張萌 張松林 劉玉為 劉時(shí)成 范鵬舉

摘要：

針對(duì)可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器中普遍存在的輸出光頻率無跳模調(diào)諧范圍小、掃描頻率低、結(jié)構(gòu)復(fù)雜等亟待解決的問題，研究了可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器內(nèi)部壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性?；谔岣呋剞D(zhuǎn)精度、降低軸心偏移量的設(shè)計(jì)目標(biāo)，提出了一種多葉片并聯(lián)的星型柔性機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)。基于Lagrange方程和Duhamel積分，分別建立了壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和振動(dòng)方程，在此基礎(chǔ)上建立了柔性機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型并對(duì)其結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。最后，搭建了壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性測(cè)試平臺(tái)，測(cè)試了壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械響應(yīng)特性以及可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器的輸出光可調(diào)諧范圍。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)一階固有頻率為2187 Hz，柔性機(jī)構(gòu)最大軸心偏移量為0.947 mm。在可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器無跳模調(diào)諧性能測(cè)試中，當(dāng)調(diào)諧頻率為20 Hz時(shí)，實(shí)現(xiàn)了103.5 GHz的無跳模調(diào)諧范圍。

關(guān)鍵詞：壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)；柔性鉸鏈；優(yōu)化設(shè)計(jì)；可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器

中圖分類號(hào)：TH122

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.04.009

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Optimal Design of Piezo-based Actuated Systems in Tunable Diode Lasers

ZHANG Meng? ZHANG Songlin? LIU Yuwei? LIU Shicheng? FAN Pengju

College of Mechanical and Electrical Engineering，Shaanxi University of Science & Technology，

Xian，710016

Abstract： In view of the ubiquitous problems in tunable diode lasers， such as small tuning range of output optical frequency without mode hopping， low scanning frequency and complex structure， the dynamic characteristics of the internal piezo-based actuated systems of tunable diode lasers were studied. Based on the design goals of improving rotation accuracy and reducing axis offset， a multi-leaf parallel star-shaped flexible mechanism structure was proposed. After that， based on the Lagrange equation and Duhamel integral， the differential equation of motion and the vibration equation of the piezo-based actuated systems were respectively established.Then， the dynamics model of the flexible mechanisms was established and the structural parameters were optimized. Finally， a test platform was built to explore the mechanical response characteristics of the piezo-based actuated systems and the tunable range of tunable diode lasers. The experimental results show that the first-order natural frequency of piezo-based actuated systems is as 2187 Hz. The maximum axis offset of the flexible mechanisms is as 0.947 mm. In the mode-hop-free tuning performance tests of tunable diode lasers， a mode-hop-free tuning range of 103.5 GHz is achieved at a tuning frequency of 20 Hz.

Key words： piezo-based actuated system； flexible hinge； optimal design； tunable diode laser

收稿日期：20230701

基金項(xiàng)目：陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃（2023-JC-QN-0408）；陜西高校青年創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目（2024年）

0? 引言

可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器（tunable diode laser， TDL）具有出射光頻率連續(xù)可調(diào)諧、窄線寬、方向固定等優(yōu)點(diǎn)［1］，被廣泛地應(yīng)用于掃頻干涉測(cè)量［2］、三維形貌測(cè)量［3］、冷原子物理［4］等前沿技術(shù)和關(guān)鍵領(lǐng)域。然而，目前國內(nèi)外針對(duì)可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器的研究中普遍存在無跳模調(diào)諧范圍小、掃描頻率低、結(jié)構(gòu)復(fù)雜等問題。解決這些問題的關(guān)鍵在于提高可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器內(nèi)部壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的跟蹤精度和掃描頻率，因此，有必要對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究。

壓電驅(qū)動(dòng)器雖然具有結(jié)構(gòu)緊湊、分辨率高、響應(yīng)頻率高等優(yōu)點(diǎn)，但是也受到輸出位移量?。▋H為驅(qū)動(dòng)器自身長(zhǎng)度的0.10%～0.15%）以及不能承受側(cè)向或拉伸載荷等缺點(diǎn)的限制［5］。而柔性機(jī)構(gòu)具有無需裝配、無摩擦、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)，將柔性機(jī)構(gòu)作為預(yù)緊和位移放大機(jī)構(gòu)與壓電驅(qū)動(dòng)器組成壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)［6］，此類系統(tǒng)兼具壓電陶瓷與柔性結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)，因而被廣泛地應(yīng)用于超精密加工［7-8］、精密定位［9-10］、精密光學(xué)系統(tǒng)［11-13］以及能量俘獲［14］等領(lǐng)域。

