等腰三角形是特殊的三角形，自身具有很多性質(zhì)，而兩個(gè)等腰三角形結(jié)合往往會(huì)有新的結(jié)論.下面就一起探究雙等腰三角形模型及其相關(guān)結(jié)論.

模型構(gòu)建

一、共底雙等腰，可得角相等

“共底雙等腰”是指兩個(gè)等腰三角形的底邊共線，且其中一個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰三角形一腰所在的直線上.下面三種情況都是“共底雙等腰”模型.

模型1：如圖1，AB = AC，DB = DE，點(diǎn)D在線段AC上，則∠ABD = ∠CDE.

模型2：如圖2，AB = AC，DB = DE，點(diǎn)D在CA的延長線上，則∠ABD = ∠EDC，∠BFE = ∠ADB.

模型3：如圖3，AB = AC，DB = DE，點(diǎn)D在AC的延長線上，則∠ADF = ∠ABD，∠F = ∠BDC.

模型應(yīng)用：如圖4，△ABC為等邊三角形，GD = GC，[S△GCD=2S△GBD]，AG = 3，求BG的長. （請(qǐng)同學(xué)們嘗試求解，答案為 4）

二、雙等腰手拉手，可得三角形全等

“雙等腰手拉手”模型即“8”字形，具有雙等腰、共頂點(diǎn)、頂角相等的特點(diǎn).

模型：如圖5，點(diǎn)C是等腰三角形ABC和等腰三角形CDE的公共頂點(diǎn)，AC = BC，CD = CE，∠ACB = ∠DCE，則△ACD ≌ △BCE.

模型變式：如圖6，△ABC與△EDC都是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)B，C，D在一條直線上時(shí)，連接AD，BE交于點(diǎn)M，連接CM．

結(jié)論1：利用等邊三角形的邊、角的特殊性，該模型可以與旋轉(zhuǎn)聯(lián)系起來，得到全等三角形.

（1）△BCE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到△ACD，結(jié)論為△ACD ≌ △BCE（SAS），AD = BE；

（2）△BCP繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到△ACQ，結(jié)論為△BCP ≌ △ACQ（ASA），CP = CQ；

（3）△PCE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到△QCD，結(jié)論為△PCE ≌ △QCD（SAS），PE = QD.

結(jié)論2：得到新的特殊三角形，即△CPQ為等邊三角形.

結(jié)論3：得到直線位置關(guān)系，PQ[?]BD，AC[?]DE，AB[?]CE.

結(jié)論4：證明三角形全等后，再利用“8”字型，可求出一些角的度數(shù).例如：∠BMA = ∠EMD" = ∠BMC" = ∠CMD" = 60°.

結(jié)論5：證明三角形全等后，再利用等面積法，根據(jù)角平分線的判定定理可以得出MC平分∠BMD.

結(jié)論6：利用截長補(bǔ)短法可得到線段之間的關(guān)系，BM = AM + CM， DM = ME + MC.

模型應(yīng)用：如圖6，（1）求證：△ACD ≌ △BCE；（2）試探究線段BM與線段AM，CM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（請(qǐng)同學(xué)們嘗試證明）

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：3分鐘

1.如圖7，點(diǎn)C是線段AE上的一點(diǎn)，分別以AC，EC為邊在直線AE的同側(cè)作等邊三角形ABC與等邊三角形CDE，連接AD，BE分別交BC，CD于點(diǎn)F，G，AD與BE相交于點(diǎn)O，連接FG. 則下列結(jié)論中成立的有（ ）.

（1）AD = BE；

（2）∠AOB = 60°；

（3）△AFC ≌ △BFO；

（4）△CFG是等邊三角形；

（5）DE = DF．

A. 2個(gè) " B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)

難度系數(shù)：★★★★ 解題時(shí)間：10分鐘

2.[△ABC]和[△ADE]都是等腰三角形，其中[AB=AC]，[AD=AE]，且[∠BAC=∠DAE]．

（1）如圖8①，連接[BE]，[CD]，求證：[CD=BE].

（2）如圖8②，連接[BD]，[CD]，若[∠BAC=∠DAE=60°]，[CD⊥AE]，[AD=3]，[CD=4]，求[BD]的長.

（3）如圖8③，若[∠BAC=∠DAE=90°]，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)[△ABC]，使得點(diǎn)[C]恰好落在斜邊[DE]上，試探究[CD2]，[CE2]，[BC2]之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

（答案見本頁）

（作者單位：開原市民主教育集團(tuán)里仁學(xué)校）