難度.問(wèn)題(3)是對(duì)函數(shù)概念性質(zhì)的進(jìn)一步理解和鞏固,評(píng)分細(xì)則從學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的深度進(jìn)行分層賦分,隱含了命題關(guān)于過(guò)程評(píng)價(jià)的重要思路.學(xué)生在答題時(shí),如果只答出“先減后增”可得1分,如果能答出“當(dāng)2

總之,該題不僅從幾何的角度考查了學(xué)生的幾何直觀,還從代數(shù)角度增強(qiáng)了學(xué)生的推理能力,是一道典型的幾何與代數(shù)結(jié)合且難度中等的題目.

3 尋本溯源

3.1 源于課本

如圖2,在等邊△ABC的三邊上,分別取點(diǎn)D,E,F,使AD=BE=CF,求證：△DEF是等邊三角形.(人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十三章《軸對(duì)稱》第93頁(yè)第11題)

圖2 等邊三角形示意圖

如圖3,點(diǎn)E,F,G,H分別位于正方形ABCD的四條邊上．四邊形EFGH也是正方形．當(dāng)點(diǎn)E位于何處時(shí),正方形EFGH的面積最小?(人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二十二章《二次函數(shù)》第52頁(yè)第7題)

圖3 正方形示意圖

3.2 源于課程標(biāo)準(zhǔn)

如圖4,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1,D是BC邊上的一點(diǎn),過(guò)D作AB的垂線,交AB于G,用x表示線段AG的長(zhǎng)度.顯然,Rt△GBD的面積y是線段長(zhǎng)度x的函數(shù),試給出這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式[2].(《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》第146頁(yè)例69)

圖4 正三角形示意圖

4 試題研究

初中階段,不僅在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域有推理或證明的內(nèi)容,在幾何與圖形領(lǐng)域也有推理或證明的內(nèi)容.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》新增了“了解代數(shù)推理”的內(nèi)容要求,可見(jiàn)幾何直觀與代數(shù)推理綜合的重要性.為此,筆者對(duì)比了近六年的北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)中考題,發(fā)現(xiàn)函數(shù)與幾何綜合題每年都考,將其匯總并分類,如表1所示.

表1 類型一 函數(shù)中的線段問(wèn)題

表2 類型二 函數(shù)中的面積問(wèn)題

從題目位置上看,前面幾年的此類題型基本在壓軸題位置,難度較大,對(duì)學(xué)生的要求很高,但是今年放到了24題的位置,要求和難度降低了,變化較大.從考查內(nèi)容上看,以前多是以二次函數(shù)的圖象為背景進(jìn)行考查,今年則是以等邊三角形這一簡(jiǎn)單幾何圖形為背景.從考查形式上看,以前都是直接求定值,今年則是半開(kāi)放式的“描述變化過(guò)程”,可見(jiàn)題目由固定式逐漸轉(zhuǎn)向理解式,模式化和機(jī)械性的題目在減少,過(guò)程性考查增加.

5 命題反思

5.1 重視教材,緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)

通過(guò)對(duì)多年中考題的研究,我們發(fā)現(xiàn)幾乎每道題目都能在課本或課程標(biāo)準(zhǔn)找到母題,或是將母題的條件結(jié)論、背景框架、解題方法等進(jìn)行改編,或是在思想方法上重新立意進(jìn)行“包裝”.不管如何改編,試題在命制時(shí)均未超出課程標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)業(yè)要求和能力要求.因此,在今后的命題中要嚴(yán)格依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn),注重教材為本,關(guān)注學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí),以學(xué)生理解為目標(biāo)改編,減少機(jī)械性題目.

筆者整理了課本中部分幾何與代數(shù)相結(jié)合的典型題目,僅供讀者參考.①九年級(jí)上冊(cè)第2頁(yè)無(wú)蓋紙盒問(wèn)題;②九年級(jí)上冊(cè)第20頁(yè)邊框問(wèn)題;③九年級(jí)上冊(cè)第52頁(yè)三角形、四邊形問(wèn)題;④九年級(jí)上冊(cè)第57頁(yè)籬笆問(wèn)題;⑤九年級(jí)上冊(cè)第125頁(yè)幾何圖形與反比例函數(shù)問(wèn)題;⑥九年級(jí)下冊(cè)第44頁(yè)三角形與一次函數(shù)問(wèn)題;⑦九年級(jí)下冊(cè)第58頁(yè)三角形、矩形與二次函數(shù)問(wèn)題.

5.2 落實(shí)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的亮點(diǎn)之一就是核心素養(yǎng)的提出與細(xì)化：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.初中階段具體表現(xiàn)有九個(gè)方面,命題應(yīng)覆蓋數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的各個(gè)方面.考查數(shù)學(xué)思維和解決問(wèn)題的能力,命題可以設(shè)計(jì)一些開(kāi)放性的問(wèn)題,要求學(xué)生進(jìn)行分析、推理和判斷.考查數(shù)學(xué)方法的靈活運(yùn)用,命題可以涉及不同的數(shù)學(xué)方法和技巧.考查數(shù)學(xué)實(shí)踐和應(yīng)用能力,命題可以多創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決問(wèn)題.通過(guò)各種措施的落實(shí),可以確保命題符合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求,能夠全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)水平.同時(shí),也能夠激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和熱愛(ài),促進(jìn)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展.

5.3 重視新題型

今年中考題有以下特點(diǎn)：創(chuàng)設(shè)真實(shí)問(wèn)題情境,注重情景化試題;加大開(kāi)放探究力度,激發(fā)創(chuàng)新與探究意識(shí);重視動(dòng)手操作能力,加強(qiáng)尺規(guī)作圖考查;增加試題閱讀量,提升信息處理能力;增設(shè)跨學(xué)科試題,培養(yǎng)綜合學(xué)科素養(yǎng);重視數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化,關(guān)注學(xué)生文化素養(yǎng).因此,在復(fù)習(xí)備考中,教師要以此為導(dǎo)向,在日常教學(xué)中不斷滲透數(shù)學(xué)方法,適時(shí)總結(jié),在命題中要重視以上題目的練習(xí),讓學(xué)生從適應(yīng)到熟練再到舉一反三,最終從容面對(duì)中考.