近年來，學(xué)者們針對(duì)可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了不少研究。DUTTA等［15］設(shè)計(jì)了一款Littrow型無鍍膜外腔半導(dǎo)體激光器，通過激光器內(nèi)腔注入電流與外腔驅(qū)動(dòng)電壓同步調(diào)諧實(shí)現(xiàn)了135 GHz無跳模范圍。該實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明采用較短外腔設(shè)計(jì)可以降低發(fā)生跳模的概率，進(jìn)而擴(kuò)大激光器無跳模掃描范圍。然而，該外腔半導(dǎo)體激光器輸出光方向不固定，并且在設(shè)計(jì)過程中沒有考慮柔性機(jī)構(gòu)軸心偏移、壓電驅(qū)動(dòng)器遲滯特性等因素對(duì)系統(tǒng)的影響。BREGUET等［16］設(shè)計(jì)了一款Littman-Metcalf型鍍膜外腔半導(dǎo)體激光器，該激光器外腔通過兩自由度柔性機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該激光器的調(diào)諧范圍為837～870 nm。然而，該設(shè)計(jì)方案沒有對(duì)無跳模范圍進(jìn)行定量研究。魏芳等［17］開展了柔性機(jī)構(gòu)的有限元分析，有效地提高了調(diào)諧機(jī)構(gòu)的共振頻率，實(shí)現(xiàn)了80 GHz的無跳模范圍。

本研究從可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器調(diào)諧原理出發(fā)，對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行了參數(shù)化設(shè)計(jì)；基于Lagrange方程和Duhamel積分，分別建立了可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和振動(dòng)方程；在此基礎(chǔ)上建立了柔性機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型并對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)；最后搭建了壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性測(cè)試平臺(tái)，測(cè)試了壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械響應(yīng)特性以及激光器輸出光頻可調(diào)諧范圍。

1? Littman-Metcalf型可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器調(diào)諧原理

Littman-Metcalf型可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器結(jié)構(gòu)如圖1所示，激光二極管內(nèi)腔是帶有增益的諧振腔，R1、R2分別為激光器內(nèi)腔后端面和前端面的反射系數(shù)，激光二極管后端面與反射鏡構(gòu)成激光器的外腔。光柵作為選頻元件被固定在底座上，φ為光柵入射光與光柵法線的夾角，

θ為一級(jí)衍射光與光柵法線的夾角，LP為轉(zhuǎn)軸中心與光柵衍射點(diǎn)之間的距離。在Littman-Metcalf型可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器中，輸出光為光柵零級(jí)衍射光。

激光二極管后端面與反射鏡構(gòu)成激光器的外腔，其等效長(zhǎng)度為

L=Lp（sin φ+sin θ）=L1+L2（1）

式中，L1為激光二極管后端面到光柵衍射點(diǎn)之間的距離；L2為光柵衍射點(diǎn)到平面鏡反射點(diǎn)之間的距離。

Littman-Metcalf型外腔半導(dǎo)體激光器采用閃耀光柵作為選頻元件。閃耀光柵選頻原理如圖 2所示。入射光線經(jīng)光柵衍射后形成不同角度不同波長(zhǎng)的多組光束，在空間上實(shí)現(xiàn)了不同波長(zhǎng)光束的分離。通過調(diào)整反射鏡角度使反射鏡法線與一級(jí)衍射光平行，可以將某一頻率光束反饋回諧振腔從而實(shí)現(xiàn)該光束的能量增強(qiáng)及頻率選擇。

根據(jù)光柵的選頻原理，光柵選擇的波長(zhǎng)

λg=d（sin θ+sin φ）（2）

式中，d為光柵常數(shù)（即相鄰光柵刻線之間的距離）。

根據(jù)駐波條件，可以得到激光器外腔選擇的波長(zhǎng)λe為

λe=2（L1+L2）/N2=2L（sin θ+sin φ）/N2（3）

式中，N2為外腔對(duì)應(yīng)的縱模數(shù)。

則可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器外腔選擇的光頻與光柵選擇的光頻之差的絕對(duì)值為

Fλ=|cλe－cλg|（4）

式中，c為真空中的光速。

可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器自由光譜范圍（free spectral range，F(xiàn)SR）的計(jì)算公式為

νFSR=c2nair（L1+L2）（5）

式中：νFSR為激光器的自由光譜范圍；nair為空氣折射率。

在可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器調(diào)諧過程中，當(dāng)外腔縱模數(shù)N2發(fā)生變化時(shí)（即發(fā)生跳模），F(xiàn)λ>12νFSR，因此，為了實(shí)現(xiàn)大范圍無跳模調(diào)諧，需要滿足N2恒定不變（即Fλ小于半個(gè)自由光譜范圍），可表示為

Fλ<12νFSR（6）

2? 壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的建模及動(dòng)力學(xué)分析

通過對(duì)可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器調(diào)諧原理進(jìn)行分析可知，可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器輸出光頻率調(diào)諧是通過壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)反射鏡轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)的。壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的跟蹤精度和掃描頻率很大程度上決定了可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器的調(diào)諧范圍和調(diào)諧頻率。為了實(shí)現(xiàn)光頻率大范圍無跳模輸出，首先需要對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行分析。

2.1? 柔性機(jī)構(gòu)建模

可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)主要包括：壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器、柔性機(jī)構(gòu)、位移傳感器、預(yù)緊螺栓等。在早期可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，常采用壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)回轉(zhuǎn)鉸鏈實(shí)現(xiàn)光頻率調(diào)諧的方案。近年來高精度掃描測(cè)量、冷原子物理等領(lǐng)域的不斷發(fā)展對(duì)提高可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器掃描范圍和掃描頻率提出了迫切要求。傳統(tǒng)壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案受到回轉(zhuǎn)鉸鏈掃描頻率低、回轉(zhuǎn)精度受裝配精度影響等缺點(diǎn)的限制，已不能滿足應(yīng)用需求。與傳統(tǒng)回轉(zhuǎn)鉸鏈相比，柔性機(jī)構(gòu)具有響應(yīng)速度快、生產(chǎn)維護(hù)成本低、一體化加工無需裝配、無需外加回復(fù)力等優(yōu)點(diǎn)，因此本文采用壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)柔性機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方案。

在理想情況下，柔性機(jī)構(gòu)回轉(zhuǎn)中心應(yīng)該是固定不變的，但是在實(shí)際操作過程中由于結(jié)構(gòu)發(fā)生彈性形變，回轉(zhuǎn)中心常常會(huì)發(fā)生偏移，這會(huì)導(dǎo)致柔性機(jī)構(gòu)回轉(zhuǎn)精度的下降。在可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，如果軸心偏移量或寄生運(yùn)動(dòng)幅度過大，則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)回轉(zhuǎn)精度可能無法滿足設(shè)計(jì)要求從而導(dǎo)致輸出光頻無跳模調(diào)諧范圍嚴(yán)重減小，因此，回轉(zhuǎn)精度是柔性機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中的一個(gè)重要參數(shù)。采用并聯(lián)構(gòu)型可以提高柔性機(jī)構(gòu)剛度，有助于降低軸心偏移量、提高回轉(zhuǎn)精度，因此采用多葉片并聯(lián)連接的方式設(shè)計(jì)柔性機(jī)構(gòu)。

可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器輸出光波長(zhǎng)改變量Δλ與頻率改變量Δf的關(guān)系為

Δλ=Δfλ20c（7）

式中，λ0 為可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器中心波長(zhǎng)。

根據(jù)光柵衍射方程，波長(zhǎng)改變量與反射鏡轉(zhuǎn)動(dòng)角度的關(guān)系為

d（sin（θ+Δθ）－sin θ）=Δλ（8）

式中，Δθ為柔性機(jī)構(gòu)懸臂旋轉(zhuǎn)角度（即一級(jí)衍射角改變量）。

假設(shè)驅(qū)動(dòng)過程中壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)方向垂直于平面鏡所在平面，則壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)點(diǎn)與柔性機(jī)構(gòu)回轉(zhuǎn)中心之間的距離Ld為

Ld=D/sin（Δθ）（9）

式中，D為壓電陶瓷最大伸長(zhǎng)量。

為便于分析柔性機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，提出下列假設(shè)條件：①在壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中僅有柔性機(jī)構(gòu)發(fā)生彈性形變，其他結(jié)構(gòu)為剛體；②柔性機(jī)構(gòu)懸臂旋轉(zhuǎn)過程中，重力作用而致的垂直方向上的應(yīng)變可以忽略，即所有應(yīng)變都發(fā)生在水平平面上；③柔性機(jī)構(gòu)重心與回轉(zhuǎn)中心重合，即柔性機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)過程中產(chǎn)生的軸心偏移僅由外力引起。由于柔性機(jī)構(gòu)中每個(gè)肋板是并聯(lián)連接的，因此在驅(qū)動(dòng)過程中所有肋板的受力狀態(tài)完全相同。建立關(guān)于x、y、θ三個(gè)參數(shù)的柔性機(jī)構(gòu)廣義坐標(biāo)系，當(dāng)肋板產(chǎn)生彈性形變時(shí)，滿足胡克定律。柔性機(jī)構(gòu)及肋板的力學(xué)模型如圖 3所示。

肋板發(fā)生彎曲時(shí)其截面慣性矩I為

I=112hb3（10）

式中，h、b分別為肋板的高度和寬度。

該力學(xué)問題屬于超靜定問題，需要增加邊界約束條件。驅(qū)動(dòng)過程中由壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)力F產(chǎn)生的彎矩M在O點(diǎn)產(chǎn)生的撓度為

δ1=Ml22nEI（11）

式中，l 為肋板長(zhǎng)度；n 為肋板的數(shù)目；E 為彈性模量。

由壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)力F在O點(diǎn)產(chǎn)生的撓度為

δ2=Fl33nEI（12）

由δ1-δ2=0可以得到

F=3M2l（13）

根據(jù)式（13）可以計(jì)算得到

FAx=0

FAy=F

MA=12M（14）

式中，F(xiàn)Ax為A點(diǎn)在x軸方向上受到的力；FAy為A點(diǎn)在y軸方向上受到的力；MA為A點(diǎn)承受的彎矩。

基于以上分析，可以將柔性機(jī)構(gòu)肋板等效為圖3b所示的力學(xué)模型。肋板撓度計(jì)算公式為

δr（xl）=Mxl（l2－x2l）6nEIl－MAxl（l－xl）（2l－xl）6nEIl（15）

式中，xl為長(zhǎng)度為l肋板上的點(diǎn)與O點(diǎn)的距離。

對(duì)δr（xl）求一階導(dǎo)數(shù)可以得到

δ·r（xl）=Ml6nEI－MAl3nEI－Mx2l2nEIl－MAx2l2nEIl+MAxlnEI

（16）

對(duì)δr（xl）求二階導(dǎo)數(shù)可以得到

δ¨r（xl）=－MnEIlxl－MAnEIlxl+MAnEI（17）

則可以計(jì)算得到柔性機(jī)構(gòu)的彈性勢(shì)能U為

U=12nEI∫l0（δ¨r（xl））2dx=

l6nEI（M2+M2A－MMA）（18）

將式（14）代入式（18）可以得到

U=l6nEI3M24（19）

柔性機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)過程中，彎矩M的做功為

W=∫Δθ0M（Δθ）d（Δθ）（20）

假設(shè)彎矩M所做的功W全部轉(zhuǎn)換為柔性機(jī)構(gòu)彈性勢(shì)能U，可以得到

U=W（21）

將式（18）和式（20）代入式（21）中，可以得到柔性機(jī)構(gòu)旋轉(zhuǎn)角度Δθ為

Δθ=Ml20nEI（22）

因此，可以得到柔性機(jī)構(gòu)的等效剛度kb為

kb=MΔθ=20nEIl（23）

由式（23）可知，在柔性機(jī)構(gòu)材料不變的情況下，柔性機(jī)構(gòu)的等效剛度取決于肋板的幾何參數(shù)。

2.2? 壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

基于Lagrange運(yùn)動(dòng)方程可以得到壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：

ddt（Tq·i）－Tq·i+Uq·i=Qi（24）

i=1，2，…，n1

式中，T 為系統(tǒng)總動(dòng)能；Qi為廣義力；qi為廣義坐標(biāo)系；n1為廣義坐標(biāo)數(shù)量。

壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)總動(dòng)能表達(dá)式為

T=12m（x·2+y·2）+12J（Δθ·）2（25）

式中，12m（x·2+y·2）表示柔性機(jī)構(gòu)平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，m 為柔性機(jī)構(gòu)等效質(zhì)量（即柔性機(jī)構(gòu)剛體部分總質(zhì)量），x·為柔性機(jī)構(gòu)沿x軸的移動(dòng)速度，y·為柔性機(jī)構(gòu)沿y軸的移動(dòng)速度；12J（Δθ·）2表示柔性機(jī)構(gòu)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，J 為柔性機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

系統(tǒng)總勢(shì)能可以表示為

U=12∑ni=1k（xcos αi+ysin αi）2+12kb（Δθ）2（26）

式中，k 為單一肋板剛度；αi為肋板i與x軸正方向的夾角。

則系統(tǒng)微分運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

m000m000Jx¨y¨Δθ¨+

∑ni=1ki（cos αi）2∑ni=1kisin αicos αi0∑ni=1kisin αicos αi∑ni=1ki（sin αi）2000kbxyΔθ=

0F（t）M（t）（27）

式中，ki為肋板i的剛度。

已知系統(tǒng)初始條件為0，則可以求解得出系統(tǒng)的一階固有頻率為

ω1=kbJ（28）

2.3? 柔性機(jī)構(gòu)的回轉(zhuǎn)精度分析

理想的柔性機(jī)構(gòu)應(yīng)具有固定的回轉(zhuǎn)軸心，但是由于加工制造因素和彈性變形，柔性機(jī)構(gòu)的回轉(zhuǎn)軸心可能會(huì)偏離初始位置，進(jìn)而導(dǎo)致柔性機(jī)構(gòu)的定位精度降低。當(dāng)軸心偏移量較大時(shí)，柔性機(jī)構(gòu)可能無法滿足其設(shè)計(jì)要求。例如，在可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，軸心偏移會(huì)導(dǎo)致輸出光頻率的不連續(xù)性和模式跳躍，因此，在柔性機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)階段必須考慮其回轉(zhuǎn)精度。

柔性機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖見圖3a。根據(jù)系統(tǒng)初始條件和Duhamel積分可以得到系統(tǒng)振動(dòng)方程：

∑ni=1k（cos αi）2∑ni=1ksin αicos αi0∑ni=1ksin αicos αi∑ni=1k（sin αi）2000kbxyΔθ=

0F（t）M（t）（29）

根據(jù)胡克定律，單一肋板在驅(qū)動(dòng)力F作用下的彈性勢(shì)能為

U1=12k（Δx）2=12k（Fk）2（30）

式中，Δx為肋板變形量。

肋板在驅(qū)動(dòng)力F作用下的應(yīng)變能為

Vε=12FΔl=12F2lEA1（31）

式中，Δl為肋板伸長(zhǎng)量；A1為肋板橫截面面積。

假設(shè)應(yīng)變能完全轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，則通過聯(lián)立式（30）和式（31）可以得到單一肋板剛度k為

k=EA1l（32）

由于柔性機(jī)構(gòu)在x軸方向上負(fù)載為0，因此在x軸方向上軸心偏移量為0。在y軸方向上的軸心偏移量Δy可以通過式（29）計(jì)算得到：

Δy=F∑ni=1k（sin αi）2（33）

3? 柔性機(jī)構(gòu)優(yōu)化方法

壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)采用三角波信號(hào)驅(qū)動(dòng)。通過傅里葉變換可知，三角波是由不同頻率、幅值、相位的正弦波和余弦波疊加而成的，因此當(dāng)三角波高頻分量接近或高于系統(tǒng)固有頻率時(shí)會(huì)引起系統(tǒng)共振［18］。這一現(xiàn)象極大地限制了系統(tǒng)帶寬。因此，為了避免系統(tǒng)共振，在系統(tǒng)設(shè)計(jì)階段需要考慮系統(tǒng)固有頻率、柔性機(jī)構(gòu)材料和尺寸參數(shù)。此外，可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器的設(shè)計(jì)要求柔性機(jī)構(gòu)軸心偏移盡可能小。基于上述原因，有必要對(duì)柔性機(jī)構(gòu)關(guān)鍵尺寸參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

3.1? 柔性機(jī)構(gòu)優(yōu)化分析

選擇柔性機(jī)構(gòu)肋板長(zhǎng)度l、寬度b、高度h和肋板數(shù)目n作為待優(yōu)化參數(shù)。柔性機(jī)構(gòu)等效剛度kb是影響壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的重要參數(shù)，根據(jù)式（28）可以得到，系統(tǒng)固有頻率隨著柔性機(jī)構(gòu)剛度增大而提高，因此，提高柔性機(jī)構(gòu)剛度有助于改善壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性。然而，過大的剛度可能導(dǎo)致Δθ降低，影響可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器無跳模調(diào)諧范圍，因此，也需要對(duì)柔性機(jī)構(gòu)剛度進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化程序如圖4所示。

目標(biāo)函數(shù)如下：

min f（x）=min（Δyω）（34）

其中，Δy為軸心偏移量，ω為系統(tǒng)固有頻率。優(yōu)化目標(biāo)為軸心偏移量與系統(tǒng)固有頻率的比值Δy/ω盡可能小。

優(yōu)化參數(shù)如下：肋板長(zhǎng)度l，肋板寬度b，肋板高度h，設(shè)定肋板數(shù)目n=1，2，…，10。

約束條件如下：

（1）Δy<1 μm，定義最大軸心偏移量小于1 μm。

（2）Δθ>0.000 89 rad，為滿足可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器設(shè)計(jì)要求，根據(jù)式（7）和式（8）可以得到，柔性機(jī)構(gòu)懸臂回轉(zhuǎn)角度必須大于0.000 89 rad。

（3）依據(jù)σ2max+τ2max≤［σ］na對(duì)柔性機(jī)構(gòu)進(jìn)行強(qiáng)度校核，其中，σmax為肋板最大正應(yīng)力，τmax為肋板最大切應(yīng)力，［σ］為許用彎曲應(yīng)力，na許用安全系數(shù)。

（4）關(guān)鍵參數(shù)取值范圍為：5 mm≤l≤10 mm；0.5 mm≤b≤1 mm；10 mm≤h≤15 mm。

利用MATLAB Optimization toolbox按照以上程序?qū)θ嵝詸C(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，變量l、b、h、n與柔性機(jī)構(gòu)軸心偏移量、固有頻率、軸心偏移量與固有頻率的比值Δy/ω的關(guān)系如圖5所示。

如圖5a所示，肋板長(zhǎng)度l變化范圍為5～10 mm，其他參數(shù)不變。隨著肋板長(zhǎng)度的增大，軸心偏移量線性增大。根據(jù)式（32）和式（33），當(dāng)其他參數(shù)不變時(shí)，肋板長(zhǎng)度與軸心偏移量成正比例關(guān)系。另一方面，系統(tǒng)固有頻率隨著肋板長(zhǎng)度的增大而下降。這種現(xiàn)象可以通過式（23）和式（28）解釋：根據(jù)式（23），隨著肋板長(zhǎng)度增大，柔性

機(jī)構(gòu)等效剛度降低；根據(jù)式（28），當(dāng)柔性機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變時(shí)，柔性機(jī)構(gòu)固有頻率隨著其等效剛度的降低而降低。由此可知，隨著肋板長(zhǎng)度的增大，軸心偏移量與固有頻率的比值Δy/ω增大。

如圖5b所示，肋板寬度b取值范圍為0.5～1 mm，其他參數(shù)不變。軸心偏移量隨著肋板寬度的增大而減小。根據(jù)式（32）和式（33），當(dāng)其他參數(shù)不變時(shí)，肋板寬度與軸心偏移量成反比例關(guān)系。另一方面，隨著肋板寬度增大，柔性機(jī)構(gòu)固有頻率提高。這種現(xiàn)象可以通過式（10）、式（23）和式（28）解釋：當(dāng)肋板寬度增大時(shí)，肋板的慣性矩增大，肋板的剛度增大，進(jìn)而柔性機(jī)構(gòu)固有頻率提高。由此可知，隨著肋板寬度的增大，軸心偏移量與固有頻率的比值Δy/ω減小。

如圖5c所示，肋板高度h取值范圍為5～10 mm，其他參數(shù)不變。隨著肋板高度增大，根據(jù)式（32）和式（33），軸心偏移量減小。另一方面，隨著肋板高度的增大，柔性機(jī)構(gòu)固有頻率提高。這種現(xiàn)象可以通過式（10）、式（23）和式（28）解釋：當(dāng)肋板高度增大時(shí)，肋板的慣性矩增大，肋板的剛度增大，柔性機(jī)構(gòu)固有頻率提高。由此可知，隨著肋板高度的增大，軸心偏移量與固有頻率的比值Δy/ω減小。

如圖5d所示，肋板數(shù)目n取值范圍為1～20，其他參數(shù)不變。根據(jù)式（33），隨著肋板數(shù)目增加，公式分母增大，軸心偏移量減小。另一方面，隨著肋板數(shù)目增加，柔性機(jī)構(gòu)固有頻率提高。這種現(xiàn)象可以通過式（23）和式（28）解釋：當(dāng)肋板數(shù)目增加時(shí)，柔性機(jī)構(gòu)剛度增大，柔性機(jī)構(gòu)固有頻率提高。由此可知，隨著肋板數(shù)目的增加，軸心偏移量與固有頻率的比值Δy/ω減小。

在此基礎(chǔ)上，為了得到更加準(zhǔn)確的柔性機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)，同時(shí)對(duì)多項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。計(jì)算結(jié)果如圖6所示，隨著肋板數(shù)目n的增加（其他參數(shù)調(diào)整為最優(yōu)值），柔性機(jī)構(gòu)軸心偏移量減小，固有頻率提高，軸心偏移量與固有頻率的比值Δy/ω減小。然而，肋板數(shù)目過多會(huì)增加機(jī)械加工難度并減小輸出回轉(zhuǎn)角度。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果，隨著肋板數(shù)目增加，優(yōu)化后的肋板長(zhǎng)度l也同時(shí)增大。考慮到機(jī)械加工、結(jié)構(gòu)尺寸、最大軸心偏移量和旋轉(zhuǎn)角度Δθ等參數(shù)，選取優(yōu)化結(jié)果為：n=5，l=7.1 mm，b=0.79 mm，h=12.7 mm，ω=2187 Hz。

得到柔性機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)后，建立壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)裝配圖見圖7。

3.2? 柔性機(jī)構(gòu)強(qiáng)度分析

應(yīng)力集中是導(dǎo)致柔性機(jī)構(gòu)失效的主要原因之一，因此在柔性機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)階段，有必要對(duì)柔性機(jī)構(gòu)材料進(jìn)行選擇并對(duì)肋板承受最大應(yīng)力進(jìn)行分析。壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)過程中，柔性機(jī)構(gòu)會(huì)受到壓電陶瓷循環(huán)力作用，因此，需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行靜強(qiáng)度校核以及疲勞強(qiáng)度校核。

3.2.1? 柔性機(jī)構(gòu)材料選擇

柔性機(jī)構(gòu)在驅(qū)動(dòng)過程中需要承受壓電陶瓷的重復(fù)性沖擊并提供納米級(jí)的定位精度。柔性機(jī)構(gòu)材料的選擇對(duì)其動(dòng)力學(xué)性能具有重要影響。柔性機(jī)構(gòu)常用材料特性如表1所示。與其他材料相比，低錳彈簧鋼具有優(yōu)良的疲勞性能、強(qiáng)度極限等力學(xué)性能，因此本文采用低錳彈簧鋼，利用電火花線切割技術(shù)對(duì)柔性機(jī)構(gòu)進(jìn)行加工。

3.2.2? 柔性機(jī)構(gòu)靜強(qiáng)度校核

實(shí)驗(yàn)過程中施加預(yù)緊力為350 N，壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器最大驅(qū)動(dòng)力約為50 N，因此柔性機(jī)構(gòu)承受負(fù)載為［350 N， 400 N］的三角波激勵(lì)。如圖3b所示，根據(jù)材料力學(xué)相關(guān)知識(shí)可以計(jì)算出肋板上x方向的彎矩為

M（x）=－3x10lM+110M（35）

根據(jù)純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力：

σ=M（x）Iy=334 MPa（36）

取安全系數(shù)為2，則許用彎曲應(yīng)力［σ］=12×σb=392 MPa，其中σb為材料屈服極限。

肋板受到剪切力與彎矩之間的關(guān)系為

Fs（x）=dM（x）dx=－3M10l（37）

根據(jù)式（37）可以得到肋板最大切應(yīng)力為

τmax=3Fs2A=19.98 MPa（38）

已知許用切應(yīng)力［τ］應(yīng)為強(qiáng)度極限的40%～70%，則取系數(shù)為0.4時(shí)，可以得到

［τ］=0.4σb=392 MPa（39）

綜上所述，肋板的彎曲強(qiáng)度與剪切強(qiáng)度均滿足如下要求：

σmax<［σ］

τmax<［τ］（40）

按照第三強(qiáng)度理論進(jìn)行校核可以得到

σ2+4τ2=3342+4×19.982=

336.4（MPa）<［σ］（41）

因此柔性機(jī)構(gòu)滿足靜強(qiáng)度校核。

3.2.3? 柔性機(jī)構(gòu)疲勞強(qiáng)度校核

（1）彎曲疲勞強(qiáng)度校核。

已知彎矩M∈［3.89 N·m， 4.44 N·m］、正應(yīng)力σ∈［292.25 MPa，334 MPa］。根據(jù)彎曲疲勞強(qiáng)度校核公式［19］可以得到

nσ=σ－1kσεσβσσa+φσσm=3.59>2（42）

其中，nσ為肋板彎曲疲勞強(qiáng)度安全系數(shù)；σ-1為肋板彎曲疲勞極限；kσ為肋板的有效應(yīng)力集中系數(shù)；σa為肋板在正應(yīng)力循環(huán)中的應(yīng)力幅度；εσ為肋板的尺寸及截面形狀系數(shù)；βσ為肋板的表面質(zhì)量系數(shù)；φσ為肋板的平均應(yīng)力影響系數(shù)；σm為肋板在正應(yīng)力循環(huán)中的平均應(yīng)力。肋板彎曲疲勞強(qiáng)度主要參數(shù)如表2所示。

（2）剪切疲勞強(qiáng)度校核。已知剪切力 Fs∈［116.52 N，133.2 N］、切應(yīng)力τ∈［17.48 MPa，19.98 MPa］。根據(jù)剪切疲勞強(qiáng)度校核公式可以得到

nτ=τ－1kτετβττa+φττm=67.57>2（43）

其中，nτ為肋板剪切疲勞強(qiáng)度安全系數(shù)；τ-1為肋板剪切疲勞極限；kτ為肋板的有效應(yīng)力集中系數(shù)；τa為肋板在剪應(yīng)力循環(huán)中的應(yīng)力幅度；ετ為肋板的尺寸及截面形狀系數(shù)；βτ為肋板的表面質(zhì)量系數(shù)；φτ為肋板的平均應(yīng)力影響系數(shù)；τm為肋板在剪應(yīng)力循環(huán)中的平均應(yīng)力。肋板剪切疲勞強(qiáng)度主要參數(shù)如表3所示。

綜上所述，柔性機(jī)構(gòu)肋板疲勞強(qiáng)度滿足設(shè)計(jì)要求。

4? 壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性研究

4.1? 壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)機(jī)電特性實(shí)驗(yàn)

為了對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行測(cè)試，搭建圖 8所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。平臺(tái)主要包括壓電驅(qū)動(dòng)模塊、測(cè)量模塊和數(shù)據(jù)采集模塊。壓電驅(qū)動(dòng)模塊主要由PZS001 壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器、Tektronix AFG3052C任意函數(shù)信號(hào)發(fā)生器、MDT693A單通道壓電陶瓷電壓控制器組成。為了保證柔性機(jī)構(gòu)幾何結(jié)構(gòu)的精確性，使用電火花線切割技術(shù)進(jìn)行加工。對(duì)柔性機(jī)構(gòu)進(jìn)行熱處理以提高其機(jī)械性能。測(cè)量模塊包含HBM力傳感器測(cè)試系統(tǒng)和capaNCDT6500非接觸式位移傳感器及其控制系統(tǒng)。數(shù)據(jù)采集模塊由NI-PXI 6133PXI采集卡和NI-PXI 1031主機(jī)組成。

4.2? 可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器光學(xué)特性試驗(yàn)

為了對(duì)輸出光頻率特性進(jìn)行研究，采用可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器作為可調(diào)諧光源，搭建無跳模調(diào)諧范圍測(cè)量系統(tǒng)。如圖9所示，無跳模調(diào)諧范圍測(cè)量系統(tǒng)由可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器控制模塊和光學(xué)測(cè)量模塊兩部分組成。其中，控制模塊包括：①Standford LDC051激光二極管控制器，用于控制激光二極管的電流和溫度；②MDT693B開環(huán)壓電控制器，用于控制壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的位移響應(yīng)；③泰克AFG3052C任意/函數(shù)發(fā)生器，用于產(chǎn)生兩個(gè)三角波信號(hào)，以同步調(diào)制激光二極管注入電流和壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)電壓。測(cè)量模塊包括：

①F-P標(biāo)準(zhǔn)具（Thorlabs SA210-5B）和光電二

極管檢測(cè)器（Thorlabs DET10A），用于測(cè)量可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器（TDL）的無跳模調(diào)諧范圍；②邁克爾遜干涉光路，用來觀察可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器的模式跳變現(xiàn)象；

③高精度多通道數(shù)據(jù)采集卡（National Instruments PXle-5105）。當(dāng)可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器的調(diào)諧頻率設(shè)置為20 Hz時(shí)，最大無跳模調(diào)諧范圍為103.5 GHz，如圖10所示。

將可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器性能指標(biāo)與國內(nèi)外相關(guān)研究對(duì)比如表4所示［15-17，20］。可以發(fā)現(xiàn)，本團(tuán)隊(duì)研制的激光器具有無跳模調(diào)諧范圍大、輸出光方向固定、經(jīng)濟(jì)性好等優(yōu)點(diǎn)。對(duì)于更高調(diào)諧頻率，壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)存在的振動(dòng)和非線性會(huì)縮小可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器的無跳模調(diào)諧范圍。

5? 結(jié)論

針對(duì)可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器中普遍存在的輸出光頻率無跳模調(diào)諧范圍小、掃描頻率低、結(jié)構(gòu)復(fù)雜等亟待解決的問題，從可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器內(nèi)部壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性出發(fā)，基于提高回轉(zhuǎn)精度、降低軸心偏移量的設(shè)計(jì)目標(biāo)，提出了一種多葉片并聯(lián)的星型柔性機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)；然后，基于Lagrange方程和Duhamel積分，分別建立了壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程和振動(dòng)方程；在此基礎(chǔ)上，建立了柔性機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型并對(duì)其結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化；最后，搭建了壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性測(cè)試平臺(tái)，測(cè)試了壓電驅(qū)動(dòng)的機(jī)械響應(yīng)特性以及可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器的輸出光可調(diào)諧范圍。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在75 V三角波輸入信號(hào)作用下，壓電驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的輸出位移為15.68 μm，一階固有頻率為2187 Hz。柔性機(jī)構(gòu)最大軸心偏移量為0.947 μm。在可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器無跳模調(diào)諧性能測(cè)試中，當(dāng)調(diào)諧頻率為20 Hz時(shí)，實(shí)現(xiàn)了103.5 GHz的無跳模調(diào)諧范圍。將可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器性能指標(biāo)與國內(nèi)外相關(guān)研究對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，本團(tuán)隊(duì)研制的激光器具有無跳模調(diào)諧范圍大、輸出光方向固定等優(yōu)點(diǎn)。

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（編輯? 胡佳慧）

作者簡(jiǎn)介：

張? 萌，男，1990年生，副教授。研究方向?yàn)橹悄芙Y(jié)構(gòu)及系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。E-mail：zhangmeng@sust.edu.cn。